Ядерное взаимодействие вихрей Хилла в сжимаемой среде Кельвина–Фойгта: плотностное поле нуклона, дейтрон и низкоэнергетическое NN-рассеяние

Дмитрий Лосинец · Июль 2026

Аннотация. Программа механического моделирования, в которой квантовый вакуум рассматривается как вязкоупругая среда Кельвина–Фойгта (К–Ф), поддерживающая компактные вихри Хилла (Уравнения Максвелла из вихревой механики, Магнитные моменты барионов, Вихревая модель фотона), распространяется на сильное (ядерное) взаимодействие. Ключевой шаг — отказ от приближения несжимаемости внутри нуклона: при логарифмическом уравнении состояния $P=P_0+A\ln (\rho /{\rho }_0)$ давление почти постоянно, плотность становится динамическим полем $\rho (r)$, и три масштаба, несовместимые в однопараметрической несжимаемой модели, получают три носителя: электромагнитный ($\sim 1\text{МэВ}$ на $1\text{фм}$) — внешнюю среду ${\rho }_0$, ядерную яму ($\sim 40\text{МэВ}$) — мантийное плотностное поле, жёсткий кор ($\gtrsim 10^2\text{МэВ}$) — перекрытие ядер. Закон сохранения массового потока делает плотностное усиление селективным: оно действует только на азимутальное (спиновое) поле — сильное взаимодействие оказывается привязанным к спиновой структуре, а электромагнитное остаётся на масштабе ${\rho }_0$. Все параметры фиксируются вне ядерного сектора: геометрия зон — по рассеянию электронов (Магнитные моменты барионов), плотностное поле — по массе нуклона и дипольному форм-фактору, амплитуда скоростей — по спину $J=\hslash /2$ (все скорости субсветовые). Межнуклонный потенциал — энергия переноса массы одного нуклона в бернуллиевский дефицит удельной энтальпии течения другого — без подгонки под ядерные данные имеет правильные знаки центральной и тензорной компонент и правильную иерархию каналов: дейтрон связан ($E_d=-7,3\text{МэВ}$; опыт $-2,22$) с D-примесью $P_D=5,0\%$ в эмпирическом окне 4–6%, синглет не связан; порядок глубины ямы при этом гарантирован размерно калибровкой $J=\hslash /2$, нетривиальны знаки и $O(1)$-коэффициенты. Калибровка одним коэффициентом ${\zeta }^{\ast }=0,845$ по $E_d$ воспроизводит $a_t$ и $r_d$ (величины, контролируемые самим $E_d$), а независимые предсказания формы потенциала — $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$ — занижает на 16–40% согласованно. Выполнен заявленный фальсифицируемый тест: прямое сравнение спин-спиновой и тензорной радиальных функций с потенциалом AV18 [1]. Тензорная компонента подтверждена по знаку и форме (недобор до двух раз на средних расстояниях), знак спин-спиновой опровергнут: эмпирически иерархию каналов создаёт тензорная связь, а не центральное расщепление, и провал синглетной длины рассеяния переквалифицируется из «тонкой настройки» в структурную ошибку знака. Явно перечислено и остальное, чего модель не воспроизводит: фермиевское насыщение, спинорная алгебра, изоспиновая кинематика ядра.

Введение

Контекст программы

В работе Уравнения Максвелла из вихревой механики установлена формальная механическая аналогия уравнений Максвелла: квантовый вакуум моделируется несжимаемой вязкоупругой средой Кельвина–Фойгта (К–Ф) с плотностью ${\rho }_0$, модулем сдвига $G$ и вязкостью ${\eta }_0$; электрический заряд отождествляется с инвариантом циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$, а все четыре уравнения Максвелла возникают как следствия конститутивного закона. В работе Магнитные моменты барионов формализм распространён на структуру нуклона: нуклон моделируется двухзонным вихрем Хилла — вращательное ядро ($r_c\approx 0,25\text{фм}$) и безвихревая мантия ($r_m\approx 1,3\text{фм}$), — и условие равенства зарядов зон даёт беспараметрическое предсказание отношения магнитных моментов ${\mu }_c/{\mu }_m=r_m/r_c$, согласующееся с данными по ${\mu }_p$ и ${\mu }_n$. Работа Вихревая модель фотона строит в той же среде модель фотона — компактного вихревого кольца — и программу её экспериментальной проверки. Дополнительную мотивацию вихревой картине ядерной структуры даёт недавнее наблюдение кандидата тороидальной электрической дипольной моды в ${}^{58}$Ni [2].

Сама идея частиц как вихревых образований среды восходит к вихревым атомам Кельвина [3]; её современные родственники — сверхтекучие модели вакуума и программа аналоговой гравитации [4, 5], в которых эффективная лоренц-инвариантность и калибровочные структуры возникают в низкоэнергетическом пределе конденсированной среды. Отличие настоящей программы — ставка не на универсальность низкоэнергетического предела, а на конкретную механическую микроструктуру (среда К–Ф, двухзонный вихрь Хилла) с количественной калибровкой по данным и проверкой в ядерном секторе.

Настоящая статья распространяет программу на сильное (ядерное) взаимодействие. Требование к построению то же, что и в работах Уравнения Максвелла из вихревой механики, Магнитные моменты барионов, Вихревая модель фотона: каждый элемент модели должен быть выведен из механики сплошной среды или явно откалиброван по данным, не относящимся к воспроизводимому явлению; постулаты ad hoc недопустимы, а там, где приближения несут неустранимую неопределённость, она должна быть указана явно.

Проблема трёх масштабов

Простейший путь к ядерным силам в рамках Уравнения Максвелла из вихревой механики/Магнитные моменты барионов — остаться в приближении несжимаемой среды с единственной плотностью ${\rho }_0$. Геометрию взаимодействия это приближение передаёт правильно (все перечисленные ниже свойства воспроизводятся и в сжимаемом расчёте настоящей работы): радиус действия задаётся мантией ($r_m\approx 1,3\text{фм}$), масштаб жёсткого кора — удвоенным радиусом ядра ($2r_c\approx 0,5\text{фм}$), тензорная компонента несёт угловой фактор $3{\cos }^2\theta -1$, а спин-орбитальная сила возникает из перекрёстного члена Бернулли без дополнительных допущений. Однако энергетика в несжимаемом приближении не сходится: если циркуляция мантии откалибрована по электрическому заряду, то бернуллиевская яма на расстоянии $r_m$ оказывается порядка кулоновской энергии

$$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_m}\approx 1,1\text{МэВ}\text{вместо эмпирических}{V}_0\approx 40\text{–}50\text{МэВ},\text{\hspace{1em}(1)}$$

т.е. занижена в $\sim 40$ раз. Попытка восстановить глубину увеличением циркуляции разрушает соотношение между ямой и жёстким кором. В однопараметрической несжимаемой модели три масштаба — электромагнитный, ядерная яма и кор — несовместимы.

Настоящая работа снимает это противоречие отказом от несжимаемости. Плотность среды становится полем $\rho (\mathbf{r})$, меняющимся от ${\rho }_0\sim 10^{-11}{\text{кг/м}}^3$ вне нуклона до $\sim 10^{18}{\text{кг/м}}^3$ в его ядре, и три масштаба взаимодействия оказываются связаны с тремя различными носителями:

Масштаб	Носитель	Плотность
электромагнитный, $\sim 1\text{МэВ}$ на $1\text{фм}$	внешняя среда	${\rho }_0\sim 10^{-11}{\text{кг/м}}^3$
ядерная яма, $\sim 40\text{МэВ}$	плотностное поле мантии	$\sim 10^{16-17}{\text{кг/м}}^3$
жёсткий кор, $\gtrsim 10^2\text{МэВ}$	перекрытие ядер	$\sim 10^{18}{\text{кг/м}}^3$

Таблица 1. Три масштаба ядерного взаимодействия и их носители в сжимаемой модели.

Отношение ядерного и электромагнитного масштабов ($\sim 40$) при этом перестаёт быть свободным параметром: оно определяется массой нуклона и его геометрией (раздел «Калибровка нуклона вне ядерного сектора»).

Вклад настоящей работы

1. Сжимаемое расширение формализма К–Ф с логарифмическим уравнением состояния $P=P_0+A\ln (\rho /{\rho }_0)$, при котором давление почти постоянно на 28 порядках изменения плотности; показано, что закон сохранения массового потока делает плотностное усиление селективным по азимутальному (спиновому) полю (раздел «Сжимаемое расширение»).
2. Калибровка нуклона целиком вне ядерного сектора: профиль плотностного поля — по массе нуклона и зарядовому радиусу, амплитуда поля скоростей — по спину $J=\hslash /2$ (раздел «Калибровка нуклона вне ядерного сектора»); все скорости при этом субсветовые.
3. Вывод межнуклонного потенциала как энергии переноса массовых элементов одного нуклона в бернуллиевский дефицит удельной энтальпии течения другого (раздел «Межнуклонный потенциал: энергия погружения»); теорема Факсена, применявшаяся ранее вне области своей применимости, не используется.
4. Разложение потенциала на центральную, спин-спиновую и тензорную компоненты; жёсткий кор из упругости К–Ф на плотности ядра (раздел «Каналы потенциала»).
5. Первое в рамках программы численное решение квантовой задачи: связанные каналы ${}^3{S}_1$–${}^3{D}_1$ дейтрона, длины рассеяния и эффективные радиусы (раздел «Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние»); сопоставление с опытом — в таблицах 5 и 7.
6. Выполненный фальсифицируемый тест: свободное от параметров отношение спин-спиновой и тензорной компонент сопоставлено с потенциалом AV18 [1] — тензор подтверждён, знак спин-спиновой опровергнут (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18»).
7. Явный список того, что модель не воспроизводит (раздел «Ограничения и открытые проблемы»).

Раздел «Наследуемый формализм» суммирует наследуемые результаты; раздел «Многонуклонные системы: оценки и пределы применимости» даёт оценки для многонуклонных систем; раздел «Экспериментальные предложения» — экспериментальные предложения.

Наследуемый формализм

Среда Кельвина–Фойгта

Вне вихревых ядер среда К–Ф описывается конститутивным законом ${\mathbf{\sigma }}^{\prime }=G\mathbf{\epsilon }+{\eta }_0\dot{\mathbf{\epsilon }}$; в волново-доминированном режиме это даёт уравнение затухающей поперечной волны со скоростью $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$, отождествляемой со скоростью света Уравнения Максвелла из вихревой механики. Модуль сдвига возникает из коллективной упругости Ткаченко фоновой решётки вакуумных вихревых колец и стабильности формы вихря Хилла: $G\approx 0,234{\rho }_0{\Gamma }^2/r_0^2$ (Уравнения Максвелла из вихревой механики [6]). Заряд отождествляется с инвариантом циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$; закон Кулона имеет вид $F=Q_1{Q}_2/(4\pi {\rho }_0{r}^2)$. Стационарное течение вне ядер — безвихревое и подчиняется теореме Бернулли [7]; для баротропной среды вдоль линии тока

$$\int \frac{dp}{\rho }+\frac{u^2}{2}=\mathrm{const},$$

что для несжимаемого предела сводится к $p=p_{\infty }-\frac{1}{2}{\rho }_0{u}^2$.

Двухзонный нуклон

Следуя Магнитные моменты барионов, нуклон моделируется осесимметричным вихрем с двумя зонами: ядро ($r\le r_c\approx 0,25\text{фм}$) — твердотельное вращение с угловой скоростью ${\omega }_c$, завихрённость $\mathbf{\omega }\ne 0$; мантия ($r_c<r\le r_m\approx 1,3\text{фм}$) — безвихревая зона с сохраняющимся удельным моментом $\ell =s{v}_{\phi }=\mathrm{const}$ ($s=r\sin \theta$ — цилиндрический радиус). Отношение $r_m/r_c=5,2\pm 1,2$ зафиксировано по данным рассеяния электронов (Магнитные моменты барионов [8]). Азимутальный профиль скорости

$$v_{\phi }(s,r)=v_{\phi }^{(0)}(s)\times \{\begin{array}{ll}1,& r\le r_m,\\ e^{-(r-r_m)/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}},& r>r_m\text{(экранированная утечка)},\end{array}{v}_{\phi }^{(0)}(s)=\{\begin{array}{ll}{\omega }_{c}s,& s\le r_c,\\ {\omega }_c{r}_c^2/s,& s>r_c,\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

регулярен на оси (твердотельная зона снимает особенность $1/s$). Экспоненциальный множитель при $r>r_m$ — экранирование фоновой решёткой Ткаченко с длиной ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\sim {\ell }_{\mathrm{vac}}/\sqrt{\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/r_0)}\approx 1,0\text{фм}$ при ${\ell }_{\mathrm{vac}}\approx r_m$; вывод щели из линейного натяжения вакуумных колец и длины экранирования дан в приложении «Приложение Б. Экранирование Ткаченко: щель и длина ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$». Внутри сферы $r\le r_m$ азимутальное (спиновое) поле локализовано — это стандартное свойство сферического вихря с закруткой (вихрь Хикса–Моффатта [9, 10, 11]): вне ядра вихря азимутальная компонента не имеет степенного хвоста, и дальнее поле нуклона чисто меридионально (дипольно).

Спин нуклона связан со знаком мантийной циркуляции ${\Gamma }_m$, изоспин — со знаком циркуляции ядра ${\Gamma }_c$ (знаковое соглашение работы Магнитные моменты барионов: переход $p\to n$ — инверсия вращения только ядра при неизменной мантии). Четыре получающихся состояния приведены в таблице 2: флип спина обращает обе циркуляции, переход протон–нейтрон — только ${\Gamma }_c$; полный гидродинамический угловой момент определяется мантией ($r_m\gg r_c$) и имеет знак ${\Gamma }_m$ для обоих нуклонов.

Нуклон	Спин	${\Gamma }_c$	${\Gamma }_m$
Протон	$+\frac{1}{2}$	$+$	$+$
Протон	$-\frac{1}{2}$	$-$	$-$
Нейтрон	$+\frac{1}{2}$	$-$	$+$
Нейтрон	$-\frac{1}{2}$	$+$	$-$

Таблица 2. Спиновые и изоспиновые состояния нуклона в знаковом соглашении Магнитные моменты барионов.

Сжимаемое расширение

Почему несжимаемость внутри нуклона неприменима

Масса нуклона, распределённая по объёму с радиусом порядка зарядового, соответствует плотности $m_p/(\frac{4}{3}\pi r_p^3)\sim 7\cdot 10^{17}{\text{кг/м}}^3$, тогда как плотность внешней среды в электромагнитной калибровке ${\rho }_0=8,85\cdot 10^{-12}{\text{кг/м}}^3$ (Уравнения Максвелла из вихревой механики). Контраст $\sim 10^{29}$ несовместим с приближением $\rho =\mathrm{const}$: внутри нуклона среда обязана описываться сжимаемой гидродинамикой, и именно игнорирование этого обстоятельства порождало проблему трёх масштабов (раздел «Проблема трёх масштабов»).

Логарифмическое уравнение состояния

Принимается уравнение состояния

$$\boxed{P(\rho )=P_0+A\ln \frac{\rho }{{\rho }_0},c_l^2(\rho )=\frac{dP}{d\rho }=\frac{A}{\rho },}\text{\hspace{1em}(3)}$$

где $A={\rho }_0{c}_{l0}^2$ — константа среды, $c_{l0}$ — скорость продольных волн при плотности ${\rho }_0$. Два свойства делают (3) естественным выбором для вакуумной среды: (i) давление меняется лишь логарифмически — при $\rho /{\rho }_0=10^{29}$ рост давления составляет всего $\ln 10^{29}\approx 67$ единиц $A$, т.е. колоссальные уплотнения почти не требуют работы сжатия; (ii) скорость продольных волн убывает как ${\rho }^{-1/2}$: во внешней разреженной среде она велика ($c_{l0}\sim 10^{23}$ м/с — дорелятивистская механика сплошной среды допускает такие скорости, поскольку перенос энергии-информации в наблюдаемом секторе связан с поперечными волнами, скорость которых $c$), а внутри плотного ядра опускается до $\sim c$, и течение там становится околозвуковым. Однородное фоновое давление $P_0\gtrsim 10^{35}$ Па не создаёт градиентов и не наблюдаемо в обычных экспериментах; примечательно, что оценка внутреннего давления протона из гравитационных форм-факторов даёт как раз $\sim 10^{35}$ Па [12].

Замечание (о статусе уравнения состояния). Уравнение (3) используется в настоящей работе только для обоснования возможности существования плотностного поля $\rho (\mathbf{r})$ с контрастом $\sim 10^{29}$ при почти постоянном давлении и для баланса фонового давления. Силовые расчёты раздела «Межнуклонный потенциал: энергия погружения» опираются лишь на кинематический сектор (теорему Бернулли в форме удельной энтальпии); внутренняя энергетика сжатия в наблюдаемый сектор не отображается. Возможный механизм стационарного поддержания плотного ядра — замкнутый термодинамический цикл сжатия–нагрева–расширения–диссипации в меридиональном течении — остаётся гипотезой, не влияющей на дальнейшие расчёты.

Плотностное поле нуклона

В сжимаемой постановке плотность — динамическое поле. Его точный профиль требует решения полной системы (непрерывность, импульс, уравнение состояния); здесь профиль калибруется по двум измеряемым величинам — массе нуклона и зарядовому радиусу. Дипольный закон форм-факторов нуклона $G(Q^2)\approx (1+Q^2/0,71{\text{ГэВ}}^2{)}^{-2}$ соответствует экспоненциальному профилю в координатном представлении, поэтому принимается

$$\boxed{\Delta \rho (r)=\hat{\rho }{e}^{-r/a},a=\frac{r_p}{\sqrt{12}}=0,243\text{фм},\int \Delta \rho dV=m_p,}\text{\hspace{1em}(4)}$$

откуда

$$\hat{\rho }=\frac{m_p}{8\pi a^3}=4,64\cdot 10^{18}{\text{кг/м}}^3,$$

где $r_p=0,8414\text{фм}$ — зарядовый радиус протона, $⟨r^2⟩=12a^2$ для экспоненциального распределения. Характерные значения: $\Delta \rho (1\text{фм})=7,6\cdot 10^{16}$, $\Delta \rho (r_m)=2,2\cdot 10^{16}{\text{кг/м}}^3$ — на два порядка меньше центральной плотности, но на 27–28 порядков больше ${\rho }_0$. Инерция нуклона в данной картине — масса уплотнённой среды, увлекаемой вихрем.

Замечание (о соотношении массового и зарядового профилей). Отождествление массового масштаба с зарядовым ($a$ из форм-фактора) — простейшее допущение, вносящее $O(1)$-неопределённость формы; она включается в коэффициент самосогласованности $\zeta$ (раздел «Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние»). Использование $m_p$ в (4) для протона и нейтрона одинаково с точностью $(m_n-m_p)/m_p\approx 0,14\%$.

Селективность усиления: меридиональный сектор

Механизм, разрешающий проблему трёх масштабов, — замена веса ${\rho }_0$ на $\Delta \rho$ в бернуллиевских интегралах — сам по себе применим к любому полю скоростей. Возникает вопрос: почему тем же усилением не обладает меридиональное (дипольное) течение нуклона, несущее электромагнитный сектор (Уравнения Максвелла из вихревой механики)? Иначе электромагнитное взаимодействие на фемтометровых расстояниях получило бы тот же $\sim 40$-кратный выигрыш, и иерархия масштабов разрушилась бы снова.

Ответ даёт уравнение непрерывности. Для азимутального поля линии тока — окружности $s=\mathrm{const}$, $z=\mathrm{const}$, вдоль которых плотность осесимметричной конфигурации постоянна: условие $\nabla \cdot (\rho {\mathbf{u}}_{\phi })=0$ выполняется тождественно и не накладывает на амплитуду $v_{\phi }$ никаких ограничений — спиновое поле беспрепятственно «живёт» в плотной области. Меридиональные же линии тока пересекают поверхности равной плотности, и стационарная непрерывность $\nabla \cdot (\rho {\mathbf{u}}_m)=0$ сохраняет массовый поток вдоль трубки тока: если трубка приходит из внешней области с плотностью ${\rho }_0$ и скоростью $u_{\mathrm{ext}}$, то внутри плотностного поля

$$u_m(\mathbf{r})\sim u_{\mathrm{ext}}\frac{{\rho }_0}{\rho (\mathbf{r})},\rho u_m^2\sim \frac{({\rho }_0{u}_{\mathrm{ext}}{)}^2}{\rho }\text{\hspace{1em}(5)}$$

— бернуллиевская плотность энергии меридионального течения в плотной области подавлена, а не усилена. Его вклад в силовые интегралы раздела «Межнуклонный потенциал: энергия погружения» ограничен сверху электромагнитным масштабом, умноженным на ${\rho }_0/\Delta \rho (1\text{фм})\sim 10^{-28}$, т.е. пренебрежим.

Плотностное усиление, таким образом, селективно: оно действует только на азимутальное поле. Именно поэтому в данной модели сильное взаимодействие оказывается привязанным к спиновой структуре нуклонов, тогда как электромагнитный сектор остаётся на масштабе внешней среды ${\rho }_0$. Оговорка: вторичная меридиональная циркуляция, которую может порождать неточная стационарность чисто азимутального поля в сжимаемой среде (гипотетический цикл поддержания ядра), контролю уравнения (5) не подлежит; её амплитуда не откалибрована, и этот пункт внесён в список открытых проблем (раздел «Ограничения и открытые проблемы»).

Калибровка нуклона вне ядерного сектора

Единственный оставшийся параметр — амплитуда поля скоростей (2), т.е. ${\omega }_c$. Она фиксируется условием квантования спина:

$$\boxed{J=\int \Delta \rho (r)s{v}_{\phi }(s,r)dV=\frac{\hslash }{2}⟹{\omega }_c=5,80\cdot 10^{23}{\text{с}}^{-1}.}\text{\hspace{1em}(6)}$$

Отсюда следуют скорости

$$v(r_c)={\omega }_c{r}_c=0,48c,v(0,5\text{фм})=0,24c,v(1\text{фм})=0,12c:$$

все скорости течения субсветовые — в отличие от несжимаемой версии, где калибровка циркуляции по заряду через ${\rho }_0$ неявно требовала сверхсветовых азимутальных скоростей на фемтометровых расстояниях. Кинетическая энергия вращения

$$E_{\mathrm{rot}}=\int \frac{1}{2}\Delta \rho v_{\phi }^{2}dV=33\text{МэВ}=3,5\%m_p{c}^2$$

составляет малую долю массы покоя: основная часть $m_p{c}^2$ в данной картине связана с самим уплотнением среды, а не с его вращением.

Итоговый набор параметров модели приведён в таблице 3. Подчеркнём: ни один из них не подгонялся под ядерные данные.

Параметр	Значение	Источник калибровки	Ссылка
$r_c$	$0,25\text{фм}$	$e$-рассеяние (двухзонная геометрия)	Магнитные моменты барионов
$r_m$	$1,30\text{фм}$	$e$-рассеяние (двухзонная геометрия)	Магнитные моменты барионов
$a$	$0,243\text{фм}$	зарядовый радиус $r_p/\sqrt{12}$	(4)
$\hat{\rho }$	$4,64\cdot 10^{18}{\text{кг/м}}^3$	масса нуклона	(4)
${\omega }_c$	$5,80\cdot 10^{23}{\text{с}}^{-1}$	спин $J=\hslash /2$	(6)
${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$	$1,0\text{фм}$	щель решётки Ткаченко	Приложение Б

Таблица 3. Параметры модели. Все зафиксированы вне ядерного сектора.

Межнуклонный потенциал: энергия погружения

Вывод

Рассмотрим два нуклона: нуклон 1 в начале координат, нуклон 2 на расстоянии $d$ под углом $\Theta$ к оси спина (оси спинов параллельны; антипараллельный случай — сменой знака поля 2). Полное поле скоростей в области перекрытия — $\mathbf{u}={\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2$, полное плотностное поле — ${\rho }_0+\Delta {\rho }_1+\Delta {\rho }_2$.

Исходная точка — уравнение Эйлера стационарного баротропного течения,

$$(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=-\nabla h,h=\int \frac{dp}{\rho },$$

т.е. сила, действующая со стороны давления на единицу массы среды, есть $-\nabla h$. Для безвихревого стационарного течения постоянная Бернулли одна на всём поле, и удельная энтальпия выражается через скорость точно, при любом баротропном уравнении состояния:

$$h(\mathbf{r})-h_{\infty }=-\frac{u^2(\mathbf{r})}{2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

(в этом преимущество энтальпийной формы теоремы Бернулли: $h$ определена на единицу массы и не содержит произвола выбора «эффективной плотности», неизбежного в схемах с несжимаемой формулой $p=p_{\infty }-\frac{1}{2}\rho u^2$). Массовые элементы нуклона 2 не увлекаются течением нуклона 1: они удерживаются собственной вихревой структурой и при квазистатическом сближении перемещаются вместе с нуклоном как целое. Для таких вмороженных элементов $-\nabla h_1$ — внешняя сила, а $h_1=-u_1^2/2$ — потенциальная энергия на единицу массы; работа сил давления при переносе нуклона 2 из бесконечности накапливается в

$$U_{21}(d)=\int \Delta {\rho }_2{h}_{1}dV=-\int \Delta {\rho }_2\frac{u_1^2}{2}dV.$$

Подчеркнём различие со свободным элементом среды, уносимым потоком вдоль линии тока: для него падение энтальпии (7) в точности компенсируется ростом кинетической энергии, и чистого выигрыша нет. Именно связанность массы структурой нуклона превращает дефицит энтальпии в потенциальную энергию взаимодействия. В присутствии обоих течений энтальпия строится по полному полю, $h=-|{\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2{|}^2/2$; раскрывая квадрат, суммируя по массовым элементам обоих нуклонов и вычитая $d$-независимые собственные члены, получаем энергию взаимодействия

$$\boxed{W(d,\Theta )=\underset{W_{\mathrm{suct}}:\text{втягивание массы в дефицит энтальпии}}{\underbrace{-\int \Delta {\rho }_2\frac{u_1^2}{2}dV-\int \Delta {\rho }_1\frac{u_2^2}{2}dV}}\underset{W_{\times }:\text{перекрёстный (спин-спиновый) член}}{\underbrace{-\int (\Delta {\rho }_1+\Delta {\rho }_2){\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_{2}dV}}.}\text{\hspace{1em}(8)}$$

Первое слагаемое — «всасывание»: масса нуклона 2 находится в области пониженной энтальпии, создаваемой течением нуклона 1 (и наоборот); оно квадратично по полям и потому не зависит от взаимной ориентации циркуляций — это и есть механический источник зарядовой независимости ядерных сил. Второе слагаемое линейно по каждому полю и меняет знак при обращении спина одного из нуклонов — спин-спиновая компонента.

Замечание (о статусе формулы (8)). Выражение (8) — ведущий порядок по перекрытию, и его точность ограничена четырьмя приближениями: (i) суперпозиция ${\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2$ не является точным решением нелинейного уравнения Эйлера; в частности, по логике раздела «Селективность усиления: меридиональный сектор» азимутальное поле одного нуклона, пересекая изопикны плотностного холма другого, должно ослабляться — поправка определённого знака (ослабление короткодействующего притяжения), при $d\lesssim 1\text{фм}$ способная превышать номинальный $O(1)$-уровень; (ii) соотношение (7) точно лишь в безвихревой области: внутри завихрённых ядер оно занижает глубину энтальпийной ямы (ср. вихрь Рэнкина, где падение давления на оси вдвое больше безвихревого), а в экранированной зоне $r>r_m$, где поле также завихрено, неточно и оно; (iii) массовые элементы считаются жёстко связанными со «своим» нуклоном — внутренняя перестройка профилей при сближении не учитывается; (iv) нормировка $W$ неоднозначна: квазистатическая работа переноса нуклона 2 при неподвижном нуклоне 1 накапливает только члены с весом $\Delta {\rho }_2$ — для одинаковых нуклонов половину симметричной формы (8), — тогда как $d$-зависимая часть кинетической энергии среды содержит оба всасывающих члена; гамильтонов вывод, который разрешил бы этот выбор, здесь не строится, и неоднозначность масштаба фактора 2 входит в общую нормировку. Пункты (ii)–(iv) сводятся к общему множителю и аккумулируются в коэффициенте $\zeta$ (раздел «Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние»); пункт (i) способен менять и форму компонент, что существенно при интерпретации сравнения с AV18 (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18»). В отличие от приближений типа теоремы Факсена (градиентное разложение силы на компактное тело [7], формально несправедливое при $r\sim r_m$), интегралы (8) не содержат градиентного разложения и вычисляются точно (численно).

Разложение по углу и компоненты потенциала

Интегралы (8) вычислены численно (детали — приложение «Приложение А. Численная схема») на сетке $(d,\Theta )$ и разложены по полиномам Лежандра:

$$W_{\mathrm{suct}}(d,\Theta )=V_C(d)+V_2(d)P_2(\cos \Theta ),W_{\times }(d,\Theta )=V_C^{\times }(d)+V_2^{\times }(d)P_2(\cos \Theta ).\text{\hspace{1em}(9)}$$

Для параллельных спинов классический аналог тензорного оператора $S_{12}=3({\mathbf{\sigma }}_1\cdot \hat{r})({\mathbf{\sigma }}_2\cdot \hat{r})-{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2$ равен $2P_2(\cos \Theta )$, поэтому тензорная радиальная функция $V_T=(V_2+V_2^{\times })/2$. Результаты — в таблице 4.

$d$, фм	$V_C$, МэВ	$V_2$, МэВ	$V_C^{\times }$, МэВ	$V_2^{\times }$, МэВ
0,2	$-64,5$	$-2,6$	$-109,6$	$-22,9$
0,3	$-61,8$	$-5,5$	$-88,4$	$-39,8$
0,4	$-57,6$	$-9,8$	$-67,5$	$-52,9$
0,5	$-52,5$	$-14,3$	$-50,0$	$-59,1$
0,7	$-41,9$	$-21,4$	$-27,8$	$-55,3$
0,9	$-32,2$	$-24,9$	$-15,9$	$-45,0$
1,0	$-28,0$	$-25,2$	$-11,9$	$-39,9$
1,2	$-20,7$	$-23,4$	$-6,0$	$-30,9$
1,4	$-14,7$	$-19,6$	$-2,1$	$-23,5$
1,6	$-9,9$	$-14,9$	$-0,03$	$-17,1$
2,0	$-4,1$	$-7,2$	$+1,0$	$-8,5$
2,5	$-1,2$	$-2,5$	$+0,7$	$-3,6$
3,2	$-0,2$	$-0,5$	$+0,3$	$-1,2$

Таблица 4. Компоненты энергии взаимодействия (8)–(9) (параллельные спины) при первопринципной нормировке $\zeta =1$. Ни один параметр не подгонялся под ядерные данные. Строки $d<0,5\text{фм}$ лежат в области глубокого перекрытия, где ведущий порядок наименее надёжен; они приведены для полноты (низкоэнергетические наблюдаемые к этой области малочувствительны, раздел «Жёсткий кор: упругость К–Ф на плотности ядра»).

Три обстоятельства заслуживают внимания.

Масштаб ямы воспроизведён. $V_C(0,9\text{фм})=-32\text{МэВ}$, $V_C(0,5\text{фм})=-52,5\text{МэВ}$ — эмпирический масштаб промежуточного притяжения ($V_0\approx 40$–$50\text{МэВ}$ [13]) получен без подгонки: он определяется массой нуклона (через $\hat{\rho }$), его спином (через ${\omega }_c$) и геометрией зон. Для сравнения: та же величина, вычисленная в несжимаемом приближении с плотностью ${\rho }_0$, составляла $-0,3\dots -1,1\text{МэВ}$ — см. (1). Грубая оценка проясняет механизм: масса нуклона 2, находящаяся в области скоростей $v\sim 0,1c$ течения нуклона 1, приобретает энергию связи $\sim m_p{v}^2/2\sim 5\text{МэВ}$, а с учётом более быстрых внутренних областей и второго (зеркального) члена — десятки МэВ; иными словами, глубина ядерной ямы есть малая доля энергии покоя нуклона, задаваемая квадратом характерной скорости внутреннего течения в единицах $c$.

Замечание (о размерном происхождении масштаба ямы). Условие $J=\hslash /2$ при массе $m_p$ и фемтометровом размере задаёт характерную скорость $\bar{v}\sim \hslash /(2m_p\bar{r})$, поэтому

$$W\sim m_p{\bar{v}}^2\sim \frac{{\hslash }^2}{m_p{\bar{r}}^2}=41\text{МэВ}(\frac{1\text{фм}}{\bar{r}}{)}^2$$

— универсальный квантовый масштаб энергии системы массы $m_p$ и размера $\sim 1\text{фм}$. Правильный порядок глубины ямы, таким образом, гарантирован размерностью, как только спин откалиброван на $\hslash /2$: модель импортирует $\hslash$ через калибровку. Нетривиальное содержание расчёта — не порядок, а знаки всех компонент, иерархия каналов и $O(1)$-коэффициенты (их совокупная точность — ${\zeta }^{\ast }=0,845$, раздел «Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние»), размерным анализом не фиксируемые.

Знак тензорной компоненты правильный. $V_2<0$, т.е. притяжение сильнее в осевой конфигурации ($\Theta =0$, спины вдоль линии центров): $W(d,0)=V_C+V_2$. В квантовой задаче это соответствует $V_T<0$ и связывает дейтрон в вытянутой (сигарообразной) конфигурации — положительный квадрупольный момент $Q_d>0$, в согласии с опытом (раздел «Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние»).

Перекрёстный член упорядочивает каналы. $V_C^{\times }<0$ на средних расстояниях: со-вращательные мантии (параллельные спины, триплет) притягиваются сильнее противо-вращательных (синглет), что согласуется с фактами «дейтрон связан, синглет — нет». Сравнение с AV18, однако, показывает, что эмпирически эта иерархия создаётся не центральным расщеплением, а тензорной связью каналов — знак спин-спиновой радиальной функции модели опровергается (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18»). На больших расстояниях $V_C^{\times }$ меняет знак (слабое дальнее отталкивание со-вращательных циркуляций $\sim +0,1$–$1\text{МэВ}$ при $2$–$4\text{фм}$) — след классического поведения пары одноимённых вихрей, экранированного компактностью мантии; в этой области знак и величина согласуются с AV18.

Жёсткий кор: упругость К–Ф на плотности ядра

При $d<2r_c$ перекрываются твердотельные ядра. Упругий отклик К–Ф-среды на взаимное внедрение завихрённых областей характеризуется модулем сдвига, вычисленным на локальной плотности ядра (а не на ${\rho }_0$, как в несжимаемой версии):

$$G_c=4{\pi }^2{\bar{\rho }}_c{v}^2(r_c)=1,8\cdot 10^{36}\text{Па},{\bar{\rho }}_c=⟨\Delta \rho {⟩}_{r<r_c}=2,2\cdot 10^{18}\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^3},$$

где использована ткаченковская связь $G\sim \rho {\Gamma }^2/r^2=4{\pi }^2\rho v^2$ с префактором, положенным равным единице: в Уравнения Максвелла из вихревой механики для разреженной решётки он составляет $0,234$, для плотного твердотельного ядра его значение не вычислено и отнесено к $O(1)$-неопределённости кора. Чувствительность низкоэнергетического сектора к этой неопределённости умеренная: уменьшение $G_c$ в $4,3$ раза (префактор $0,234$) смещает $E_d$ на $0,4\text{МэВ}$ при фиксированном $\zeta$ и целиком поглощается перекалибровкой $\zeta$ на уровне $2\%$. Энергия упругой деформации при перекрытии

$$V_{\mathrm{rep}}(d)=G_c{V}_{\mathrm{lens}}(d){\left(\frac{2r_c-d}{2r_c}\right)}^2,d<2r_c,$$

где $V_{\mathrm{lens}}$ — объём линзы пересечения сфер радиуса $r_c$. Упругое отталкивание включается при $d=2r_c=0,5\text{фм}$ и нарастает до $\sim 10^3\text{МэВ}$ при глубоком перекрытии. В синглетном канале оно доминирует сразу: суммарный потенциал становится отталкивательным при $r\approx 0,48\text{фм}$ — эмпирический радиус кора [13] воспроизводится геометрией без подгонки. В триплетном канале притяжение перекрёстного члена частично экранирует стенку: суммарный $V_t$ остаётся притягивающим до $r\approx 0,18\text{фм}$ с ямой перекрытия $\approx -108\text{МэВ}$ при $r\approx 0,35\text{фм}$ (при ${\zeta }^{\ast }$). Область $d\lesssim 0,4\text{фм}$ лежит вне заявленной точности схемы (перекрытие максимально), однако низкоэнергетический сектор к ней малочувствителен: замена честно вычисленных точек $d=0,2$–$0,4\text{фм}$ таблицы 4 гладкой экстраполяцией смещает калиброванные предсказания таблицы 5 не более чем на $3\%$.

Каналы потенциала

Собирая компоненты, получаем канальные потенциалы (классическое соответствие: параллельные спины $\to$ триплет, антипараллельные $\to$ синглет; перекрёстный член меняет знак):

$$\boxed{V_t(r)=V_C+V_C^{\times }+V_{\mathrm{rep}},V_s(r)=V_C-V_C^{\times }+V_{\mathrm{rep}},V_T(r)=\frac{1}{2}\left(V_2+V_2^{\times }\right),}\text{\hspace{1em}(10)}$$

причём тензорная компонента действует только в триплете. Характерные значения при $\zeta =1$: $V_t(1\text{фм})=-40\text{МэВ}$, $V_s(1\text{фм})=-16\text{МэВ}$, $V_T(1\text{фм})=-33\text{МэВ}$; минимум триплетного канала $\approx -130\text{МэВ}$ при $r\approx 0,34\text{фм}$ (рис. 1).

Рис. 1. Канальные потенциалы (10) при калиброванной нормировке $\zeta =0,845$. Вертикальные линии — геометрические масштабы $2r_c$ и $r_m$.

Замечание (о квантовании спиновой структуры). Классический расчёт даёт два канала (со- и противо-вращение) и угловую зависимость $P_2$. Переход к квантовой задаче выполняется стандартным сопоставлением: $V_C\pm V_C^{\times }\to$ центральные потенциалы каналов $S=1,0$; $V_T{S}_{12}\to$ тензорный оператор с матричными элементами $⟨{}^3{S}_1|S_{12}|{}^3{D}_1⟩=2\sqrt{2}$, $⟨{}^3{D}_1|S_{12}|{}^3{D}_1⟩=-2$. Операторная алгебра спина-$\frac{1}{2}$ при этом вводится, а не выводится из механики — см. раздел «Ограничения и открытые проблемы».

Зарядовая независимость и спин-орбитальная компонента

Зарядовая независимость. Втягивающий член $W_{\mathrm{suct}}$ зависит только от $u_i^2$ и $\Delta {\rho }_i$; и профиль скоростей (2), и плотностное поле (4) одинаковы для протона и нейтрона (различие — лишь в знаке ${\Gamma }_c$, который в $u^2$ не входит). Перекрёстный член зависит от знака произведения мантийных циркуляций, т.е. от спинов, но не от изоспинов. Отсюда $V_{pp}=V_{nn}=V_{np}$ в каждом спиновом канале — зарядовая независимость с точностью до электромагнитных поправок. Малое нарушение зарядовой симметрии возможно лишь на масштабе кора ($d<2r_c$), где перекрываются ядра и знак ${\Gamma }_c$ различает со- и противо-вращательные пары; это согласуется с эмпирической малостью эффекта ($\sim$МэВ при $r\lesssim 0,5\text{фм}$).

Замечание (о со-вращательном приближении и изоспиновой кинематике ядра). Все расчёты настоящей работы используют непрерывный профиль (2), т.е. со-вращающиеся ядро и мантию. Конфигурация нейтрона с противовращающимся ядром (таблица 2) в эту кинематику не вписывается без переходного слоя при $s\approx r_c$, и здесь есть неразрешённое натяжение: область $s<r_c$ несёт $10\%$ спинового интеграла (6), поэтому либо (а) амплитуды полей нейтрона и протона равны — тогда $u^2$-сектор и зарядовая независимость точны, но $J_n=0,8\cdot \hslash /2$, либо (б) профиль нейтрона перекалиброван на $J=\hslash /2$ — тогда зарядовая независимость нарушалась бы на уровне десятков процентов, что исключено опытом. Оба варианта неприемлемы; это указывает, что изоспиновый знак, вероятно, следует связывать не с азимутальным вращением ядра, а с циркуляцией, выпадающей из ядерного сектора — например, меридиональной (раздел «Селективность усиления: меридиональный сектор»), — но такое переопределение требует пересмотра кинематики ядра на уровне работы Магнитные моменты барионов и вынесено в открытые проблемы (раздел «Ограничения и открытые проблемы»). На результаты настоящей работы натяжение не влияет: все вычисленные наблюдаемые ($np$-система, зарядово-независимые каналы) определяются мантийным полем и $u^2$-сектором, одинаковыми для обоих нуклонов в со-вращательном приближении.

Спин-орбитальная компонента. При орбитальном движении нуклона 2 со скоростью ${\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$ в дефиците энтальпии появляется перекрёстный член $-\Delta {\rho }_2{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$, дающий силу со структурой $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$: проекция ${\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$ на азимутальное направление поля 1 пропорциональна $\mathbf{L}\cdot {\hat{S}}_1$. Отличие сжимаемой версии — весом служит $\Delta {\rho }_2$, а не ${\rho }_0$, поэтому спин-орбитальная сила приобретает тот же $\sim 40$-кратный плотностной выигрыш, что и центральная, и её масштаб ожидается согласующимся с эмпирическим порядком ($\sim 5\text{МэВ}$ расщепления в лёгких ядрах); количественный расчёт вынесен в последующую работу.

Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние

Постановка и коэффициент самосогласованности

Квантовая задача решается для гамильтониана с потенциалами (10): связанные каналы ${}^3{S}_1$–${}^3{D}_1$ для дейтрона и триплетного рассеяния, одноканальная задача для синглета (метод — приложение «Приложение А. Численная схема»). Приведённая масса $\mu =m_p{m}_n/(m_p+m_n)$, ${\hslash }^2/2\mu =41,47\text{МэВ}\cdot {\text{фм}}^2$.

Схема (8) несёт $O(1)$-неопределённости: пренебрежение взаимной деформацией полей при глубоком перекрытии, выбор весов плотности в перекрёстном члене, отождествление массового профиля с зарядовым. Все они аккумулируются в один множитель $\zeta$ при интегралах взаимодействия ($V_C,V_2,V_C^{\times },V_2^{\times }\to \zeta \cdot$); $\zeta =1$ — первопринципная нормировка. Минимальная калибровка фиксирует $\zeta$ по единственному условию $E_d=-2,2246\text{МэВ}$:

$$\boxed{{\zeta }^{\ast }=0,845}\text{\hspace{1em}(11)}$$

— в пределах ожидаемой $O(1)$-погрешности схемы. С учётом нормировочной неоднозначности формы (8) (пункт (iv) замечания в разделе «Межнуклонный потенциал: энергия погружения») близость ${\zeta }^{\ast }$ к единице — свойство выбранной симметричной нормировки, а не независимо установленная $15$-процентная точность интегралов. После (11) модель не имеет свободных параметров, и все остальные величины — предсказания.

Результаты

Величина	$\zeta =1$ (первопринципная)	${\zeta }^{\ast }=0,845$	Опыт
$E_d$, МэВ	$-7,27$	$-2,2246^{†}$	$-2,2246$
$P_D$, %	$4,96$	$3,1$	4–6
$Q_d$, фм${}^2$	$+0,128$	$+0,172$	$+0,286$
$r_d$, фм	$1,17$	$1,84$	$1,97$
$a_t$, фм	$+3,22$	$+5,15$	$+5,42$
$r_{e,t}$, фм	$1,32$	$1,47$	$1,75$
$a_s$, фм	$-2,1$	$-1,6$	$-23,7$
$r_{e,s}$, фм	$4,5$	$5,2$	$2,7$

Таблица 5. Дейтрон и низкоэнергетические параметры $NN$-рассеяния. ${}^{†}$ калибровочное условие; остальные строки столбца ${\zeta }^{\ast }$ — предсказания. Экспериментальные значения — [13, 1].

Рис. 2. Радиальные волновые функции дейтрона $u(r)$ (${}^3{S}_1$) и $w(r)$ (${}^3{D}_1$) при ${\zeta }^{\ast }=0,845$.

Обсудим таблицу 5 по строкам.

Связанность и масштаб. Уже при $\zeta =1$ дейтрон связан с $E_d=-7,3\text{МэВ}$ — правильный порядок (эмпирическое значение в 3,3 раза меньше по модулю). Сам факт связанности и её масштаб нетривиальны лишь отчасти: порядок величины гарантирован размерно (замечание в разделе «Разложение по углу и компоненты потенциала»), несжимаемая же версия не связывала дейтрон вовсе; содержательно здесь то, что $O(1)$-коэффициенты первопринципной схемы попали в окно связывания.

D-примесь. $P_D=5,0\%$ при $\zeta =1$ — в центре эмпирического окна 4–6%; отношение тензорной и центральной компонент — чисто геометрическое свойство модели (анизотропия поля (2)), от $\zeta$ не зависящее. Сама $P_D$, однако, от нормировки зависит (кинетический член не масштабируется вместе с потенциалом): калиброванное значение $3,1\%$ лежит несколько ниже эмпирического окна.

Триплетное рассеяние. $a_t=+5,15\text{фм}$ (опыт $+5,42$, отклонение $5\%$) и $r_{e,t}=1,47\text{фм}$ (опыт $1,75$, отклонение $16\%$).

Замечание (о статусе $a_t$ и $r_d$ после калибровки). После фиксации $E_d$ триплетная длина рассеяния связана с эффективным радиусом универсальным соотношением полюса дейтрона $a_t\simeq [\gamma -\frac{1}{2}{\gamma }^2{r}_{e,t}{]}^{-1}$, $\gamma =\sqrt{2\mu |E_d|}/\hslash =0,232{\text{фм}}^{-1}$: подстановка модельного $r_{e,t}=1,47\text{фм}$ даёт $a_t=5,20\text{фм}$ (прямой расчёт — $5,15$); радиус $r_d$ аналогично контролируется асимптотикой $e^{-\gamma r}$. Согласие $a_t$ и $r_d$ с опытом — следствие калибровки $E_d$ и низкоэнергетической универсальности, а не независимая проверка. Независимые предсказания формы потенциала после калибровки — $r_{e,t}$, $P_D$ и $Q_d$; все три занижены (на 16, 25 и 40% соответственно), причём согласованно: общий источник — недобор дальней части тензорной компоненты (${\lambda }_{\mathrm{Tk}}=1,0\text{фм}$ против ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$; слишком короткое экранирование).

Квадрупольный момент. Знак правильный (вытянутый дейтрон), величина занижена в $\sim 1,7$ раза — недобор дальней части $D$-волны, чувствительной к форме тензорного потенциала за пределами мантии.

Синглетный канал. Знак правильный: синглет притягивающий, но не связанный ($a_s<0$), однако величина далека от эмпирической ($-1,6$ против $-23,7\text{фм}$). Вблизи порога $a\propto (V_{\mathrm{crit}}-V{)}^{-1}$, и воспроизведение $|a_s|=23,7\text{фм}$ (канал в $\sim 70\text{кэВ}$ от порога) требует точности глубины ямы в доли процента — вне досягаемости $O(1)$-схемы; но сравнение с AV18 (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18») показывает, что дело не только в чувствительности: знак самого канального расщепления противоположен эмпирическому, и синглетная яма недобирает глубину систематически, а не из-за неудачной настройки. Это первый пункт списка открытых проблем (раздел «Ограничения и открытые проблемы»).

Выполненный тест: сравнение с AV18

Геометрическое происхождение спиновой зависимости жёстко связывает спин-спиновую и тензорную компоненты: обе определяются одними и теми же интегралами таблицы 4. В стандартном операторном разложении $V=V_0+V_{\sigma }{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+V_T{S}_{12}+\dots$ спин-спиновая радиальная функция модели $V_{\sigma }=V_C^{\times }/2$, и отношение $R(r)=V_{\sigma }/V_T$ не содержит ни $\zeta$, ни каких-либо свободных параметров. Это предсказание проверено прямым сравнением с радиальными компонентами феноменологического потенциала AV18 [1], восстановленного из фазового анализа; сопоставляются $np$-величины $V_{\sigma }=[V_c({}^3{S}_1)-V_c({}^1{S}_0)]/4$ и тензорная функция $T=0$ (детали порта эталонного кода AV18 и его валидация — приложение «Приложение А. Численная схема»). Результат — рис. 3 и таблица 6.

$r$, фм	$V_{\sigma }^{\text{мод}}$	$V_{\sigma }^{AV18}$	$V_T^{\text{мод}}$	$V_T^{AV18}$	$R^{\text{мод}}$	$R^{AV18}$
0,7	$-11,7$	$+15,3$	$-32,4$	$-74,3$	$+0,36$	$-0,21$
0,9	$-6,7$	$+13,4$	$-29,5$	$-59,0$	$+0,23$	$-0,23$
1,0	$-5,0$	$+10,4$	$-27,5$	$-51,4$	$+0,18$	$-0,20$
1,2	$-2,6$	$+5,4$	$-23,0$	$-36,6$	$+0,11$	$-0,15$
1,4	$-0,9$	$+2,6$	$-18,2$	$-24,7$	$+0,05$	$-0,11$
1,6	$0,0$	$+1,3$	$-13,5$	$-16,5$	$0,00$	$-0,08$
2,0	$+0,4$	$+0,4$	$-6,6$	$-7,8$	$-0,06$	$-0,05$

Таблица 6. Спин-спиновая и тензорная радиальные функции (в МэВ): модель (при ${\zeta }^{\ast }$; отношение $R=V_{\sigma }/V_T$ от $\zeta$ не зависит) против AV18 ($np$-сектор).

Рис. 3. Сравнение с AV18: (а) спин-спиновая функция $V_{\sigma }$; (б) тензорная функция $V_T$ ($T=0$); (в) свободное от параметров отношение $R=V_{\sigma }/V_T$.

Тензорная компонента подтверждается. Знак и форма правильные во всей области; отношение модель/AV18 составляет $0,44$; $0,54$; $0,74$; $0,85$; $0,57$ при $r=0,7$; $1,0$; $1,4$; $2,0$; $3,0\text{фм}$. Дефицит сосредоточен на средних расстояниях (до двух раз при $r\lesssim 1\text{фм}$) и в дальнем хвосте (слишком короткое экранирование: ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}=1,0$ против ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$); лучшее согласие — в зоне $1,6$–$2,2\text{фм}$. Диагноз заниженных $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$ (раздел «Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние») тем самым уточняется: недобор тензора не только дальний, но и промежуточный.

Знак спин-спиновой компоненты опровергается. В AV18 $V_{\sigma }>0$ во всей области $0,55$–$3,9\text{фм}$ (максимум $+16\text{МэВ}$ при $0,75\text{фм}$): центральный канал ${}^1{S}_0$ глубже центрального ${}^3{S}_1$; модель даёт $V_{\sigma }<0$ при $r<1,6\text{фм}$. Контрольный расчёт обнажает физику расхождения: центральный потенциал ${}^3{S}_1$ AV18 сам по себе дейтрон не связывает и далёк от порога ($a=-1,69\text{фм}$) — связывание целиком обеспечено тензорным смешиванием каналов, тогда как почти связанный синглет ($a_s=-23,7\text{фм}$) — глубоким центральным притяжением. Модель распределяет притяжение противоположным образом: иерархию каналов создаёт центральное расщепление (перекрёстный член), а тензор вдвое слабее. Обе конструкции воспроизводят факты «дейтрон связан, синглет нет», но радиальное разложение их различает — данные на стороне тензорного механизма. Отсюда же систематический, а не настроечный характер провала $a_s$: член, который в данных придвигает синглет к порогу, в модели его отодвигает.

Что это означает для модели. Знак $V_C^{\times }$ — структурное свойство схемы (со-вращательные мантии притягиваются сильнее), и ни $\zeta$ (в $R$ сокращается), ни нормировочная неоднозначность формы (8) (общий множитель) его не меняют. Возможные пути пересмотра: (а) сопоставление классических конфигураций со- и противо-вращения квантовым каналам $S=1,0$ — операторная алгебра в модели вводится, а не выводится (замечание в разделе «Каналы потенциала»), и именно этот шаг наименее контролируем; (б) расчёт следующего порядка по перекрытию (взаимная деформация полей, пункт (i) замечания в разделе «Межнуклонный потенциал: энергия погружения»), способный перераспределить перекрёстный интеграл между $V_C^{\times }$ и $V_2^{\times }$ — усиление тензора одновременно закрыло бы и его недобор, и заниженные $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$.

Замечание (о зависимости от представления). Разбиение потенциала на центральную и тензорную части не является прямой наблюдаемой (офф-шелл свобода), и AV18 — лишь одна из фазово-эквивалентных параметризаций. Однако порядок центральных каналов ${}^1{S}_0$/${}^3{S}_1$ общий для реалистических потенциалов и на он-шелл уровне закреплён почти связанным синглетом; знак модельного $V_{\sigma }$ с этим несовместим. Деталь противоположного свойства: в хвосте $1,8$–$2,2\text{фм}$ слабое отталкивание со-вращательных циркуляций, предсказанное моделью ($+0,3$–$0,4\text{МэВ}$), согласуется с AV18 и по знаку, и по величине.

Многонуклонные системы: оценки и пределы применимости

Масштаб энергии связи ядерного вещества

Среднеполевая оценка энергии на нуклон симметричного ядерного вещества с усреднённым по спинам парным потенциалом $\bar{V}=\frac{3}{4}{V}_t+\frac{1}{4}{V}_s$ (без тензорной компоненты) при эмпирической плотности $n_0=0,16{\text{фм}}^{-3}$ даёт

$$\frac{E}{A}{|}_{n_0}\approx \underset{\text{ферми-газ}}{\underbrace{22\text{МэВ}}}\underset{\frac{n}{2}\int \bar{V}{d}^{3}r}{\underbrace{-41\text{МэВ}}}=-19\text{МэВ}(\text{опыт: }-16\text{МэВ}),$$

— правильный масштаб: расхождение с эмпирическим объёмным членом формулы Вайцзеккера ($-16\text{МэВ}$ для бесконечной материи) составляет $\sim 20\%$.

Насыщение: честная констатация

Среднеполевая сумма парных притяжений растёт линейно с $n$ и не останавливается: в чисто классической постановке модель не насыщается — минимум $E/A(n)$ отсутствует вплоть до плотностей, где включается кор. Эмпирическое насыщение обеспечивается в первую очередь фермиевским давлением $\propto n^{5/3}$ и короткодействующими корреляциями — квантовыми механизмами, не имеющими классического аналога в текущей версии (квантование угловых моментов вихрей — открытая проблема). Классические механизмы — геометрическое ограничение координационного числа ($Z\le 12$) [14], давление энстрофии $\propto n$ и топологический запрет перезамыкания вихрей [11] — дают правильное направление, но не степень $n^{5/3}$. Мы фиксируем это как принципиальное ограничение, а не маскируем подгонкой.

Качественные следствия для структуры ядер

Если спин-орбитальная компонента правильной структуры (раздел «Зарядовая независимость и спин-орбитальная компонента») подтвердит при количественном расчёте и эмпирический масштаб, порядок заполнения оболочек и магические числа $28,50,82,126$ воспроизводятся стандартным образом — это свойство любой модели с $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$-силой нужной величины, и здесь оно наследуется, а не выводится заново. Тетраэдрическая конфигурация четырёх вихрей с попарно противоположными ${\Gamma }_c$ (2$p$+2$n$, $J=0$) выделена энергетически — качественное согласие с аномальной связанностью $\alpha$-частицы и кластерной структурой лёгких ядер; количественный расчёт требует трёхтельного члена $\int \rho {\mathbf{u}}_1\cdot ({\mathbf{u}}_2\times {\mathbf{u}}_3)dV$ и вынесен в последующую работу.

Сводная таблица: что воспроизведено

Таблица 7 сопоставляет модель с каталогом эмпирических закономерностей $NN$-взаимодействия.

Закономерность (опыт)	Модель	Статус
Радиус кора $a_c\approx 0,5\text{фм}$	синглет: отталкивание при $r<0,48\text{фм}$ ($2r_c$, геометрия); триплет: стенка экранирована до $0,18\text{фм}$	$✓$/$\sim$
Глубина ямы $V_0\approx 40$–$50\text{МэВ}$	$V_C(0,7\dots 0,9\text{фм})=-32\dots -42\text{МэВ}$ без подгонки	$✓$
Радиус действия 1–2 фм	$r_m=1,3\text{фм}$ + хвост ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$	$✓$
Юкавская длина ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$	${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx 1,0\text{фм}$ ($-30\%$)	$\sim$
Центральная сила	$W_{\mathrm{suct}}$, ур. (8)	$✓$
Иерархия каналов (дейтрон связан, синглет нет)	знак $V_C^{\times }$	$✓$
Спин-спиновая $V_{\sigma }$ (AV18, разд. «Выполненный тест: сравнение с AV18»)	знак противоположен при $r<1,6\text{фм}$	$\times$
Тензорная $S_{12}$, $V_T<0$, $Q_d>0$	знак/форма да (AV18), недобор до 2 раз	$✓$/$\sim$
Спин-орбитальная $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$	перекрёстный член Бернулли	структура $✓$
Зарядовая независимость ($\lesssim 2\%$)	$u^2$-механизм, ур. (8)	$✓$
Нарушение зарядовой симметрии при $r<0,5\text{фм}$	знак ${\Gamma }_c$ в коре	качеств.
Дейтрон: $E_d,J^{\pi }=1^{+},P_D,Q_d,r_d$	табл. 5	$✓$/$\sim$
$a_t=+5,42\text{фм}$, $r_{e,t}=1,75\text{фм}$	$+5,15$; $1,47$	$✓$/$\sim$
$a_s=-23,7\text{фм}$ (порог)	$-1,6$: следствие знака $V_{\sigma }$	$\times$
Насыщение $n_0,E/A=-16\text{МэВ}$	масштаб да, минимума нет	$\times$
Операторы $L^2$, $(\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}{)}^2$	не выведены	$\times$

Таблица 7. Сводка соответствия эмпирическим закономерностям $NN$-взаимодействия [13, 1]. $✓$ — воспроизведено количественно; $\sim$ — частично; $\times$ — не воспроизведено (см. разделы «Выполненный тест: сравнение с AV18» и «Ограничения и открытые проблемы»).

Экспериментальные предложения

Первое из заявлявшихся предложений — сопоставление свободного от параметров отношения $V_{\sigma }/V_T$ с фазовым анализом — выполнено в разделе «Выполненный тест: сравнение с AV18»; остаются три.

1. Двухмасштабная структура упругого $NN$-рассеяния. Двухзонная геометрия предсказывает два наклона в $t$-зависимости амплитуды с отношением $b_m/b_c=(r_m/r_c{)}^2\approx 27$. Проверка осмысленна при умеренных энергиях (ISR [15] и ниже), где упругое рассеяние ещё не контролируется помероном.

2. Поляризация $\Lambda$ в столкновениях тяжёлых ионов [16, 17] — как зонд переноса завихрённости из нуклонных вихрей в КГП (дифференциально по центральности; сравнение со стандартной вязкой гидродинамикой).

3. Тензорная асимметрия при больших $|t|$. Анизотропия кора (столкновение полоидальных струй при осевом сближении) предсказывает рост асимметрии $\mathcal{A}(t)$ между осевой и экваториальной поляризациями при $|t|\gtrsim 2{\text{ГэВ}}^2$ сверх предсказаний изотропных потенциалов.

Ограничения и открытые проблемы

Модель заявляется как механическая аналогия с квантованием, вводимым калибровочными условиями ($J=\hslash /2$, $\Gamma =nh/m$), а не выводимым; онтологических утверждений не делается. Открытые проблемы, в порядке убывания остроты:

1. Знак спин-спиновой компоненты; синглетный канал. Сравнение с AV18 (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18»): эмпирически центральный канал ${}^1{S}_0$ глубже ${}^3{S}_1$ ($V_{\sigma }>0$), и иерархию каналов создаёт тензорная связь; модель даёт $V_{\sigma }<0$ при $r<1,6\text{фм}$, отсюда $a_s=-1,6\text{фм}$ вместо $-23,7$. Требуется пересмотр сопоставления классических спиновых конфигураций квантовым каналам и/или расчёт следующего порядка по перекрытию, перераспределяющий перекрёстный интеграл между $V_C^{\times }$ и $V_2^{\times }$.
2. Насыщение. Отсутствует классический аналог фермиевского давления $\propto n^{5/3}$; без квантования угловых моментов вихрей и статистики модель не насыщается (раздел «Многонуклонные системы: оценки и пределы применимости»).
3. Спин-$\frac{1}{2}$ и статистика. Хиральность циркуляции даёт бинарную $\pm$-структуру, но не алгебру $[S_x,S_y]=i\hslash S_z$, не $4\pi$-периодичность спинора и не антисимметрию волновой функции.
4. Изоспин. Противовращение ядра нейтрона (знаковое соглашение Магнитные моменты барионов) несовместимо одновременно с непрерывным профилем (2), калибровкой $J=\hslash /2$ и точной зарядовой независимостью (замечание в разделе «Зарядовая независимость и спин-орбитальная компонента»); носитель изоспинового знака требует переопределения на уровне кинематики ядра. Кроме того, вне кора модель не содержит операторной ${\mathbf{\tau }}_1\cdot {\mathbf{\tau }}_2$-структуры, которой в эмпирических потенциалах доминирован однопионный хвост; $P$-волновая феноменология станет следующим жёстким тестом.
5. Пионы. Совпадение ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx 1,0\text{фм}$ с ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$ на уровне $30\%$ — проверка согласованности, а не альтернатива физике реальных пионов; дальний тензорный хвост модель систематически недобирает (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18»).
6. Меридиональный сектор. Главный меридиональный вклад подавлен законом сохранения массового потока (раздел «Селективность усиления: меридиональный сектор»), однако вторичная меридиональная циркуляция, порождаемая неточной стационарностью чисто азимутального поля, этим аргументом не контролируется; её амплитуда не откалибрована.
7. Невыведенные элементы схемы. Коэффициент ${\zeta }^{\ast }=0,845$ агрегирует пренебрежение деформацией полей, выбор весов перекрёстного члена, отождествление массового профиля с зарядовым и нормировочную неоднозначность формы (8) (фактор $\sim 2$, замечание в разделе «Межнуклонный потенциал: энергия погружения»); экспоненциальный профиль (4) калиброван, а не выведен из уравнения равновесия; механизм стационарности плотного ядра (термодинамический цикл) — гипотеза.
8. Операторы $L^2$ и $(\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}{)}^2$ феноменологических потенциалов не выведены (требуют учёта меридионального течения и квадратичных по $v_{\mathrm{orb}}$ членов).

Заключение

Отказ от приближения несжимаемости внутри нуклона — с логарифмическим уравнением состояния и плотностью как динамическим полем — разрешил центральную количественную трудность несжимаемого приближения вихревой модели ядерных сил: три масштаба (электромагнитный, яма, кор) получили три различных носителя, и глубина ядерной ямы перестала быть привязана к кулоновскому масштабу. Закон сохранения массового потока делает это усиление селективным: оно действует на азимутальное (спиновое) поле и подавлено для меридионального сектора — модель тем самым объясняет, почему сильное взаимодействие привязано к спиновой структуре нуклонов, а электромагнитное остаётся на масштабе внешней среды. При калибровке целиком вне ядерного сектора (масса, зарядовый радиус, спин, геометрия зон из $e$-рассеяния) энергия погружения (8) даёт $NN$-потенциал с правильными масштабами и правильной иерархией каналов (порядок глубины ямы при этом частично гарантирован размерно — калибровкой $J=\hslash /2$); первое в программе численное решение квантовой задачи двух нуклонов воспроизводит связанный дейтрон с D-примесью в эмпирическом окне и, после минимальной калибровки одним коэффициентом ${\zeta }^{\ast }=0,845$, — триплетную длину рассеяния и радиус дейтрона (величины, контролируемые калибровкой $E_d$), а независимые предсказания формы потенциала $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$ занижает на $16$–$40\%$ согласованно. Главный результат за пределами калибровки — выполненный фальсифицируемый тест, прямое сравнение радиальных компонент с AV18 (раздел «Выполненный тест: сравнение с AV18»): тензорная компонента подтверждена по знаку и форме (недобор до двух раз на средних расстояниях), знак спин-спиновой опровергнут — эмпирически иерархию каналов создаёт тензорная связь, а не центральное расщепление, и провал синглетной длины рассеяния оказывается структурной ошибкой знака, а не тонкой настройкой. Столь же явно зафиксировано остальное, чего модель не даёт: фермиевского механизма насыщения, спинорной алгебры, непротиворечивой изоспиновой кинематики ядра. Эти пункты образуют программу следующего шага: пересмотр сопоставления спиновых конфигураций квантовым каналам, расчёт второго порядка по перекрытию полей (перераспределение перекрёстного интеграла в пользу тензора), квантование вихревых мод, пересмотр носителя изоспинового знака и трёхтельный член для лёгких ядер.

Приложение А. Численная схема

Интегралы взаимодействия. Каждое слагаемое (8) вычисляется в сферической сетке, центрированной на «своём» нуклоне (носителе $\Delta \rho$): радиальные узлы $r=r_{\max }{t}^2$, $t\in (0,1)$, $n_r=160$, $r_{\max }=4\text{фм}$; угловые сетки $48\times 48$. Сходимость проверена удвоением сеток (изменения $<1\%$); массовая нормировка на квадратуре выдерживается с точностью $2\cdot 10^{-4}$. Разложение (9) — квадратурой по $\Theta$ (13 узлов, чётность по $\cos \Theta$).

Связанные каналы. Радиальное уравнение Шрёдингера для $(u,w)$ дискретизируется конечными разностями ($N=5000$–$6000$ узлов, $r_{\max }=30\text{фм}$); матричные элементы тензорного оператора — стандартные; центробежный член $6{\hslash }^2/2\mu r^2$ в $D$-канале. Основное состояние — разреженной диагонализацией со сдвигом. Наблюдаемые: $P_D=\int w^{2}dr$; $Q_d=\frac{1}{20}\int r^{2}w(\sqrt{8}u-w)dr$; $r_d=\frac{1}{2}⟨r^2{⟩}^{1/2}$.

Рассеяние. Длины рассеяния — интегрированием уравнений нулевой энергии (для триплета — две линейно независимые регулярные комбинации с гашением растущей $D$-компоненты $\propto r^3$); эффективные радиусы — по стандартной интегральной формуле $r_e=2{\int }_0^{\infty }(v_0^2-u_0^2)dr$.

Сравнение с AV18. Использован эталонный код av18pot.f Аргоннской лаборатории [1]; операторный блок (lpot $=1$) портирован на Python (calc/av18_compare.py). Порт валидирован воспроизведением дейтрона AV18 без электромагнитных членов: $E_d=-2,242\text{МэВ}$ (полный AV18: $-2,2247$), $P_D=5,78\%$ ($5,76$), $Q_d=0,269{\text{фм}}^2$ ($0,270$), $r_d=1,961\text{фм}$ ($1,967$), а также синглетной длины рассеяния $a_s(np)=-23,1\text{фм}$ ($-23,7$ с ЭМ-членами). Сопоставляемые величины раздела «Выполненный тест: сравнение с AV18»: $V_{\sigma }=[V_c({}^3{S}_1)-V_c({}^1{S}_0)]/4$ и тензор $T=0$ ($np$-сектор); одноканальные длины рассеяния без тензорной связи — тем же интегратором, что и для модели. Расчётные скрипты приложены к репозиторию статьи (каталог calc/).

Приложение Б. Экранирование Ткаченко: щель и длина ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$

В формализме Уравнения Максвелла из вихревой механики вакуум К–Ф микроскопически представляет собой разреженную решётку вакуумных вихревых колец со средним шагом ${\ell }_{\mathrm{vac}}$ и циркуляцией ${\Gamma }_{\mathrm{vac}}$; её коллективная упругость (обратная реакция Био–Савара) задаёт модуль сдвига $G_{\mathrm{Tk}}={\rho }_0{\Gamma }_{\mathrm{vac}}^2/(4\pi {\ell }_{\mathrm{vac}}^2)$ и скорость поперечных волн $c_{\mathrm{Tk}}=\sqrt{G_{\mathrm{Tk}}/{\rho }_0}$ (Уравнения Максвелла из вихревой механики [6]).

Механизм экранирования. Распространяясь через решётку, поле скоростей нуклона смещает вакуумные кольца от равновесных положений; каждое смещённое кольцо создаёт поле противоциркуляции, частично компенсирующее исходное, — вихревой аналог дебаевского экранирования в плазме.

Щель в трёхмерном спектре. Для двумерной решётки бесконечных вихревых нитей моды Ткаченко бесщелевые ($\omega \propto k$) [6, 18], и экранирование отсутствует (посредничество степенное). В трёхмерной решётке компактных колец изменение радиуса кольца на $\delta R$ требует работы против линейного натяжения вихря $T\sim {\rho }_0{\Gamma }_{\mathrm{vac}}^2\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/r_0)$ [11]: $\delta E\sim T(2\pi {\ell }_{\mathrm{vac}})(\delta R/{\ell }_{\mathrm{vac}}{)}^2$. Мода $k=0$ приобретает конечную энергию — спектр получает щель

$${\omega }_0^2\sim \frac{T}{{\rho }_0{\ell }_{\mathrm{vac}}^3}=\frac{c_{\mathrm{Tk}}^2\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/r_0)}{{\ell }_{\mathrm{vac}}^2}.$$

Статическое поле смещений среды со щелью удовлетворяет уравнению Гельмгольца $(-c_{\mathrm{Tk}}^2{\nabla }^2+{\omega }_0^2)\varphi =\text{ист.}$, функция Грина которого юкавская, $\varphi \propto e^{-r/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}}/r$, с длиной экранирования

$$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{Tk}}=\frac{c_{\mathrm{Tk}}}{{\omega }_0}\sim \frac{{\ell }_{\mathrm{vac}}}{\sqrt{\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/r_0)}}.}$$

Численная оценка. Самосогласованная идентификация ${\ell }_{\mathrm{vac}}\approx r_m$, $r_0\approx r_c$ даёт ${\ell }_{\mathrm{vac}}/r_0=r_m/r_c\approx 5,2$ и

$${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx \frac{1,3\text{фм}}{\sqrt{\ln 5,2}}\approx 1,0\text{фм}$$

— в пределах $\sim 30\%$ от комптоновской длины волны пиона ${\lambda }_{\pi }=\hslash /(m_{\pi }c)\approx 1,4\text{фм}$ [13].

Замечание (о статусе вывода). Отождествление моды линейного натяжения при $k=0$ как доминирующего механизма щели — гипотеза; конкурирующие механизмы (например, отталкивание кольцо–кольцо) не анализировались, и согласие с ${\lambda }_{\pi }$ следует понимать как порядковую проверку самосогласованности, а не как альтернативу физике реальных пионов (раздел «Ограничения и открытые проблемы»).

Литература

1. R. B. Wiringa, V. G. J. Stoks, R. Schiavilla, Accurate nucleon-nucleon potential with charge-independence breaking, Phys. Rev. C 51, 38–51 (1995).
2. P. von Neumann-Cosel et al., Candidate Toroidal Electric Dipole Mode in the Spherical Nucleus Ni-58, Phys. Rev. Lett. 133, 232502 (2024).
3. W. Thomson (Lord Kelvin), On vortex atoms, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 6, 94–105 (1867).
4. G. E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet, Oxford University Press, Oxford, 2003.
5. C. Barceló, S. Liberati, M. Visser, Analogue gravity, Living Rev. Relativity 8, 12 (2005).
6. В. К. Ткаченко, О вихревых решётках, ЖЭТФ 49, 1875–1883 (1966).
7. H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1932.
8. R. Hofstadter, Electron scattering and nuclear structure, Rev. Mod. Phys. 28, 214–254 (1956).
9. M. J. M. Hill, On a spherical vortex, Phil. Trans. R. Soc. London A 185, 213–245 (1894).
10. H. K. Moffatt, The degree of knottedness of tangled vortex lines, J. Fluid Mech. 35, 117–129 (1969).
11. P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
12. V. D. Burkert, L. Elouadrhiri, F. X. Girod, The pressure distribution inside the proton, Nature 557, 396–399 (2018).
13. R. Machleidt, I. Slaus, The nucleon–nucleon interaction, J. Phys. G 27, R69–R108 (2001).
14. J. M. Blatt, V. F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics, Wiley, New York, 1952.
15. U. Amaldi et al., The energy dependence of the proton-proton total cross-section for centre-of-mass energies between 23 and 53 GeV, Phys. Lett. B 66, 390–394 (1977).
16. Коллаборация STAR: L. Adamczyk et al., Global Λ hyperon polarization in nuclear collisions, Nature 548, 62–65 (2017).
17. Z.-T. Liang, X.-N. Wang, Globally polarized quark-gluon plasma in non-central A+A collisions, Phys. Rev. Lett. 94, 102301 (2005).
18. G. Baym, Tkachenko modes of vortex lattices in rapidly rotating Bose–Einstein condensates, Phys. Rev. Lett. 91, 110402 (2003).