Уравнения Максвелла из вихревой механики: аналогия на основе модели Кельвина–Фойгта

Дмитрий Лосинец · Март 2026

Аннотация. Мы устанавливаем формальную механическую аналогию с уравнениями Максвелла на основе динамики компактных вихревых структур в вязкоупругой среде Кельвина–Фойгта. Сдвиговый модуль внешней среды $G=\rho {\Gamma }^2/(4\pi r_0^2)$ задаётся коллективным механизмом Ткаченко (обратная реакция Био–Савара между вихревыми кольцами); стабильность формы ядра Хилла удерживает ядро компактным при радиусе $r_0$. Реологический закон Кельвина–Фойгта точно даёт уравнение затухающей поперечной волны для векторного потенциала; несжимаемость (предел $K/G\to \infty$) однозначно фиксирует калибровку Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$. Все четыре уравнения Максвелла следуют с локализованными источниками; в дальней зоне вязкий ток исчезает и восстанавливаются точные вакуумные уравнения. Электрический заряд отождествляется с инвариантом циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$; константа преобразования $R={\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$ является непосредственно измеримой механической величиной. Модель справедлива при $\delta \equiv \nu /(cL)\ll 1$ и воспроизводит закон Кулона в стационарном пределе.

1. Введение

1.1 Мотивация: сведение электродинамики к механике

Вопрос о том, допускают ли электромагнитные явления механическую интерпретацию, занимает центральное место в теоретической физике со времён Фарадея. Максвелл в своей статье 1861 года «О физических силовых линиях» [1] моделировал магнитное поле как систему вращающихся вихревых ячеек в механической среде, где холостые шестерёнки передавали электрическую силу между ними. Гельмгольц [2] незадолго до этого показал, что вихревые нити в идеальной жидкости подчиняются далеко идущим законам сохранения; структурная аналогия между вихревыми трубками и линиями магнитного поля была ключевой интуицией как для Максвелла, так и для Кельвина [3].

Несмотря на то что программа механических эфирных моделей в итоге уступила место абстрактной полевой формулировке, закреплённой Хевисайдом [4] и его последователями, поиск гидродинамических аналогов уравнений Максвелла сохраняет научную ценность по ряду причин:

• Эвристическая и педагогическая ценность. Конкретная механическая картина даёт физическую интуицию, дополняющую абстрактный формализм. Хорошо построенные механические аналогии направляют поиск решений и обобщений, которые могут быть не видны с полевой точки зрения.

• Аналогии со сверхтекучестью и квантовыми жидкостями. Квантованная вихревая динамика в жидком гелии и конденсатах Бозе–Эйнштейна (КБЭ) предоставляет лабораторию для полевых феноменов при доступных энергиях [5]. Квантование циркуляции $\Gamma =nh/m$ повторяет дискретность электрического заряда; фононный спектр имеет линейное (фотоноподобное) дисперсионное соотношение $\omega =c_{s}k$ на длинных волнах. Формализация этого соответствия указывает на конкретные эксперименты и мотивирует новые теоретические связи.

• Генерация гипотез. Структурный изоморфизм между вихревой механикой и электродинамикой ограничивает модели физического вакуума и указывает на механизмы, труднодоступные со стороны стандартной теории поля.

Настоящая работа носит сугубо формальный характер: мы устанавливаем математический изоморфизм между уравнениями конкретной механической модели и уравнениями Максвелла. Никаких онтологических утверждений о том, что электромагнетизм есть механика, не делается.

1.2 Центральная трудность и её разрешение

Главная трудность при построении гидродинамического аналога уравнений Максвелла состоит в магнитном секторе: уравнения Максвелла допускают электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью $c$, тогда как уравнение для завихрённости в ньютоновской жидкости,

$${\partial }_t\mathbf{\omega }=\nu {\nabla }^2\mathbf{\omega },$$

является чисто диффузионным. Прежние построения решали эту трудность по-разному: одни вводили гиперболическое замыкание вручную без механического обоснования, другие ограничивались безвихревыми или стационарными случаями, при которых общая несовместимость не устраняется [6, 7, 8].

Наше решение состоит в замене ньютоновской реологической модели на вязкоупругую модель Кельвина–Фойгта, мотивированную конкретным механическим свойством вихревых колец: компактное вихревое ядро (решение типа Хилла) поддерживает свою форму за счёт баланса давлений. При деформации оно испытывает восстанавливающую силу, пропорциональную смещению, — упругий отклик. Это наделяет внешнюю среду вихревых колец конечным сдвиговым модулем $G$, превращая чисто диффузионную среду Навье–Стокса в волновое тело К–В. Уравнение затухающей поперечной волны затем следует как точное следствие реологического закона без дополнительных гипотез.

1.3 Предшествующие работы

Формальные аналогии жидкость–электромагнетизм рассмотрены в [9, 6, 10, 7, 8, 11]. Моффат [12] исследовал аналогии магнитостатики и течений Эйлера. Дарригол [13] и Бокулич [11] дают исторический обзор аналогии Гельмгольца–Максвелла. Настоящая работа отличается тем, что гиперболическое волновое поведение выводится из реологического закона Кельвина–Фойгта, который сам обосновывается упругой жёсткостью компактных вихревых ядер.

1.4 Структура статьи

Раздел 2 развивает физическую основу (упругость вихревого ядра, реологическая модель К–В). Раздел 3 формирует математическую базу (управляющие уравнения, область применимости, разложения). Раздел 4 устанавливает отображения полей, потенциалы, волновые уравнения и условие калибровки Кулона. Раздел 5 определяет заряд как инвариант циркуляции. Раздел 6 представляет полное формальное соответствие уравнениям Максвелла. Раздел 7 интерпретирует все константы и поля. Раздел 8 устанавливает аналог закона Кулона. Раздел 9 обсуждает ограничения, раздел 10 предлагает экспериментальные проверки, раздел 11 содержит выводы.

2. Вихревая динамика как среда Кельвина–Фойгта

2.1 Упругая восстанавливающая сила компактного вихревого ядра

Рассмотрим компактный поступательный вихрь типа, найденного Хиллом [14] (см. также [15, 16, 17]): сферическая область радиуса $r_0$, содержащая вихревую структуру, которая распространяется с постоянной скоростью без изменения формы. Устойчивость обеспечивается точным балансом между давлением, индуцированным внутренней завихрённостью, и внешним безвихревым давлением.

При малом смещении $\mathbf{d}$ с $|\mathbf{d}|\ll r_0$ изменённое взаимодействие Био–Савара модифицирует внутреннее распределение давления. Характерная самоиндуцированная скорость $U_{\mathrm{ind}}\sim \Gamma /r_0$, и возмущение давления, вызванное смещением $|\mathbf{d}|$, равно $\delta p\sim \rho U_{\mathrm{ind}}^2|\mathbf{d}|/r_0$. Объёмная восстанавливающая сила поэтому

$$f_{\mathrm{elastic}}\sim \frac{\delta p}{r_0}\sim \frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^4}|\mathbf{d}|=G_{\mathrm{vortex}}\frac{|\mathbf{d}|}{r_0^2},G_{\mathrm{vortex}}\sim \frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^2}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Это конститутивный признак материала со сдвиговым модулем $G_{\mathrm{vortex}}$. Упругий отклик вихря не является дополнительным допущением: он вытекает из механизма баланса давлений, поддерживающего вихревую структуру. Теория устойчивости вихревых колец и их теория возмущений рассмотрены в [17, 16]; точный вывод $G(\Gamma ,r_0,\rho )$ из мод деформации вихря остаётся открытой задачей (см. раздел 9). Оценка порядка величины (1) достаточна для установления аналогии.

Рис. 1. Компактное вихревое ядро типа Хилла и его упругая восстанавливающая сила. Малое смещение $\mathbf{d}$ от равновесной формы порождает восстанавливающую силу с эффективным сдвиговым модулем $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ (1), устанавливая упругий характер среды К–В.

Два вклада в $G$: стабильность формы и коллективная упругость.

Оценка (1) даёт правильный масштаб, однако физическое происхождение $G$ во внешней среде требует более чёткого разграничения. Одиночное свободное вихревое кольцо в неограниченной идеальной жидкости движется поступательно без восстанавливающей силы при жёстком смещении: теорема Кельвина о циркуляции сохраняет $\Gamma$, но не противодействует смещению. Поэтому в $G$ вносят вклад два различных механизма:

1. Стабильность формы (внутривихревой). Баланс давлений вихря Хилла стабилизирует форму ядра: деформационные моды ($\ell \ge 2$) испытывают восстанавливающую силу, удерживая ядро компактным с радиусом $r_0$. Точный коэффициент выведен в Приложении Е методом скачка давления (линеаризованный Бернулли, без решения УЧП):

   $$G_{\mathrm{shape}}=\frac{27\rho {\Gamma }^2}{175r_0^2},\frac{G_{\mathrm{shape}}}{G_{\mathrm{Tk}}}=\frac{108\pi }{175}\approx \mathrm{1.94.}\text{\hspace{1em}(2)}$$

   Два вклада сравнимы; вклад деформации формы примерно вдвое больше вклада Ткаченко.

2. Коллективная упругость (межвихревая, механизм Ткаченко). В разреженной совокупности вихревых колец, образующих внешнюю среду К–В, смещение одного кольца изменяет скоростное поле Био–Савара, действующее на его соседей; эта обратная реакция является основным источником $G$. Для правильной двумерной решётки вихрей со сверхтекучей плотностью ${\rho }_s$, квантованной циркуляцией $\Gamma$ и поверхностной плотностью вихрей $n$ (число на единицу площади) Ткаченко [18] вывел точный модуль сдвига:

   $$G_{\mathrm{Tk}}=\frac{{\rho }_s{\Gamma }^{2}n}{4\pi }.$$

   При среднем расстоянии между вихрями $\sim r_0$ (т.е. $n\sim r_0^{-2}$):

   $$G_{\mathrm{Tk}}=\frac{\rho {\Gamma }^2}{4\pi r_0^2},$$

   что подтверждает масштаб (1) с явным коэффициентом $1/(4\pi )$. Этот результат подтверждён последующими исследованиями динамики вихревых решёток во вращающихся сверхтекучих системах [19].

Оба вклада теперь явно определены; их сумма составляет полный эффективный сдвиговый модуль:

$$G=G_{\mathrm{Tk}}+G_{\mathrm{shape}}=\frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^2}\left(\frac{1}{4\pi }+\frac{27}{175}\right)\approx \frac{0.234\rho {\Gamma }^2}{r_0^2}.$$

На протяжении всей статьи запись $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ обозначает этот суммарный масштаб.

2.2 Реологический закон Кельвина–Фойгта для внешней среды

Во внешней области ($r\gg r_0$) среда моделируется как разреженная совокупность вихревых колец, каждое из которых вносит упругие восстанавливающие силы вместе с вязкой диссипацией. Эффективное конститутивное соотношение для девиаторного напряжения есть вязкоупругий закон Кельвина–Фойгта (К–В) [20]:

$$\mathbf{\tau }=2G\mathbf{E}(\mathbf{d})+2{\eta }_0\mathbf{D}(\mathbf{u}),\text{\hspace{1em}(3)}$$

где $\mathbf{d}$ — поле смещений, $\mathbf{u}={\partial }_t\mathbf{d}$ — скорость, $\mathbf{E}=\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{d}+(\nabla \mathbf{d}{)}^{\mathsf{T}})$ — линеаризованный тензор деформации, $\mathbf{D}=\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u}+(\nabla \mathbf{u}{)}^{\mathsf{T}})$ — тензор скорости деформации, $G>0$ — эффективный упругий сдвиговый модуль, ${\eta }_0={\rho }_0\nu$ — динамическая вязкость.

Два слагаемых имеют разное физическое происхождение:

• Упругое слагаемое $2G\mathbf{E}$ кодирует восстанавливающую силу от баланса давлений в вихревом ядре, причём $G$ порядка $\rho {\Gamma }^2/r_0^2$ согласно (1).
• Вязкое слагаемое $2{\eta }_0\mathbf{D}$ — стандартный ньютоновский вклад базовой жидкости.

Чистая модель Навье–Стокса (ньютоновская) восстанавливается при $G=0$. Время релаксации Кельвина–Фойгта:

$${\tau }_{\mathrm{KV}}=\frac{{\eta }_0}{G}.$$

Рис. 2. Реологическая модель Кельвина–Фойгта: пружина ($G$, упругость) параллельно с вязким демпфером (${\eta }_0$). Время релаксации ${\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G=R$.

2.3 Характерная скорость волны и связь с квантовыми жидкостями

Скорость поперечной волны в среде К–В:

$$c\equiv \sqrt{G/{\rho }_0}.$$

Для вихревой решётки с квантованной циркуляцией $\Gamma =h/m$ и шагом $r_0$ оценка $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ даёт $c\sim \Gamma /r_0$. Это согласуется со скоростью фонона Боголюбова в КБЭ [21, 22, 23], $c_s=\sqrt{g{n}_0/m}$ (где $g$ — константа связи, $n_0$ — плотность конденсата), подтверждая, что модель К–В воспроизводит правильную длинноволновую волновую физику квантовых жидкостей.

В аналогии $c$ играет роль скорости света: он задаёт временной масштаб транзита волны для внешних полей и определяется упругими свойствами вихревой решётки, а не является свободным параметром.

3. Математический аппарат

3.1 Управляющие уравнения

В области компактного ядра среда описывается полными уравнениями Навье–Стокса. Во внешней области мы принимаем несжимаемые линеаризованные уравнения К–В:

$$\nabla \cdot \mathbf{u}=0,\text{\hspace{1em}(4)}$$ $${\rho }_0{\partial }_{tt}\mathbf{u}=-\nabla {\partial }_t{p}^{\prime }+G{\nabla }^2\mathbf{u}+{\eta }_0{\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{u},\text{\hspace{1em}(5)}$$

где $p^{\prime }=p-p_0$ — возмущение давления, выступающее в роли множителя Лагранжа, обеспечивающего выполнение связи (4). Эти уравнения следуют из реологического закона К–В (3) путём подстановки в линеаризованный баланс импульса ${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}=\nabla \cdot \mathbf{\sigma }$ и дифференцирования по $t$ с последующим проецированием на бездивергентное подпространство.

Несжимаемый предел физически обоснован принятием скорости продольных (компрессионных) волн $c_P\to \infty$, так что акустическое сжатие подстраивается мгновенно и единственной оставшейся волновой модой является поперечная волна со скоростью $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$. В рамках конститутивной модели К–В это эквивалентно $K/G\to \infty$ при фиксированном $G$ (то есть модуль объёмного сжатия $K\to \infty$, тогда как сдвиговый модуль $G$ остаётся конечным), или эквивалентно коэффициенту Пуассона ${\nu }_P\to \frac{1}{2}$. Скорость сдвига $c$ тем самым однозначно определена без каких-либо ограничений на коэффициенты Ламе, и односкоростная аналогия с электромагнетизмом получается без дополнительных допущений. Взятие дивергенции от (5) с учётом (4) даёт уравнение Пуассона

$${\nabla }^2{p}^{\prime }=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

в бесточечной внешней области, откуда давление является гармонической функцией, определяемой граничными условиями на поверхности ядра. Упругое слагаемое К–В $G{\nabla }^2\mathbf{d}$ действует только на соленоидальное поле смещений и не порождает продольных мод.

3.2 Область применимости

Пусть $r_0$ — радиус ядра, $L$ — внешний масштаб наблюдения. Введём безразмерные параметры

$${\mathrm{Re}}_c=\frac{c{r}_0}{\nu },ϵ=\frac{r_0}{L},\delta =\frac{\nu }{cL}=\frac{{\tau }_{\mathrm{KV}}}{L/c}.$$

Модель справедлива при

$${\mathrm{Re}}_c\gg 1,ϵ\ll 1,\delta \ll 1.\text{\hspace{1em}(7)}$$

Эти условия обеспечивают соответственно: (i) динамика на масштабе ядра упруго-доминированная, вязкие эффекты малы внутри ядра (${\mathrm{Re}}_c\gg 1$); (ii) ядро компактно, внешние поля меняются на масштабе $L\gg r_0$ ($ϵ\ll 1$); (iii) волновой режим: вязкая релаксация (${\tau }_{\mathrm{KV}}=R$) быстра по сравнению со временем транзита волны $L/c$, поэтому $\Gamma$ сохраняется с точностью $O(\delta )$ по теореме Кельвина ($\delta \ll 1$).

3.3 Разложение ядро–внешняя область

Вводим гладкую срезающую функцию $\chi (\mathbf{r})\in [0,1]$ с $\chi \approx 1$ в ядре ${\Omega }_0$ и $\chi \approx 0$ в дальней внешней области (см. Приложение Д). Все плотности источников ($\sigma$, $\mathbf{j}$) содержат множители $\chi$, $\nabla \chi$ или ${\nabla }^2\chi$ и обращаются в нуль в дальней зоне.

Рис. 3. Разложение ядро–внешняя область с гладкой индикаторной функцией $\chi$. Источники $\sigma$ и $\mathbf{j}$ сосредоточены в ядре и его переходном слое. Дальняя зона описывается однородными уравнениями Максвелла.

3.4 Разложение Гельмгольца

Условие несжимаемости (4) означает, что поле скоростей во внешней области является чисто соленоидальным: $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ всюду во внешней области. В разложении Гельмгольца

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}+{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}},\nabla \times {\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}=0,\nabla \cdot {\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=0,$$

потенциальная (безвихревая) часть ${\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}$ является потенциальным течением, удовлетворяющим ${\nabla }^2{\varphi }_{\mathrm{ir}}=0$ (источники во внешней области отсутствуют); её роль описывается скалярным потенциалом $\varphi$ через уравнение Пуассона (раздел 4.4). Соленоидальная часть ${\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$ несёт завихрённость и отображается в векторный потенциал $\mathbf{A}=R{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$, который поэтому точно соленоиден: $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ (калибровка Кулона).

4. Отображения полей и потенциалы

4.1 Идентификация из структуры силы Лоренца

Используя тождество Лэмба $(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=\frac{1}{2}\nabla u^2-\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }$ (где $\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}$), уравнение Эйлера во внешней области ${\rho }_0({\partial }_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u})=-\nabla p^{\prime }$ принимает вид

$${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}+\nabla \left(p^{\prime }+\frac{1}{2}{\rho }_0{u}^2\right)={\rho }_0\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }.$$

Правая часть — плотность силы Лэмба. Сравнение с плотностью силы Лоренца $\mathbf{f}=\sigma (\mathbf{E}+\mathbf{u}\times \mathbf{B})$ предлагает отождествления

$$\mathbf{B}\sim \mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u},\mathbf{E}\sim -{\partial }_t\mathbf{u}-\nabla \left(\frac{p^{\prime }}{{\rho }_0}+\frac{u^2}{2}\right).$$

В линеаризованной внешней области ($|\mathbf{u}|\ll c$) квадратичный член $\nabla (u^2/2)$ является членом второго порядка и поглощается скалярным потенциалом на ведущем порядке, давая $\mathbf{E}\approx -{\partial }_t\mathbf{u}-\nabla p^{\prime }/{\rho }_0$. Это совпадает со стандартной потенциальной формой $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ при $\varphi \sim p^{\prime }/{\rho }_0$ и $\mathbf{A}\sim \mathbf{u}$. Полный вывод с использованием тождества Лэмба приведён в Приложении В.

4.2 Определения потенциалов и константа преобразования $R$

Введём электромагнитные потенциалы через коэффициент преобразования $R$ (размерность: время):

$$\varphi \equiv R\frac{p}{{\rho }_0},\mathbf{A}\equiv R\mathbf{u}.\text{\hspace{1em}(8)}$$

Электрическое и магнитное поля тогда:

$$\mathbf{E}\equiv -\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}=-R(\nabla \frac{p}{{\rho }_0}+{\partial }_t\mathbf{u}),\mathbf{B}\equiv \nabla \times \mathbf{A}=R\nabla \times \mathbf{u}.\text{\hspace{1em}(9)}$$

Заметим, что $\mathbf{B}=R\nabla \times \mathbf{u}=R\mathbf{\omega }$ зависит только от соленоидальной части ${\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$, так как $\nabla \times {\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}=0$ по определению. Безвихревая компонента $\mathbf{u}$ входит в $\varphi$ и связана с $\mathbf{A}$ через условие калибровки Кулона (14). Конкретное значение $R$ фиксируется в разделе 4.6.

4.3 Волновое уравнение для векторного потенциала (вывод К–В)

Для соленоидального смещения ${\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}$ при $\nabla \cdot {\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}=0$ безвихревой градиент давления проецируется в нуль в соленоидальном секторе, поэтому реологический закон К–В (3), подставленный в линеаризованный баланс импульса, даёт

$${\rho }_0{\partial }_{tt}{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}=G{\nabla }^2{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}+{\eta }_0{\nabla }^2{\partial }_t{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}.\text{\hspace{1em}(10)}$$

Дифференцируя по $t$ и подставляя ${\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}={\partial }_t{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}$:

$${\rho }_0{\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=G{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}+{\eta }_0{\nabla }^2{\partial }_t{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}.$$

Деля на ${\rho }_0$ при $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ и $\nu ={\eta }_0/{\rho }_0$:

$${\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}-c^2{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=\nu {\nabla }^2{\partial }_t{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}.\text{\hspace{1em}(11)}$$

Поскольку $\mathbf{u}$ является чисто соленоидальным во внешней несжимаемой области, векторный потенциал $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ полностью соленоиден и удовлетворяет тому же волновому уравнению точно:

$${\partial }_{tt}\mathbf{A}-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}=\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.\text{\hspace{1em}(12)}$$

Это является точным следствием реологической модели К–В (3) для соленоидального поля скоростей — не самостоятельной гипотезой. Разложение на поперечную и продольную части не требуется: калибровка Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ выполняется тождественно.

4.4 Уравнение Пуассона для скалярного потенциала

Поскольку ${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$ в бесточечной внешней области (6), скалярный потенциал $\varphi \equiv R{p}^{\prime }/{\rho }_0$ там удовлетворяет

$${\nabla }^2\varphi =0.$$

Вблизи ядра (где $\chi$-разбиение вводит источниковые члены) это превращается в уравнение Пуассона

$$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma ,\text{\hspace{1em}(13)}$$

которое выводится из закона Гаусса в разделе 6 и Приложении Г. Скалярный потенциал распространяется мгновенно (эллиптическое уравнение), а не в виде волны; это характерно для калибровки Кулона и калибровочно эквивалентно волновому уравнению в калибровке Лоренца — все физически наблюдаемые величины одинаковы.

4.5 Условие калибровки Кулона

Определение $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ совместно с условием несжимаемости (4) немедленно даёт

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=R\nabla \cdot \mathbf{u}=0.\text{\hspace{1em}(14)}$$

Это условие калибровки Кулона, выведенное здесь как точное следствие несжимаемости — не наложенное вручную. Скалярный потенциал тогда определяется мгновенным уравнением Пуассона (13), как в стандартной электростатике в калибровке Кулона.

Калибровочная эквивалентность.

Калибровка Кулона и калибровка Лоренца $\nabla \cdot \mathbf{A}+(1/c^2){\partial }_t\varphi =0$ физически эквивалентны: они связаны калибровочным преобразованием, и все наблюдаемые поля $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ одинаковы. Несжимаемая среда К–В естественным образом выбирает калибровку Кулона; условие Лоренца возникло бы вместо неё при баротропном замыкании сжимаемой системы (сравнение см. в Приложении Г).

4.6 Значение $R$ и его механический смысл

Из размерной согласованности $[\varphi ]=[\mathbf{E}]\cdot \mathrm{m}$ и $[\mathbf{A}]=[\mathbf{B}]\cdot \mathrm{m}$ при (8) следует $[R]=\mathrm{s}$. Единственный выбор, при котором волновое уравнение для $\mathbf{A}$ (12) выполняется с теми же $c$ и $\nu$, что и (11):

$$\boxed{R\equiv \frac{\nu }{c^2}=\frac{{\eta }_0/{\rho }_0}{G/{\rho }_0}=\frac{{\eta }_0}{G}={\tau }_{\mathrm{KV}}.}$$

Константа преобразования $R$ является временем механической релаксации Кельвина–Фойгта внешней среды. Это не свободный параметр: он определяется отношением вязкости жидкости к упругому модулю вихревой решётки. Условие $\delta =\nu /(cL)=R/(L/c)\ll 1$ — просто требование того, что среда релаксирует быстрее, чем волна проходит масштаб наблюдения.

5. Заряд как нормированный на массу инвариант циркуляции

5.1 Вихревая трубка и инвариант циркуляции

Пусть ${\Omega }_0$ — компактное тороидальное вихревое ядро с осью $\mathbf{e}$ и радиусом ядра $r_0$. Завихрённость $\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}$ образует вихревую трубку $\mathcal{T}$, охватывающую ${\Omega }_0$. Стандартная циркуляция по любому допустимому контуру $C$, обходящему $\mathcal{T}$ один раз:

$$\Gamma \equiv {\oint }_C\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}={\iint }_{S:\partial S=C}\mathbf{\omega }\cdot d\mathbf{S}.\text{\hspace{1em}(15)}$$

По теореме Кельвина о циркуляции $\Gamma$ инвариантна в инвязком пределе, с поправками $O(\nu )$ в слабовязком режиме.

5.2 Определение гидродинамического заряда

Гидродинамический заряд определяется как

$$\boxed{Q\equiv {\rho }_0{r}_0\Gamma ,}$$

где $\ell =r_0$ — радиус вихревого ядра — внутренний масштаб длины компактного ядра. Знак $Q$ определяется ориентацией контура $C$ по правилу правой руки относительно $\mathbf{e}$.

Выбор $\ell =r_0$ естественен: он делает $Q$ пропорциональным «объёму» вихря $\sim r_0^3$, взвешенному на поток завихрённости $\sim \Gamma /r_0^2$, придавая мощности источника чёткий физический размер и масштаб. В электростатическом законе Кулона (раздел 8) входит лишь отношение $Q/(4\pi {\rho }_0)=r_0\Gamma /(4\pi )$, поэтому кулоновское поле не зависит от соглашения о нормировке $Q$ при фиксированном $\ell$.

5.3 Квантование циркуляции

В сверхтекучих системах циркуляция квантована [24, 25, 26]:

$$\Gamma =n\frac{h}{m_{\mathrm{p}}},n\in \mathbb{Z},$$

где $m_{\mathrm{p}}$ — масса частицы, $h$ — постоянная Планка. Это обеспечивает естественную дискретность $Q$, повторяя квантование электрического заряда. В данном контексте условие $\ell =r_0$ связывает квант заряда с длиной заживления конденсата [22, 23].

5.4 Локализованная плотность заряда

Для представления $Q$ как объёмного интеграла введём поверхностное дельта-распределение ${\delta }_S$ на поверхности $S$, ограниченной контуром $\mathcal{T}$ (с $\partial S=C$):

$$\sigma (\mathbf{r})\equiv {\rho }_0{r}_0(\mathbf{\omega }(\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{r})){\delta }_S(\mathbf{r}).$$

Интегрируя по всему пространству и применяя теорему Стокса:

$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\sigma dV={\rho }_0{r}_0{\int }_S\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{n}dS={\rho }_0{r}_0\Gamma =Q,$$

используя определение (15). Таким образом, локализованная плотность $\sigma (\mathbf{r})$ и глобальный инвариант $Q$ согласованы: $\sigma$ — плотность источника, объёмный интеграл которой воспроизводит инвариант циркуляции. Локализация в ядре следует из $\chi$-разбиения: во внешней области $\mathbf{\omega }\to 0$ и $\sigma \to 0$.

6. Формальное соответствие уравнениям Максвелла

Во внешней области используем потенциалы (8) и определения полей (9). Источники локализуются посредством $\chi$-разбиения (раздел 3.3). Четыре уравнения устанавливаются в порядке (II), (III), (IV), (I): первые два следуют как чистые тождества потенциального формализма; (IV) использует волновое замыкание К–В (12); (I) следует из условия калибровки Кулона (14) и уравнения Пуассона (13) для скалярного потенциала.

6.1 (II) Теорема Гаусса для магнетизма

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0.\text{\hspace{1em}(II)}$$

Это векторное тождество, выполняется везде.

6.2 (III) Закон электромагнитной индукции Фарадея

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\nabla \times \nabla \varphi -{\partial }_t(\nabla \times \mathbf{A})=-{\partial }_t\mathbf{B}.\text{\hspace{1em}(III)}$$

Это также тождество потенциального формализма.

6.3 (IV) Закон Ампера–Максвелла

В калибровке Кулона (14) векторное тождество $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})-{\nabla }^2\mathbf{A}$ упрощается до

$$c^2\nabla \times \mathbf{B}=-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}.$$

Деля уравнение импульса К–В (5) на ${\rho }_0$ и умножая на $R$ (так что $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$, $\varphi =R{p}^{\prime }/{\rho }_0$):

$${\partial }_{tt}\mathbf{A}+\nabla {\partial }_t\varphi =c^2{\nabla }^2\mathbf{A}+\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A},$$

откуда

$$-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}=-{\partial }_{tt}\mathbf{A}-\nabla {\partial }_t\varphi +\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.$$

Используя ${\partial }_t\mathbf{E}=-\nabla {\partial }_t\varphi -{\partial }_{tt}\mathbf{A}$ (производная по времени от $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$), члены $\nabla {\partial }_t\varphi$ и $-{\partial }_{tt}\mathbf{A}$ объединяются в ${\partial }_t\mathbf{E}$:

$$c^2\nabla \times \mathbf{B}={\partial }_t\mathbf{E}+\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.$$

Умножая на ${\rho }_0$ и вводя $\mathbf{H}\equiv {\rho }_0{c}^2\mathbf{B}$, $\mathbf{D}\equiv {\rho }_0\mathbf{E}$, $\mathbf{j}\equiv {\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$:

$$\nabla \times \mathbf{H}={\partial }_t\mathbf{D}+\mathbf{j},\boxed{\mathbf{H}\equiv {\rho }_0{c}^2\mathbf{B},\mathbf{D}\equiv {\rho }_0\mathbf{E},\mathbf{j}\equiv {\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.}\text{\hspace{1em}(IV)}$$

Отождествления $\epsilon {\epsilon }_0={\rho }_0$ и $\mu {\mu }_0=({\rho }_0{c}^2{)}^{-1}$ (раздел 7) дают $\mathbf{D}=\epsilon {\epsilon }_0\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}=\mathbf{B}/(\mu {\mu }_0)$, согласующиеся со стандартной формой Ампера–Максвелла $\nabla \times \mathbf{H}={\partial }_t\mathbf{D}+\mathbf{j}$. Эффективный ток $\mathbf{j}={\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$ имеет прямое механическое происхождение: он представляет вязкую релаксацию упругой энергии в соленоидальном секторе среды К–В. Он пропорционален $\nu$ (иначе говоря, $R=\nu /c^2$) и обращается в нуль в идеальном пределе $\nu \to 0$, согласованно с консервативной (безъисточниковой) структурой Максвелла для невязкой среды. Во внешней области, где $\chi \approx 0$, ток $O(\delta )\to 0$ (Приложение Б), поэтому электромагнитные источники локализованы вблизи ядра. В точной аналогии с разложением пограничного слоя классической вихревой теории [16], вязкость существенна лишь в области ядра; в дальней зоне ($\delta \to 0$) вязкий ток обращается в нуль и безъисточниковая вакуумная форма $\nabla \times \mathbf{H}={\partial }_t\mathbf{D}$ восстанавливается точно.

6.4 (I) Теорема Гаусса

Берём дивергенцию от $\mathbf{D}={\rho }_0\mathbf{E}=-{\rho }_0\nabla \varphi -{\rho }_0{\partial }_t\mathbf{A}$ и применяем калибровку Кулона (14):

$$\nabla \cdot \mathbf{D}=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi -{\rho }_0{\partial }_t(\nabla \cdot \mathbf{A})=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi .$$

Уравнение Пуассона (13) даёт непосредственно:

$$\boxed{\nabla \cdot \mathbf{D}=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma .}\text{\hspace{1em}(I)}$$

Локализация: в бесточечной внешней области ${\nabla }^2\varphi =0$, поэтому $\sigma \to 0$ вдали от ядра; $\sigma$ сосредоточена вблизи границы ядра, где $\nabla \chi \ne 0$, посредством $\chi$-разбиения.

7. Физическая интерпретация констант и полей

7.1 Константа преобразования $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$

Константа $R=\nu /c^2={\eta }_0/G={\tau }_{\mathrm{KV}}$ — время механической релаксации Кельвина–Фойгта внешней среды вихревых колец. Её физический смысл:

• ${\tau }_{\mathrm{KV}}$ — время, за которое вязкие напряжения рассеивают упругую деформацию среды.
• Условие $\delta =R/(L/c)\ll 1$ означает, что среда релаксирует много раз за время пересечения масштаба наблюдения волной: среда волново-доминированная и электромагнитная аналогия точна.
• $R$ не является подгоночным параметром. При известной вязкости жидкости $\nu$ и измеренной скорости волны $c$ он определяется как $R=\nu /c^2$; либо эквивалентно через упругий модуль $G={\rho }_0{c}^2$ и вязкость ${\eta }_0={\rho }_0\nu$.

7.2 Размерная согласованность

При $R=\nu /c^2$ ($[R]=\mathrm{s}$) поля имеют следующие размерности:

$$[\varphi ]={\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1},[\mathbf{A}]=\mathrm{m},[\mathbf{E}]=\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},[\mathbf{B}]=1\text{ (безразмерное)},[\mathbf{H}]=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}.$$

Следовательно $[c\mathbf{B}]=\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=[\mathbf{E}]$, как в СИ электродинамике. Эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости:

$$\epsilon {\epsilon }_0={\rho }_0,\mu {\mu }_0=\frac{1}{{\rho }_0{c}^2},$$

и плотность электромагнитной энергии $w_{\mathrm{EM}}=\frac{1}{2}{\rho }_0|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2}{\rho }_0{c}^2|\mathbf{B}{|}^2$ имеет размерность $\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$, согласованную с плотностью кинетической энергии $\frac{1}{2}\rho u^2$ базовой жидкости.

7.3 Поток энергии: аналог вектора Пойнтинга

Электромагнитный вектор Пойнтинга $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{B}/(\mu {\mu }_0)$ имеет гидродинамический аналог

$${\mathbf{S}}_{\mathrm{hydro}}=\frac{\mathbf{E}\times \mathbf{B}}{\mu {\mu }_0}={\rho }_0{c}^2\mathbf{E}\times \mathbf{B}=-{\rho }_0{c}^2{R}^2\left[\left(\nabla \frac{p}{{\rho }_0}+{\partial }_t\mathbf{u}\right)\times (\nabla \times \mathbf{u})\right].$$

Физически ${\mathbf{S}}_{\mathrm{hydro}}$ — скорость переноса механической энергии на единицу площади через внешнюю среду совместными возмущениями давления и завихрённости. Тождество сохранения ${\partial }_t{w}_{\mathrm{EM}}+\nabla \cdot {\mathbf{S}}_{\mathrm{hydro}}=0$ выполняется в невязкой внешней области ($\nu \to 0$, т.е. $\delta \to 0$), подтверждая консервативный характер дальней зоны.

7.4 Полная таблица соответствий

ЭМ величина	Гидродинамический аналог	Единица СИ	Единица модели
Скалярный потенциал $\varphi$	$Rp/{\rho }_0$	В	${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$
Векторный потенциал $\mathbf{A}$	$R\mathbf{u}$	В·с·м⁻¹	м
Электрическое поле $\mathbf{E}$	$-R(\nabla p/{\rho }_0+{\partial }_t\mathbf{u})$	В·м⁻¹	$\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
Магнитная индукция $\mathbf{B}$	$R\nabla \times \mathbf{u}$	Тл	1
Напряжённость $\mathbf{H}$	${\rho }_0{c}^2\mathbf{B}={\rho }_0\nu \nabla \times \mathbf{u}$	А·м⁻¹	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$
Диэл. проницаемость $\epsilon {\epsilon }_0$	${\rho }_0$	Ф·м⁻¹	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$
Маг. проницаемость $\mu {\mu }_0$	$({\rho }_0{c}^2{)}^{-1}$	Гн·м⁻¹	$\mathrm{m}{\mathrm{s}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$
Плотность тока $\mathbf{j}$	${\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$	А·м⁻²	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$
Плотность заряда $\sigma$	$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi$	Кл·м⁻³	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{s}}^{-1}$
Плотность ЭМ энергии $w$	$\frac{1}{2}{\rho }_0|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2}{\rho }_0{c}^2|\mathbf{B}{|}^2$	Дж·м⁻³	$\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$
Заряд $Q$	${\rho }_0{r}_0\Gamma$	Кл	$\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$
Ток $I$	$dQ/dt$	А	$\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$
Модуль сдвига	$G$	—	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$
Время релаксации $R$	${\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$	с	с
Скорость волны $c$	$\sqrt{G/{\rho }_0}$	м·с⁻¹	$\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

Таблица 1. Электромагнитно–гидродинамические соответствия. Все гидродинамические выражения используют $R=\nu /c^2={\tau }_{\mathrm{KV}}$ и $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$.

8. Стационарный предел и закон Кулона

8.1 Электростатическое сокращение

В строго стационарном режиме (${\partial }_t=0$, ${\mathbf{u}}_{\infty }=0$, $\mathbf{j}=0$):

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi ,\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

Теорема Гаусса (I) сводится к уравнению Пуассона:

$$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma .\text{\hspace{1em}(16)}$$

8.2 Полный заряд и представление через поток

Интегрируя (16) по объёму $V$, охватывающему источник, и применяя теорему Гаусса–Остроградского:

$$Q={\int }_V\sigma dV={\oint }_{\partial V}{\rho }_0\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}={\rho }_0{\oint }_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.$$

Полный заряд равен потоку ${\rho }_0\mathbf{E}$ через замкнутую поверхность, в точности как в электростатике при $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$.

8.3 Решение для точечного источника и поле $1/r$

При $r\gg r_0$ компактный источник эквивалентен точечному заряду $\sigma =Q{\delta }^{(3)}(\mathbf{r})$, и (16) даёт

$$\varphi (r)=\frac{Q}{4\pi {\rho }_0}\frac{1}{r},\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi {\rho }_0}\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

8.4 Сила между двумя стационарными вихревыми зарядами

Сила на второе ядро с зарядом $Q_2$, находящееся на расстоянии $r_{12}$ от $Q_1$:

$$\boxed{{\mathbf{F}}_{12}=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi {\rho }_0}\frac{{\hat{\mathbf{r}}}_{12}}{r_{12}^2},k_{\mathrm{hydro}}=\frac{1}{4\pi {\rho }_0}.}$$

Взаимодействие отталкивающее для циркуляций одного знака и притягивающее для противоположных, непосредственно воспроизводя электромагнитный закон Кулона.

9. Ограничения и область применимости

Модель справедлива при условиях режима (7). Она демонстрирует управляемую гидродинамическую аналогию, а не доказательство того, что электромагнетизм механичен. Ключевые ограничения:

• Модуль упругости: приближение скачка давления. Результат для деформационной моды $G_{\mathrm{shape}}=27\rho {\Gamma }^2/(175r_0^2)$ (Приложение Е, ур. (2)) использует только фоновые поля Бернулли (приближение замороженного потока), пренебрегая кинетической энергией возмущённой функции тока ${\psi }^{(1)}$. Полный первопринципный расчёт добавил бы положительную поправку, поэтому (2) — нижняя оценка $G_{\mathrm{shape}}$.

• Линейность. Внешние уравнения линеаризованы. Нелинейные эффекты (переподключение вихрей, турбулентность) могут дестабилизировать инвариант циркуляции $Q$.

• Дискретизация заряда. Квантование $Q$ требует либо квантованной циркуляции (режим сверхтекучести), либо отдельного микрофизического механизма.

• Релятивистский режим. Аналогия не затрагивает лоренц-ковариантность или релятивистские поправки.

10. Возможные экспериментальные проверки

Модель предсказывает проверяемые явления в квантовых жидкостях и классических вихревых системах:

1. Кулоновское взаимодействие вихрей. Измерить силу между двумя компактными ядрами как функцию $r_{12}$ и циркуляций ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2$. Модель предсказывает $F\propto {\Gamma }_1{\Gamma }_2/r_{12}^2$ со сменой знака при инверсии циркуляции.

2. Гиперболический vs. диффузионный перенос. Импульсно возбудить компактное ядро и измерить время прихода возмущения на расстоянии $L$. Диффузия Навье–Стокса даёт $t\sim L^2/\nu$; модель К–В предсказывает фронт с конечной скоростью при $t\sim L/c$.

3. Масштабирование эффективного тока по вязкости. В осциллирующей конфигурации вихрей варьировать $\nu$ при постоянном $c$ и измерять амплитуду дальнего поля. Модель предсказывает $|\mathbf{j}|\propto \delta =\nu /(cL)$.

4. Затухание энергии в дальней зоне. Восстановить $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ из измеренных $p$ и $\mathbf{u}$. Для стационарного компактного источника проверить $|\mathbf{E}|\propto r^{-2}$ и $w\propto r^{-4}$.

5. Проверки в квантовых жидкостях. КБЭ и сверхтекучий ${}^4$He предоставляют чётко определённые вихревые ядра с квантованным $\Gamma$ [26, 22], что делает их идеальными системами для проверки соответствия заряд–циркуляция и для измерения волновой скорости К–В $c=\sqrt{G/\rho }\approx c_{\mathrm{Bogoliubov}}$ [27]. Недавняя прямая визуализация квантованных вихревых ядер [28, 5] создаёт экспериментальную инфраструктуру, необходимую для таких измерений.

11. Заключение

Мы показали, что уравнения Максвелла электродинамики формально следуют из механики компактных вихревых структур в вязкоупругой среде Кельвина–Фойгта при допущениях слабой вязкости, малых внешних возмущений и волново-доминированного распространения ($\delta \ll 1$).

Концептуальная цепочка:

1. Компактное вихревое ядро поддерживает свою форму за счёт баланса давлений, порождая упругую восстанавливающую силу со сдвиговым модулем $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$.
2. Внешняя среда разреженных вихревых колец ведёт себя как тело К–В со скоростью волны $c=\sqrt{G/\rho }$ и временем релаксации $R={\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$.
3. Реологический закон К–В точно даёт уравнение затухающей поперечной волны для векторного потенциала (12).
4. Несжимаемость даёт условие калибровки Кулона (14) без дополнительных допущений.
5. Четыре уравнения Максвелла следуют: (II) и (III) — тождества потенциалов; (IV) использует волновое замыкание К–В; (I) использует калибровку Кулона и уравнение Пуассона для скалярного потенциала.
6. Электрический заряд — инвариант циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$, сохраняемый по теореме Кельвина. Закон Кулона следует в стационарном пределе.

Все отображённые величины имеют конкретный механический смысл. В частности, $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$ — непосредственно измеримое свойство среды, а не подгоночный параметр.

Ценность в нынешнем виде.

Схема обеспечивает: (i) механически самосогласованную формальную аналогию, полезную для эвристики, педагогики и развития интуиции; (ii) конкретные экспериментальные предсказания для вихревых взаимодействий в сверхтекучих системах (КБЭ, жидкий гелий); (iii) мост между вихревой динамикой и теорией электромагнитного поля, который может направить новые гипотезы о волновых средах.

Перспективы.

Приоритеты для дальнейшей работы: точный (за пределами приближения скачка давления) расчёт коэффициента деформационной моды вихря Хилла в $G$ (Приложение Е даёт нижнюю оценку $G_{\mathrm{shape}}\ge 27\rho {\Gamma }^2/(175r_0^2)$); обобщение на нестационарные конфигурации движущихся ядер; возможное лоренц-ковариантное обобщение; экспериментальные проверки в КБЭ и жидком гелии.

Приложение А. Модели вязкоупругости Кельвина–Фойгта и Максвелла

Раздел 4.3 выводит уравнение затухающей поперечной волны (11) из конститутивного закона К–В (3). Здесь мы сравниваем его с максвелловской вязкоупругой моделью и обсуждаем предельные случаи.

Почему не модель Максвелла?

Конститутивное соотношение Максвелла,

$$\mathbf{\tau }+{\tau }_M{\partial }_t\mathbf{\tau }={\eta }_0\mathbf{D}(\mathbf{u}),$$

при ${\tau }_M={\eta }_0/G$, приводит к телеграфному уравнению для соленоидальной скорости:

$${\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}+\frac{1}{{\tau }_M}{\partial }_t{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=\frac{\nu }{{\tau }_M}{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}.\text{\hspace{1em}(17)}$$

Это уравнение имеет глобальное (однородное) затухание ${\tau }_M^{-1}{\partial }_t\mathbf{u}$, тогда как уравнение К–В (11) содержит пространственное (лапласианное) затухание $\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{u}$. Соленоидальное условие $\nabla \cdot {\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=0$ сохраняется обеими моделями (так как дивергенция каждого уравнения обращается в нуль при $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$). Кроме того, уравнение (17) не факторизуется в волновой оператор плюс малое вязкое возмущение при $\delta \ll 1$, поэтому оно не допускает чистой интерпретации в терминах теории потенциала.

Предельные случаи замыкания К–В.

• Чисто упругий (${\eta }_0\to 0$): (11) сводится к ${\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=c^2{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$, согласованно с кинематикой Хилла и ветвью фонона Боголюбова.
• Чисто вязкий ($G\to 0$, $c\to 0$): (10) вырождается и уравнение для скорости сводится к диффузии завихрённости ${\partial }_t\mathbf{\omega }=\nu {\nabla }^2\mathbf{\omega }$, восстанавливая стандартные НС.
• Волново-доминированный режим ($\delta \ll 1$, т.е. ${\tau }_{\mathrm{KV}}\ll L/c$): преобладает распространение волны, и аналогия с электромагнетизмом справедлива с точностью $O(\delta )$.

Обобщённая линейная вязкоупругая модель.

Модель Джеффри $(1+{\lambda }_1{\partial }_t)\mathbf{\tau }={\eta }_0(1+{\lambda }_2{\partial }_t)\mathbf{D}$ интерполирует между Максвеллом (${\lambda }_2=0$) и К–В (${\lambda }_1=0$). В пределе ${\lambda }_1\ll {\tau }_{\mathrm{KV}}$ соленоидальное уравнение сводится к (11), подтверждая устойчивость замыкания К–В.

Приложение Б. Оценка порядка величины эффективного тока

Плотность эффективного тока из (IV): $\mathbf{j}={\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$. Пусть $L$ — внешний масштаб длины, $T\sim L/c$ — время распространения. Для векторного потенциала амплитуды $A$:

$$|{\partial }_t\mathbf{A}|\sim \frac{cA}{L},|{\nabla }^2\mathbf{A}|\sim \frac{A}{L^2},|\mathbf{j}|\sim {\rho }_0\nu \frac{A}{L^2}\frac{c}{L}={\rho }_0\frac{\nu cA}{L^3}.$$

При $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ и $R=\nu /c^2$, откуда $A\sim (\nu /c^2)U$:

$$|\mathbf{j}|\sim \frac{{\rho }_0{\nu }^{2}U}{c{L}^3}={\rho }_0\frac{\nu U}{L^2}\delta ,\delta =\frac{\nu }{cL}\ll 1.$$

Ток смещения масштабируется как $|{\partial }_t\mathbf{D}|={\rho }_0|{\partial }_t\mathbf{E}|\sim {\rho }_0\nu U/L^2$, поэтому $|\mathbf{j}|/|{\partial }_t\mathbf{D}|\sim \delta \ll 1$. Эффективный ток имеет порядок $O(\delta )$ по сравнению с током смещения и обращается в нуль в идеальном пределе $\nu \to 0$.

Приложение В. Вывод структуры лоренцоподобной силы

Применяем тождество Лэмба $(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=\frac{1}{2}\nabla u^2-\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }$ (при $\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}$) к внешнему уравнению Эйлера ${\rho }_0({\partial }_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u})=-\nabla p^{\prime }$:

$${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}+\nabla \left(p^{\prime }+\frac{1}{2}{\rho }_0{u}^2\right)={\rho }_0\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }.$$

Правая часть ${\rho }_0\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }$ — плотность силы Лэмба; она возникает чисто из перегруппировки адвективного члена и не является тавтологией. Сравнение с плотностью силы Лоренца $\mathbf{f}=\sigma (\mathbf{E}+\mathbf{u}\times \mathbf{B})$ даёт:

$$\mathbf{B}=R\mathbf{\omega }=R\nabla \times \mathbf{u},\mathbf{E}=-R\left({\partial }_t\mathbf{u}+\nabla \left(\frac{p^{\prime }}{{\rho }_0}+\frac{u^2}{2}\right)\right).$$

В линеаризованной внешней области ($|\mathbf{u}|\ll c$) $\nabla (u^2/2)$ является вторым порядком и поглощается скалярным потенциалом на ведущем порядке:

$$\mathbf{E}\approx -R\left(\nabla \frac{p^{\prime }}{{\rho }_0}+{\partial }_t\mathbf{u}\right)=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A},$$

согласованно с определениями в разделе 4.

Приложение Г. Несжимаемые уравнения К–В и уравнение Пуассона для $\varphi$

В несжимаемой внешней области ($\nabla \cdot \mathbf{u}=0$) давление $p^{\prime }$ является множителем Лагранжа, обеспечивающим выполнение связи. Линеаризованный баланс импульса первого порядка:

$${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}=-\nabla p^{\prime }+{\eta }_0{\nabla }^2\mathbf{u}.\text{\hspace{1em}(18)}$$

Взятие дивергенции с учётом $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$:

$$0=-{\nabla }^2{p}^{\prime },$$

поэтому $p^{\prime }$ гармонична (${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$) в бесточечной внешней области. Умножая (18) на $R/{\rho }_0$ (при $\varphi =R{p}^{\prime }/{\rho }_0$ и $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$):

$${\partial }_t\mathbf{A}=-\nabla \varphi +\nu {\nabla }^2\mathbf{A}.$$

Вблизи ядра $\chi$-разбиение порождает источниковые члены; теорема Гаусса тогда даёт

$$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma ,$$

что сводится к ${\nabla }^2\varphi =0$ вдали от ядра. Калибровка Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=R\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ выполняется тождественно по всей внешней области.

Сравнение со сжимаемым случаем.

В баротропной (сжимаемой) формулировке уравнение неразрывности ${\partial }_t{\rho }^{\prime }+{\rho }_0\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ совместно с $p^{\prime }=c^2{\rho }^{\prime }$ даёт условие Лоренца $\nabla \cdot \mathbf{A}+(1/c^2){\partial }_t\varphi =0$ и волновое уравнение для скалярного потенциала ${\partial }_{tt}\varphi -c^2{\nabla }^2\varphi =\nu {\nabla }^2{\partial }_t\varphi$. Две формулировки связаны калибровочным преобразованием и предсказывают одинаковые поля $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$.

Приложение Д. Разложение ядро–внешняя область через индикаторную функцию

Вводим гладкую срезающую функцию $\chi (\mathbf{r})\in [0,1]$ с $\chi \approx 1$ в ядре ${\Omega }_0$ и $\chi \approx 0$ во внешней области ${\mathbb{R}}^3\setminus {\Omega }_0$. Разбиваем поля:

$$p=p_{\mathrm{ext}}+\chi p_{\mathrm{core}},\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{ext}}+\chi {\mathbf{u}}_{\mathrm{core}},\rho ={\rho }_0+{\rho }^{\prime }.$$

Производные, действующие на $\chi$, порождают граничные члены:

$$\nabla (\chi f)=\chi \nabla f+f\nabla \chi ,{\nabla }^2(\chi f)=\chi {\nabla }^{2}f+2\nabla \chi \cdot \nabla f+f{\nabla }^2\chi .$$

Все плотности источников ($\sigma$, $\mathbf{j}$) поэтому сосредоточены вблизи границы ядра ($\nabla \chi \ne 0$) и обращаются в нуль в дальней внешней области, где $\chi \approx 0$ и $\nabla \chi \approx 0$.

Приложение Е. Модуль сдвига деформационной моды вихря Хилла

Выводим $G_{\mathrm{shape}}$ методом скачка давления: скачок радиального градиента давления через границу невозмущённого вихря Хилла, получаемый непосредственно из уравнения Бернулли на каждой стороне, определяет восстанавливающее давление на деформированной поверхности без решения каких-либо УЧП для возмущённой функции тока.

Фоновые скорости на границе.

В сопутствующей системе отсчёта тангенциальная скорость непрерывна на $r=r_0$:

$$u_{\theta }{|}_{r_0}=\frac{3U}{2}\sin \theta \text{(с обеих сторон)},\text{\hspace{1em}(19)}$$

однако её радиальная производная различается:

$$\frac{\partial u_{\theta }^{\mathrm{in}}}{\partial r}{|}_{r_0}=+\frac{6U}{r_0}\sin \theta ,\frac{\partial u_{\theta }^{\mathrm{out}}}{\partial r}{|}_{r_0}=-\frac{3U}{2r_0}\sin \theta .$$

Обе формулы следуют из дифференцирования внутренней функции тока ${\psi }_0^{\mathrm{in}}=\frac{3U}{4r_0^2}{r}^2(r_0^2-r^2){\sin }^2\theta$ и внешней функции тока ${\psi }_0^{\mathrm{out}}=\frac{U}{2}(r_0^3/r-r^2){\sin }^2\theta$.

Градиенты давления.

Интегралы Бернулли: $p_{\mathrm{in}}+\frac{1}{2}\rho |\mathbf{u}{|}^2=\rho k{\psi }_0^{\mathrm{in}}+C_{\mathrm{in}}$ (внутри, при $k=15U/2r_0^2$) и $p_{\mathrm{out}}+\frac{1}{2}\rho |\mathbf{u}{|}^2=C_{\mathrm{out}}$ (снаружи). Дифференцируя по $r$ при $r=r_0$ (где $u_r=0$):

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial p_{\mathrm{in}}}{\partial r}{|}_{r_0}& =\rho k\frac{\partial {\psi }_0^{\mathrm{in}}}{\partial r}{|}_{r_0}-\rho u_{\theta }\frac{\partial u_{\theta }^{\mathrm{in}}}{\partial r}{|}_{r_0}=-\frac{45\rho U^2}{4r_0}{\sin }^2\theta -\frac{9\rho U^2}{r_0}{\sin }^2\theta =-\frac{81\rho U^2}{4r_0}{\sin }^2\theta ,\\ \frac{\partial p_{\mathrm{out}}}{\partial r}{|}_{r_0}& =-\rho u_{\theta }\frac{\partial u_{\theta }^{\mathrm{out}}}{\partial r}{|}_{r_0}=+\frac{9\rho U^2}{4r_0}{\sin }^2\theta .\end{array}$$

Восстанавливающее давление на деформированной границе.

При смещении границы $\delta r=\epsilon r_0{P}_2(\cos \theta )$ (сохраняющем объём, так как $\int P_2\sin \theta d\theta =0$) возмущение давления первого порядка на возмущённой поверхности:

$$\delta p=\epsilon r_0{P}_2(\cos \theta ){\left[\frac{\partial p_{\mathrm{in}}}{\partial r}-\frac{\partial p_{\mathrm{out}}}{\partial r}\right]}_{r_0}=-\frac{45\rho U^2\epsilon }{2}{P}_2(\cos \theta ){\sin }^2\theta .$$

Там, где $P_2>0$ (полюса, граница смещена наружу), $\delta p<0$ означает, что внешнее давление превышает внутреннее, возвращая границу обратно: это восстанавливающее усилие.

Упругая энергия.

Работа против восстанавливающего давления при достижении деформации $\epsilon$:

$$E^{(2)}=-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\delta p\cdot \epsilon r_0{P}_2\cdot 2\pi r_0^2\sin \theta d\theta =\frac{45\pi \rho U^2{r}_0^3{\epsilon }^2}{2}\underset{=4/35}{\underbrace{{\int }_{-1}^1(1-{\mu }^2)P_2^{2}d\mu }}=\frac{18\pi }{7}\rho U^2{r}_0^3{\epsilon }^2.$$

Угловой интеграл вычисляется как ${\int }_{-1}^1{P}_2^{2}d\mu -{\int }_{-1}^1{\mu }^2{P}_2^{2}d\mu =\frac{2}{5}-\frac{2}{7}=\frac{4}{35}$, где второй член использует разложение ${\mu }^2{P}_2=\frac{12}{35}{P}_4+\frac{11}{21}{P}_2+\frac{2}{15}{P}_0$ и ортогональность полиномов Лежандра.

Модуль сдвига.

Полагая $E^{(2)}=\frac{1}{2}{G}_{\mathrm{shape}}{\epsilon }^2{V}_{\mathrm{core}}$ при $V_{\mathrm{core}}=\frac{4}{3}\pi r_0^3$:

$$G_{\mathrm{shape}}=\frac{2E^{(2)}}{{\epsilon }^2{V}_{\mathrm{core}}}=\frac{27}{7}\rho U^2.$$

Выражая через циркуляцию вихря Хилла $\Gamma ={\int }_0^{r_0}{\int }_0^{\pi }{\omega }_{\varphi }rdrd\theta =5U{r}_0$:

$$\boxed{G_{\mathrm{shape}}=\frac{27\rho {\Gamma }^2}{175r_0^2}.}\text{\hspace{1em}(20)}$$

Сравнение с формулой Ткаченко.

При $G_{\mathrm{Tk}}=\rho {\Gamma }^2/(4\pi r_0^2)$:

$$\frac{G_{\mathrm{shape}}}{G_{\mathrm{Tk}}}=\frac{27/(175)}{1/(4\pi )}=\frac{108\pi }{175}\approx 1.94,G=G_{\mathrm{Tk}}+G_{\mathrm{shape}}\approx \frac{0.234\rho {\Gamma }^2}{r_0^2}.$$

Область применимости.

Уравнение (20) — нижняя оценка: вывод использует только фоновое давление Бернулли (приближение замороженного потока) и опускает положительную кинетическую энергию $\frac{\rho }{2}\int |\delta \mathbf{u}{|}^{2}dV$ скорректированного течения. Энергетическая устойчивость ($G_{\mathrm{shape}}>0$) гарантирована тем, что непрерывность $|\mathbf{u}{|}^2$ через границу вихря Хилла (ур. (19)) обеспечивает тождественное обнуление поверхностного члена во второй вариации кинетической энергии.

Литература

1. J. C. Maxwell, On physical lines of force, Phil. Mag. 21, 161–175, 281–291, 338–348 (1861).
2. H. Helmholtz, Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen, J. reine angew. Math. 55, 25–55 (1858).
3. W. Thomson (Lord Kelvin), On vortex atoms, Phil. Mag. 34, 15–24 (1867).
4. O. Heaviside, Electrical Papers, Macmillan, London, 1892.
5. G. Gauthier et al., Giant vortex rings and expansion in oblate Bose–Einstein condensates, Phys. Rev. X 12, 011031 (2022).
6. T. Kambe, A new formulation of equations of compressible fluids by analogy with Maxwell’s equations, Fluid Dyn. Res. 42, 055502 (2010).
7. K. Hu, The analogy between electromagnetics and hydrodynamics, arXiv:2207.12902 (2022).
8. J. Ho, H. Kim et al., Electromagnetism from relativistic fluid dynamics, arXiv:2502.10445 (2025).
9. H. Marmanis, Analogy between the Navier–Stokes equations and Maxwell’s equations: Application to turbulence, Phys. Fluids 10, 1428–1437 (1998).
10. S. Panakkal, R. Parameswaran, and M. Vedan, A geometric algebraic approach to fluid dynamics, Phys. Fluids 32, 056604 (2020).
11. A. Bokulich, Maxwell, Helmholtz, and the unreasonable effectiveness of the method of physical analogy, Stud. Hist. Philos. Sci. 50, 28–37 (2015).
12. H. K. Moffatt, Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrarily complex topology. Part 1. Fundamentals, J. Fluid Mech. 159, 359–378 (1985).
13. O. Darrigol, Body–soul duality in nineteenth-century German electrodynamics: Helmholtz and the concept of potential, Hist. Stud. Phys. Biol. Sci. 28, 207–261 (1998).
14. M. J. M. Hill, On a spherical vortex, Phil. Trans. R. Soc. London A 185, 213–245 (1894).
15. H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1932.
16. P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
17. J. Norbury, A family of steady vortex rings, J. Fluid Mech. 57, 417–431 (1973).
18. V. K. Tkachenko, On vortex lattices, Sov. Phys. JETP 22, 1282–1286 (1966).
19. G. Baym, Tkachenko modes of vortex lattices in rapidly rotating Bose–Einstein condensates, Phys. Rev. Lett. 91, 110402 (2003).
20. R. M. Christensen, Theory of Viscoelasticity: An Introduction, Academic Press, New York, 1971.
21. N. N. Bogoliubov, On the theory of superfluidity, J. Phys. USSR 11, 23–32 (1947).
22. L. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation, Oxford University Press, Oxford, 2003.
23. C. J. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
24. L. Onsager, Statistical hydrodynamics, Nuovo Cimento Suppl. 6, 279–287 (1949).
25. R. P. Feynman, Application of quantum mechanics to liquid helium, Prog. Low Temp. Phys. 1, 17–53 (1955).
26. R. J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
27. A. L. Fetter, Rotating trapped Bose–Einstein condensates, Rev. Mod. Phys. 81, 647–691 (2009).
28. G. P. Bewley, D. P. Lathrop, and K. R. Sreenivasan, Superfluid helium: visualization of quantized vortices, Nature 441, 588 (2006).