Уравнения Максвелла из вихревой механики: Аналогия на основе модели Кельвина–Фойгта

Дмитрий Лосинец · Март 2026

Аннотация. Мы устанавливаем формальную механическую аналогию с уравнениями Максвелла на основе динамики компактных вихревых структур в вязкоупругой среде Кельвина–Фойгта. Эффективный статический сдвиговый модуль внешней среды оценивается по размерности как $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ (коэффициент порядка единицы). Существен лишь ненулевой статический модуль сдвига (среда сдвигово-упруга, но остаётся вихревой) — кристаллическая вихревая решётка (дальний порядок) не нужна; его микроскопический источник (коллективное натяжение вихревых нитей либо форм-упругость ядра) остаётся открытой задачей — метод скачка давления в приближении замороженного потока даёт для формы нуль (условие равновесия границы вихря Хилла). Реологический закон Кельвина–Фойгта точно даёт уравнение затухающей поперечной волны для векторного потенциала; несжимаемость (предел $K/G\to \infty$) однозначно фиксирует калибровку Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$. Четыре уравнения Максвелла следуют с разным статусом: II и III — тождества потенциального формализма; IV — волновое замыкание К–В (в дальней зоне вязкий ток как $O(\delta )$ убывает, вакуумная форма восстанавливается приближённо, точно лишь при $\nu \to 0$); I — калибровка Кулона плюс конститутивное замыкание источника (связь давления с потоком свирла принята, не выведена), в режиме статического неконвектируемого заряда. Электрический заряд отождествляется с азимутальным свирлом вихря, $Q={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$ (${\ell }_c$ — универсальная медиумная длина сшивки; знак — хиральность) — конкретно спиральный монополь: замкнутая закрученная вихревая структура кора, несущая спиральность $H\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$, тогда как поток завихрённости наружу нулевой. Знак внутренней закрутки при релаксации с фиксированной спиральностью наследуется от топологии носителя (лемма о знаке-локе); порция заряда атомарна и двоична ($\pm 1$; кратные заряды — только составные) — прямой вход жёсткости, как и величина кванта ${\Gamma }_0$. Константа преобразования $R={\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$ — отождествление по размерной единственности в волновом секторе (не универсальная измеримая константа). Модель справедлива при $\delta \equiv \nu /(cL)\ll 1$ и воспроизводит закон Кулона в стационарном пределе. Статические поля несомы застывшим смещением покоящейся среды (статика не течёт — теорема; кольцевые интерферометры статических полей не видят), а конвективное расширение даёт ток проводимости и магнитостатику замкнутых цепей. Покоящаяся система отсчёта среды не проявляется как детектируемый эфирный ветер (частичное безвихревое увлечение в ближней зоне плюс лоренц-эфирное сокращение и замедление приборов); детальная трактовка — в статье о специальной теории относительности.

Исходный образ. Заряд — не «начинка» частицы, а закрутка среды вокруг неё; знаков ровно два, потому что закруток ровно две, зеркальных. Электрическое поле покоя — застывший узор натяжений: вдоль линий тянет, поперёк распирает — фарадеевы трубки из учебника, понятые буквально. Магнитное поле — вмороженная закрутка узора, которая никуда не крутится, как выстроенность доменов в намагниченном железе. Ток — закрутки, которые тащат сквозь среду; среда отвечает намоткой вокруг провода — это Эрстед; меняющаяся закрутка есть движение среды, а оно и есть вихревое электрическое поле — это Фарадей; антенна — закрутка, которую трясут, и с неё сбегает рябь. Мнемоника всего раздела: динамика течёт, статика натянута.

1. Введение

1.1 Мотивация: сведение электродинамики к механике

Вопрос о том, допускают ли электромагнитные явления механическую интерпретацию, занимает центральное место в теоретической физике со времён Фарадея. Максвелл в своей статье 1861 года «О физических силовых линиях» [9] моделировал магнитное поле как систему вращающихся вихревых ячеек в механической среде, где холостые шестерёнки передавали электрическую силу между ними. Гельмгольц [7] незадолго до этого показал, что вихревые нити в идеальной жидкости подчиняются далеко идущим законам сохранения; структурная аналогия между вихревыми трубками и линиями магнитного поля была ключевой интуицией как для Максвелла, так и для Кельвина [11].

Несмотря на то что программа механических эфирных моделей в итоге уступила место абстрактной полевой формулировке, закреплённой Хевисайдом [10] и его последователями, поиск гидродинамических аналогов уравнений Максвелла сохраняет научную ценность по ряду причин:

• Эвристическая и педагогическая ценность. Конкретная механическая картина даёт физическую интуицию, дополняющую абстрактный формализм и направляющую поиск обобщений, не видимых с полевой точки зрения.
• Генерация гипотез. Структурный изоморфизм между вихревой механикой и электродинамикой ограничивает модели физического вакуума и указывает на механизмы, труднодоступные со стороны стандартной теории поля.

Настоящая работа носит сугубо формальный характер: мы устанавливаем математический изоморфизм между уравнениями конкретной механической модели и уравнениями Максвелла. Никаких онтологических утверждений о том, что электромагнетизм есть механика, не делается.

1.2 Место в серии и сквозной костяк

Настоящая работа — часть программы из тринадцати статей (A0–A12), в которой одна классическая среда механически порождает электромагнетизм, гравитацию, строение нуклона, ядерные силы, квантовый слой и фотон как отклики одного объекта. Онтология среды, её паспорт и пять принципов программы (Т1–Т5) изложены в основании A0 A0 и здесь не повторяются. Данная статья даёт канон Т1 (электромагнетизм как линейный поперечный отклик среды Кельвина–Фойгта) и механическую картину ближней зоны для Т5 (частичное безвихревое увлечение и ненаблюдаемость кадра среды, §10); полный лоренц-эфирный канон Т5 дан в статье о специальной теории относительности A8. Внутренняя осторожность сохраняется: в рамках программы это канонический механический образ, а не онтологическое отождествление.

Здесь же вводится сквозной костяк обозначений, используемый далее без изменений: плотность среды ${\rho }_0={\epsilon }_0\approx 8,854\cdot 10^{-12}$ (роль диэлектрической проницаемости), поперечная (световая) скорость $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ со сдвиговым модулем $G={\rho }_0{c}^2$, продольный (компрессионный) сектор с большой, но конечной скоростью $c_s\approx 1,26\cdot 10^{23}\text{м/с}$ ($c_s\gg c$ на $14,6$ порядка; предел скорости вещества — $c_s$, света — $c$), словарь $\mathbf{u}\leftrightarrow \mathbf{A}$ (скорость среды — векторный потенциал), заряд как азимутальный свирл $Q={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$ (медиумная длина сшивки ${\ell }_c$) с атомарной двоичной порцией ${\Gamma }_{\phi }\in \{-{\Gamma }_0,0,+{\Gamma }_0\}$ (вход жёсткости; ${\Gamma }_0$ — константа среды, одна на все виды частиц (требование экспорта (30)): в отождествлении ${\Gamma }_0=h/m$ масса медиумная, не масса частицы; механизм дискретности — за квантовой статьёй A6).

Состав серии. Настоящая работа — A1 программы из тринадцати статей; краткие адреса A0–A12 используются далее по тексту как ссылки на них:

• A0 основания среды: онтология, паспорт, метод A0;
• A1 электромагнетизм как линейный отклик среды A1 (эта статья);
• A2 гравитация как квадратичный отклик и шов с ЭМ A2;
• A3 нуклон: строение, заряд, магнитный момент A3;
• A4 ядерное взаимодействие и дейтрон A4;
• A5 сложные ядра A5;
• A6 квантовый слой A6;
• A7 фотон A7;
• A8 специальная теория относительности A8;
• A9 электрон и классы вихрей A9;
• A10 термодинамика среды A10;
• A11 космология среды A11;
• A12 слабый сектор: самоперешивка, $G_F$ из $\alpha$ [71].

Дисциплина ссылок в серии: ссылка назад берёт названный результат ранней статьи как вход; ссылка вперёд — только указатель («механизм — в A6»), за нужным результатом она не отсылает. Канонический вывод каждой величины живёт ровно в одной статье, остальные берут её названным входом.

1.3 Почему Кельвин–Фойгт

Ньютонова жидкость для магнитного сектора не годится: уравнение завихрённости ${\partial }_t\mathbf{\omega }=\nu {\nabla }^2\mathbf{\omega }$ диффузионно и волнового сектора не даёт, тогда как электромагнетизму нужны волны со скоростью $c$. Поэтому мы берём вязкоупругую среду Кельвина–Фойгта: её ненулевой статический сдвиговый модуль $G$ (его несёт коллективное натяжение вихревой сети, §2) превращает диффузионную среду в волновое тело, и уравнение затухающей поперечной волны следует точным следствием реологического закона. Прежние построения вводили гиперболическое замыкание вручную либо ограничивались безвихревыми/стационарными случаями [18, 22, 23]; здесь оно выведено из закона К–В (сравнение с максвелловской вязкоупругой моделью и предельные случаи — Приложение 15).

1.4 Предшествующие работы

Формальные аналогии жидкость–электромагнетизм рассмотрены в [17, 18, 19, 22, 23, 12]. Моффат [21] исследовал аналогии магнитостатики и течений Эйлера. Исторически единственной точной механической моделью, дававшей уравнения Максвелла, была ротационно-упругая среда Мак-Куллага [14] (упругий отклик на абсолютный поворот, а не на деформацию); идею структурного/вихревого эфира развивали Фицджеральд [15] (чьим именем названа <<вихревая губка>>) и Кельвин, а её историю подытожил Уиттекер [16]. Дарригол [13] и Бокулич [12] дают исторический обзор аналогии Гельмгольца–Максвелла. Настоящая работа отличается тем, что гиперболическое волновое поведение выводится из реологического закона Кельвина–Фойгта, который сам обосновывается упругой жёсткостью компактных вихревых ядер.

2. Вихревая динамика как среда Кельвина–Фойгта

2.1 Упругая восстанавливающая сила компактного вихревого ядра

Рассмотрим компактный поступательный вихрь типа, найденного Хиллом [1] (см. также [2, 4, 3]): сферическая область радиуса $r_0$, содержащая вихревую структуру, которая распространяется с постоянной скоростью без изменения формы. Устойчивость обеспечивается точным балансом между давлением, индуцированным внутренней завихрённостью, и внешним безвихревым давлением.

Оценим масштаб эффективного сдвигового модуля размерно. При малом смещении $\mathbf{d}$ с $|\mathbf{d}|\ll r_0$ характерная самоиндуцированная скорость $U_{\mathrm{ind}}\sim \Gamma /r_0$ задаёт масштаб возмущения давления $\delta p\sim \rho U_{\mathrm{ind}}^2|\mathbf{d}|/r_0$, откуда размерная оценка объёмной силы и модуля

$$f_{\mathrm{elastic}}\sim \frac{\delta p}{r_0}\sim \frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^4}|\mathbf{d}|=G_{\mathrm{vortex}}\frac{|\mathbf{d}|}{r_0^2},G_{\mathrm{vortex}}\sim \frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^2}.$$

Это размерная оценка масштаба $G$, а не вывод механизма. Как показано ниже (абзац «Два вклада»), одиночный вихрь при жёстком смещении статической восстанавливающей силы не даёт (теорема Кельвина о циркуляции), а скачок давления на деформируемой границе равен нулю ($G_{\mathrm{shape}}=0$, Приложение 19); конечную статическую жёсткость несёт коллективное натяжение вихревой сети. Точный вывод $G(\Gamma ,r_0,\rho )$ из строения сети остаётся открытой задачей (§11) [3, 4]; размерная оценка (1) фиксирует лишь масштаб, достаточный для аналогии.

Компактное вихревое ядро типа Хилла: размерный масштаб эффективного сдвигового модуля. Смещение $\mathbf{d}$ задаёт размерную оценку $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ (1); статическую жёсткость среды К–В несёт коллективное натяжение сети (абзац «Два вклада»), а не восстанавливающая сила одиночного вихря (для неё $G_{\mathrm{shape}}=0$).

Два вклада в $G$: упругость формы ядра и коллективное натяжение. Оценка (1) даёт правильный масштаб, однако физическое происхождение $G$ во внешней среде требует более чёткого разграничения. Одиночное свободное вихревое кольцо в неограниченной идеальной жидкости движется поступательно без восстанавливающей силы при жёстком смещении: теорема Кельвина о циркуляции сохраняет $\Gamma$, но не противодействует смещению. Поэтому конечный статический модуль сдвига требует либо упругости формы отдельных ядер, либо межвихревого зацепления — но не кристаллического дальнего порядка; существенно лишь, что среда обладает ненулевым статическим модулем сдвига (сдвигово-упруга), оставаясь при этом вихревой. Вклад в $G$ вносят два механизма:

1. Упругость формы ядра (внутривихревой). Баланс давлений вихря Хилла стабилизирует форму ядра, однако статической восстанавливающей силы в приближении замороженного потока он не даёт: скачок радиального градиента давления через границу равен нулю (условие равновесия свободной границы), поэтому метод скачка давления даёт $G_{\mathrm{shape}}=0$ (Приложение 19, (69); символьная проверка calc_G_shape_check.py). В несжимаемой постановке ненулевой вклад формы — эффект второго порядка (возмущённая функция тока ${\psi }^{(1)}$) с не гарантированным знаком [6], отнесённый к открытым задачам; в сжимаемой модели у свирлового (заряженного) ядра есть первопорядковый механизм $G_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}\sim {\rho }_{\mathrm{core}}{\Gamma }_{\phi }^2/r_0^2$ — скачок плотности на границе кора в центростремительном поле свирла (Приложение 19, (70)). Для бессвирловых элементов фоновой губки (${\Gamma }_{\phi }=0$) эта поправка обращается в нуль, поэтому жёсткость среды она не несёт.
2. Коллективное натяжение вихревых нитей (межвихревой). В плотной, но неупорядоченной вихревой среде («вихревая губка» Кельвина–Фиц-дже-раль-да [26]) смещение одной нити меняет скоростное поле Био–Савара, действующее на соседей; эта обратная реакция даёт вклад того же масштаба

$$G_{\mathrm{coll}}\sim C\rho {\Gamma }^{2}n\stackrel{n\sim r_0^{-2}}{\to }C\frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^2},C=O(1),$$

где $n$ — средняя плотность длины нити. В упорядоченной решётке коэффициент вычисляется точно (упругость решётки — Ткаченко [24, 25]; числовое значение $C$ конвенционально, порядка $10^{-1}$) — мы приводим его лишь как эталон упорядоченного предела. В неупорядоченной жёсткой губке $C$ зависит от ближнего порядка и остаётся физическим коэффициентом порядка единицы. Поскольку форм-упругость ядра (пункт 1) в замороженном приближении обращается в нуль, положительную статическую жёсткость несёт именно это коллективное натяжение; дальний (кристаллический) порядок для него не требуется — достаточно плотной губки.

Если элемент сети сам одноквантов ($\Gamma =h/m$, $m=\pi {\rho }_0{r}_0^3$ — то же правило, что для блока сшивки), условие $G_{\mathrm{coll}}={\rho }_0{c}^2$ замыкает масштаб элемента сети однозначно: $r_0=(\sqrt{C}h/(\pi {\rho }_{0}c){)}^{1/4}=16,8C^{1/8}$ нм. Зависимость от $C$ — восьмой степени, поэтому при $C\in [0,025;2]$ получается $r_0\in [10,6;18,3]$ нм. Требование $r_0\ge {\ell }_{\min }=10,60$ нм («пол скорости», A9) даёт нижнюю границу $C\ge 1/(4{\pi }^2)=0,0253$, которую эталон Ткаченко проходит. Отождествление $r_0={\ell }_c$ исключено: оно потребовало бы $C=F^2=476$.

Гипотеза половинного шага (статус — будущее исследование, канон не менялся). Замыкание оставляет одну свободу — укладку $C$; тождество $F=\sqrt{C}{N}^{4/3}=\pi c{\rho }_0{\ell }_c^4/h=21,80=1/2\pi \alpha$ выполняется при этом автоматически при любом $C$ (свобода одна, не две). Выбор $C=1,86$ даёт ровно ${\ell }_c=2r_0$ и целое $N=8$ — сшивка как куб $2\times 2\times 2$ элементов сети: единственная однопараметрическая гипотеза с целочисленной структурой в допустимом диапазоне. Судья назван: вычисление упругости неупорядоченной одноквантовой губки $C_G$ (будущая задача; раунд отложен решением программы) — попадание $C_G\approx 1,86$ подтвердит укладку; вычислимость $C_G$ до $1\%$ сделает целочисленность $N$ острым фальсификатором паспорта $\alpha$; принципиальная невычислимость подтвердит паспортный статус механизмом.

Таким образом положительный эффективный статический сдвиговый модуль среды несёт коллективное натяжение, а форм-упругость ядра в замороженном несжимаемом приближении вклада не вносит ($G_{\mathrm{shape}}=0$; несжимаемый второпорядковый вклад — открытая задача, сжимаемая поправка $\propto {\Gamma }_{\phi }^2$ касается лишь заряженных коров):

$$G=G_{\mathrm{coll}}\sim C\frac{\rho {\Gamma }^2}{r_0^2},C=O(1).$$

На протяжении всей статьи запись $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ обозначает этот масштаб. Эффективная вязкость свободной среды при этом крайне мала (её ограничивает сверху прозрачность вакуума для света), так что среда близка к чисто упругому пределу по сдвигу. Существен именно статический модуль ($G(\omega \to 0)>0$): простая вихревая жидкость имела бы $G_{\mathrm{static}}=0$ и не несла бы ни поперечной волны, ни статического поля. «Жёсткость» относится к упругому отклику на сдвиг, а не к запрету течения: среда остаётся вихревой (вязкоупругое тело).

2.2 Реологический закон Кельвина–Фойгта для внешней среды

Во внешней области ($r\gg r_0$) среда моделируется как плотная неупорядоченная совокупность вихревых колец (та же губка, что и выше, $n\sim r_0^{-2}$), каждое из которых вносит упругие восстанавливающие силы вместе с вязкой диссипацией. Эффективное конститутивное соотношение для девиаторного напряжения есть вязкоупругий закон Кельвина–Фойгта (К–В) [8]:

$$\mathbf{\tau }=2G\mathbf{E}(\mathbf{d})+2{\eta }_0\mathbf{D}(\mathbf{u}),$$

где $\mathbf{d}$ — поле смещений, $\mathbf{u}={\partial }_t\mathbf{d}$ — скорость, $\mathbf{E}=\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{d}+(\nabla \mathbf{d}{)}^{\mathsf{T}})$ — линеаризованный тензор деформации, (Тензор деформации $\mathbf{E}(\mathbf{d})$ и электрическое поле $\mathbf{E}$ (§4) обозначены одной буквой по традиции своих областей; какой из них имеется в виду, ясно по аргументу и контексту.) $\mathbf{D}=\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u}+(\nabla \mathbf{u}{)}^{\mathsf{T}})$ — тензор скорости деформации, $G>0$ — эффективный упругий сдвиговый модуль, ${\eta }_0={\rho }_0\nu$ — динамическая вязкость (эффективная, сетевая: здесь и далее $\nu \equiv {\nu }_{\mathrm{eff}}$, см. второй пункт ниже).

Два слагаемых имеют разное физическое происхождение:

• Упругое слагаемое $2G\mathbf{E}$ кодирует статическую сдвиговую жёсткость среды — её несёт коллективное натяжение вихревой сети (абзац «Два вклада»), а не восстанавливающая сила одиночного вихря; масштаб $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ согласно (1).
• Вязкое слагаемое $2{\eta }_0\mathbf{D}$ — вязкий отклик эффективной среды, ${\eta }_0={\rho }_0{\nu }_{\mathrm{eff}}$, где ${\nu }_{\mathrm{eff}}$ — эффективная (сетевая) вязкость поперечной моды (§2.3), вообще говоря много меньшая молекулярной; транспортная (молекулярная) вязкость входит лишь как источник числа ${\tau }_{\mathrm{KV}}$ (§4.6), но не в затухание света.

Чистая модель Навье–Стокса (ньютоновская) восстанавливается при $G=0$. Время релаксации Кельвина–Фойгта:

$${\tau }_{\mathrm{KV}}=\frac{{\eta }_0}{G}.$$

Реологическая модель Кельвина–Фойгта: пружина ($G$, упругость) параллельно с вязким демпфером (${\eta }_0$). Время релаксации ${\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$ (в волновом секторе отождествляется с константой словаря $R$, §4.6).

2.3 Характерная скорость волны и связь с квантовыми жидкостями

Скорость поперечной волны в среде К–В:

$$c\equiv \sqrt{G/{\rho }_0}.$$

Для вихревой среды с циркуляцией $\Gamma$ и характерным масштабом нити $r_0$ оценка $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ даёт $c\sim \Gamma /r_0$.

В аналогии $c$ играет роль скорости света: он задаёт временной масштаб транзита волны для внешних полей и определяется упругими свойствами вихревой среды, а не является свободным параметром.

Поперечная волна — коллективная мода вихревой сети. Эта волна не есть колебание бесструктурного континуума: она — коллективная мода пронизывающей пространство сети вихревых нитей (согласованное смещение вихрей, бегущее сквозь среду). Модуль сдвига $G$ — эффективная жёсткость сети на такое согласованное смещение, а $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ — скорость этой моды, свойство сети, а не отдельной нити. Прямой аналог — поперечные упругие моды самой вихревой сети (волны Ткаченко вихревой решётки, наблюдённые в бозе-конденсате [51, 52]; теория — [50, 49]; квантование циркуляции восходит к Онзагеру [47] и Фейнману [48]), несомые вихревым узором как целым. Тем самым снимается кажущееся требование «поверхностей внутри сплошного тела»: роль распределённых границ играют сами вихревые нити. Одиночный вихрь, самодвижущийся со своей (дисперсной) скоростью, поперечной волной света не является — ею является коллективная мода сети с универсальной $c$. Затухание этой моды задаётся эффективной вязкостью ${\nu }_{\mathrm{eff}}$ — свойством сети, вообще говоря много меньшей молекулярной сдвиговой (как второй звук в сверхтекучем гелии почти не затухает при конечной вязкости); её ограничивает сверху хроматическая прозрачность (§12).

Выделенный кадр не противоречит опытам. Скорость $c$ задаёт систему покоя среды, однако детектируемого эфирного ветра нет — частичное безвихревое увлечение ближней зоны плюс лоренц-эфирное сокращение приборов. Здесь это лишь отмечается, чтобы не прерывать вывод; подробный разбор вынесен в раздел 10 в конце статьи.

3. Математический аппарат

3.1 Управляющие уравнения

Среда естественно делится на три зоны. (i) Ядро (кор) — компактная область уплотнённой среды ($\rho >{\rho }_0$; количественно плотность кора — домен статьи о нуклоне A3): в нём заключён заряд, среда сжимаема (конечное $c_s$, локально $\nabla \cdot \mathbf{u}\ne 0$) и описывается полными уравнениями Навье–Стокса. (ii) Переходный слой на границе ядра ($\nabla \chi \ne 0$, раздел 3.3) — где уплотнение спадает к фоновой плотности ${\rho }_0$ и сосредоточены источники $\sigma$, $\mathbf{j}$. (iii) Внешняя (фоновая) область — вдали от ядра, где сжимаемость несущественна. Именно необходимость уплотнённого (сжимаемого) кора для существования заряда доказывает лемма в §8: при строгой несжимаемости всюду заряд обратился бы в нуль. Во внешней области мы принимаем несжимаемые линеаризованные уравнения К–В:

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{u}& =0,\\ {\rho }_0{\partial }_{tt}\mathbf{u}& =-\nabla {\partial }_t{p}^{\prime }+G{\nabla }^2\mathbf{u}+{\eta }_0{\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{u},\end{array}$$

где $p^{\prime }=p-p_0$ — возмущение давления, выступающее в роли множителя Лагранжа, обеспечивающего выполнение связи (7). Эти уравнения следуют из реологического закона К–В (4) путём подстановки в линеаризованный баланс импульса ${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}=\nabla \cdot \mathbf{\sigma }$ и дифференцирования по $t$ с последующим проецированием на бездивергентное подпространство.

Несжимаемый предел физически обоснован принятием скорости продольных (компрессионных) волн $c_P\to \infty$, так что акустическое сжатие подстраивается мгновенно и единственной оставшейся волновой модой является поперечная волна со скоростью $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$. (Несжимаемый предел $c_P\to \infty$ здесь — идеализация. Физически среда имеет два сектора: поперечный (свет) со скоростью $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ и продольный (компрессионный, звук/втекание) с большой, но конечной скоростью $c_s\approx 1,26\cdot 10^{23}\text{м/с}$ ($c_s\gg c$ примерно на $14,6$ порядка). Именно $c_s$ несёт причинность и гравитационное поле дефицита (полевую статику продольного сектора) в последующих статьях программы; предел скорости вещества задаётся $c_s$, света — $c$. В режиме и на масштабах настоящей работы поправки $O(c^2/c_s^2)$ пренебрежимы, так что продольная подстройка эффективно мгновенна, а выделенный кадр среды остаётся ненаблюдаемым (раздел 10).) В рамках конститутивной модели К–В это эквивалентно $K/G\to \infty$ при фиксированном $G$ (то есть модуль объёмного сжатия $K\to \infty$, тогда как сдвиговый модуль $G$ остаётся конечным), или эквивалентно коэффициенту Пуассона ${\nu }_P\to \frac{1}{2}$. Скорость сдвига $c$ тем самым однозначно определена без каких-либо ограничений на коэффициенты Ламе, и односкоростная аналогия с электромагнетизмом получается без дополнительных допущений. Дивергенция первопорядкового баланса импульса ${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}=-\nabla p^{\prime }+{\eta }_0{\nabla }^2\mathbf{u}$ (Приложение 17) с учётом (7) даёт уравнение Лапласа

$${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$$

в бесточечной внешней области, откуда давление является гармонической функцией, определяемой граничными условиями на поверхности ядра. (Дивергенция самого второпорядкового (7) дала бы лишь ${\partial }_t{\nabla }^2{p}^{\prime }=0$; статическое ${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$ закрепляет именно первопорядковый баланс.) Упругое слагаемое К–В $G{\nabla }^2\mathbf{d}$ действует только на соленоидальное поле смещений и не порождает продольных мод.

3.2 Область применимости

Пусть $r_0$ — радиус ядра, $L$ — внешний масштаб наблюдения. Введём безразмерные параметры

$${\mathrm{Re}}_c=\frac{c{r}_0}{\nu },ϵ=\frac{r_0}{L},\delta =\frac{\nu }{cL}=\frac{{\tau }_{\mathrm{KV}}}{L/c}.$$

Модель справедлива при

$${\mathrm{Re}}_c\gg 1,ϵ\ll 1,\delta \ll 1.$$

Эти условия обеспечивают соответственно: (i) динамика на масштабе ядра упруго-доминированная, вязкие эффекты малы внутри ядра (${\mathrm{Re}}_c\gg 1$); (ii) ядро компактно, внешние поля меняются на масштабе $L\gg r_0$ ($ϵ\ll 1$); (iii) волновой режим: вязкая релаксация (${\tau }_{\mathrm{KV}}=R$) быстра по сравнению со временем транзита волны $L/c$, поэтому $\Gamma$ сохраняется с точностью $O(\delta )$ по теореме Кельвина ($\delta \ll 1$).

3.3 Разложение ядро–внешняя область

Вводим гладкую срезающую функцию $\chi (\mathbf{r})\in [0,1]$ с $\chi \approx 1$ в ядре ${\Omega }_0$ и $\chi \approx 0$ в дальней внешней области (см. Приложение 18). Все плотности источников ($\sigma$, $\mathbf{j}$) содержат множители $\chi$, $\nabla \chi$ или ${\nabla }^2\chi$ (либо эквивалентную по внешнему полю кор-локализованную привязку, §5) и обращаются в нуль в дальней зоне.

Разложение ядро–внешняя область с гладкой индикаторной функцией $\chi$. Источники $\sigma$ и $\mathbf{j}$ сосредоточены в ядре и его переходном слое. Дальняя зона описывается однородными уравнениями Максвелла.

3.4 Разложение Гельмгольца

Условие несжимаемости (7) означает, что поле скоростей во внешней области является чисто соленоидальным: $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ всюду во внешней области. В разложении Гельмгольца

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}+{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}},\nabla \times {\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}=0,\nabla \cdot {\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=0,$$

потенциальная (безвихревая) часть ${\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}$ является потенциальным течением, удовлетворяющим ${\nabla }^2{\varphi }_{\mathrm{ir}}=0$ (источники во внешней области отсутствуют); её роль описывается скалярным потенциалом $\varphi$ через уравнение Пуассона (раздел 4.4). Соленоидальная часть ${\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$ несёт завихрённость и отображается в векторный потенциал $\mathbf{A}=R{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$, который поэтому точно соленоиден: $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ (калибровка Кулона).

4. Отображения полей и потенциалы

4.1 Идентификация из структуры силы Лоренца

Используя тождество Лэмба $(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=\frac{1}{2}\nabla u^2-\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }$ (где $\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}$), уравнение Эйлера во внешней области ${\rho }_0({\partial }_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u})=-\nabla p^{\prime }$ принимает вид

$${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}+\nabla \left(p^{\prime }+\frac{1}{2}{\rho }_0{u}^2\right)={\rho }_0\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }.$$

Правая часть — плотность силы Лэмба. Сравнение с плотностью силы Лоренца $\mathbf{f}=\sigma (\mathbf{E}+\mathbf{u}\times \mathbf{B})$ предлагает отождествления

$$\mathbf{B}\sim \mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u},\mathbf{E}\sim -{\partial }_t\mathbf{u}-\nabla \left(\frac{p^{\prime }}{{\rho }_0}+\frac{u^2}{2}\right).$$

В пределе малого числа Маха по продольному сектору ($|\mathbf{u}|\ll c_s$) квадратичный член $\nabla (u^2/2)$ — чистый градиент второго порядка — поглощается скалярным потенциалом и пренебрежим против компрессионного $\nabla (p^{\prime }/{\rho }_0)$ (электрический сектор сорсится сжатием, его масштаб задаёт $c_s$; см. лемму в §8), давая $\mathbf{E}\approx -{\partial }_t\mathbf{u}-\nabla p^{\prime }/{\rho }_0$. Поперечная скорость $c$ здесь не ограничивает $\mathbf{u}$: предел скорости среды — продольный $c_s\gg c$, а чистая поперечная волна само-адвекции не несёт ($(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=0$). Это совпадает со стандартной потенциальной формой $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ при $\varphi \sim p^{\prime }/{\rho }_0$ и $\mathbf{A}\sim \mathbf{u}$; явная $R$-форма полей дана определениями (15) ниже. Оговорка: инерционная (эйлерова) форма (12) здесь — эвристика, позволяющая прочитать структуру полей; действительная динамика внешней среды — К–В с упругим членом (§2), а потенциалы и поля определяются независимо ниже (15), откуда волновое уравнение для $\mathbf{A}$ следует уже из закона К–В.

4.2 Определения потенциалов и константа преобразования $R$

Введём электромагнитные потенциалы через коэффициент преобразования $R$ (размерность: время; $p$ здесь — возмущение $p^{\prime }=p-p_0$, аддитивная постоянная выпадает из $\mathbf{E}=-\nabla \varphi$):

$$\varphi \equiv R\frac{p}{{\rho }_0},\mathbf{A}\equiv R\mathbf{u}.$$

Электрическое и магнитное поля тогда:

$$\mathbf{E}\equiv -\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}=-R(\nabla \frac{p}{{\rho }_0}+{\partial }_t\mathbf{u}),\mathbf{B}\equiv \nabla \times \mathbf{A}=R\nabla \times \mathbf{u}.$$

Заметим, что $\mathbf{B}=R\nabla \times \mathbf{u}=R\mathbf{\omega }$ зависит только от соленоидальной части ${\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$, так как $\nabla \times {\mathbf{u}}_{\mathrm{ir}}=0$ по определению. Безвихревая компонента $\mathbf{u}$ входит в $\varphi$ и связана с $\mathbf{A}$ через условие калибровки Кулона (22). Конкретное значение $R$ обсуждается в разделе 4.6.

4.3 Волновое уравнение для векторного потенциала (вывод К–В)

Для соленоидального смещения ${\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}$ при $\nabla \cdot {\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}=0$ безвихревой градиент давления проецируется в нуль в соленоидальном секторе, поэтому реологический закон К–В (4), подставленный в линеаризованный баланс импульса, даёт

$${\rho }_0{\partial }_{tt}{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}=G{\nabla }^2{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}+{\eta }_0{\nabla }^2{\partial }_t{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}.$$

Дифференцируя по $t$ и подставляя ${\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}={\partial }_t{\mathbf{d}}_{\mathrm{sol}}$:

$${\rho }_0{\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=G{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}+{\eta }_0{\nabla }^2{\partial }_t{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}.$$

Деля на ${\rho }_0$ при $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ и $\nu ={\eta }_0/{\rho }_0$:

$${\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}-c^2{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=\nu {\nabla }^2{\partial }_t{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}.$$

Поскольку $\mathbf{u}$ является чисто соленоидальным во внешней несжимаемой области, векторный потенциал $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ полностью соленоиден и удовлетворяет тому же волновому уравнению точно:

$${\partial }_{tt}\mathbf{A}-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}=\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.$$

Это является точным следствием реологической модели К–В (4) для соленоидального поля скоростей — не самостоятельной гипотезой. Разложение на поперечную и продольную части не требуется: калибровка Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ выполняется тождественно.

4.4 Уравнение Пуассона для скалярного потенциала

Поскольку ${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$ в бесточечной внешней области (8), скалярный потенциал $\varphi \equiv R{p}^{\prime }/{\rho }_0$ там удовлетворяет

$${\nabla }^2\varphi =0.$$

Вблизи ядра (где $\chi$-разбиение вводит источниковые члены) это превращается в уравнение Пуассона

$$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma ,$$

которое принимается вместе с конститутивным замыканием источника (I) (раздел 6, Приложение 17) — само (I) есть замыкание, а не независимо выведенное уравнение. Скалярный потенциал распространяется мгновенно (эллиптическое уравнение), а не в виде волны; это характерно для калибровки Кулона и калибровочно эквивалентно волновому уравнению в калибровке Лоренца — все физически наблюдаемые величины одинаковы.

4.5 Условие калибровки Кулона

Определение $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ совместно с условием несжимаемости (7) немедленно даёт

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=R\nabla \cdot \mathbf{u}=0.$$

Это условие калибровки Кулона, выведенное здесь как точное следствие несжимаемости — не наложенное вручную. Скалярный потенциал тогда определяется мгновенным уравнением Пуассона (21), как в стандартной электростатике в калибровке Кулона.

Калибровочная эквивалентность. Калибровка Кулона и калибровка Лоренца $\nabla \cdot \mathbf{A}+(1/c^2){\partial }_t\varphi =0$ физически эквивалентны: они связаны калибровочным преобразованием, и все наблюдаемые поля $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ одинаковы. Несжимаемая среда К–В естественным образом выбирает калибровку Кулона; условие Лоренца возникло бы вместо неё при баротропном замыкании сжимаемой системы (сравнение см. в Приложении 17).

4.6 Значение $R$ и его механический смысл

Из размерной согласованности $[\varphi ]=[\mathbf{E}]\cdot \mathrm{m}$ и $[\mathbf{A}]=[\mathbf{B}]\cdot \mathrm{m}$ при (14) следует $[R]=\mathrm{s}$. Дальше требуется осторожность, и мы её здесь проговариваем явно.

Волновое уравнение $R$ не фиксирует. Подстановка $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ с любым постоянным $R$ переводит уравнение (18) в (19) тождественно: оно линейно и однородно, поэтому инвариантно к перемасштабированию. Никакого условия на величину $R$ отсюда не возникает. Более того, все результаты настоящей работы линейны по $R$, и в уравнениях Максвелла он сокращается: ни одно из полученных соответствий от величины $R$ не зависит. Величина нужна лишь тогда, когда по известному полю восстанавливают скорость среды.

Естественный выбор в волновом секторе. Из набора констант волнового сектора $\{{\rho }_0,c,\nu \}$ единственная величина размерности времени есть $\nu /c^2$, поэтому естественно положить

$$R=\frac{\nu }{c^2}=\frac{{\eta }_0}{G}={\tau }_{\mathrm{KV}},$$

то есть отождествить константу преобразования с временем механической релаксации Кельвина–Фойгта. Тогда условие $\delta =R/(L/c)\ll 1$ читается просто: среда релаксирует много быстрее, чем волна проходит масштаб наблюдения. Подчеркнём, однако, что (23) — выбор по размерной единственности внутри волнового набора, а не вывод.

Граница применимости: статический и ближний сектор. Этот выбор не переносится на статические поля, и это показывается счётом. Транспортный закон плотной среды $\nu \propto {\rho }^{-1/3}$ (длина свободного пробега порядка межчастичного расстояния), откалиброванный по диссипации в сжатой зоне, экстраполируется в свободную среду к границе прозрачности (согласие в пределах $\times 1,4$; пересчёт при каноне ${\rho }_{\mathrm{core}}=1,91\cdot 10^{18}$, calc_ transport_ tau_ canon.py) и тем самым пришпиливает ${\tau }_{\mathrm{KV}}\approx 2,0\cdot 10^{-49}$ с. Оговорка: это — молекулярная (транспортная) вязкость; затухание же света есть затухание коллективной моды, задаваемое эффективной ${\nu }_{\mathrm{eff}}\ll \nu$, которую хроматическая прозрачность ограничивает на много порядков ниже (§12; космологическая проверка — A11). Поэтому $2,0\cdot 10^{-49}$ с здесь — верхняя оценка транспортного происхождения, а не измеренное время затухания света. При таком значении обычное лабораторное поле $1$ Тл на масштабе $1$ см отвечало бы скорости среды $u\sim BL/R\sim 5\cdot 10^{46}$ м/с — на 23 порядка выше скорости продольного сектора. Поскольку $\mathbf{u}$ — физическое поле, а не калибровочное, устранить это выбором калибровки нельзя.

Вывод честный и узкий: отождествление (23) работает в том режиме, в котором оно получено — волновом, при $\delta \ll 1$, — и не распространяется на статический и ближний секторы. На выведенные здесь соответствия (уравнения Максвелла, калибровка Кулона, словарь полей) это не влияет, поскольку все они от величины $R$ не зависят. Более того, у гладкой макростатики носитель вообще не течение, а застывшее смещение среды (теорема о застывшем сдвиге, §9), так что оценки $u=BL/R$ относятся лишь к дефектным течениям масштаба частиц.

Статический сектор: постоянная выведена. В квантовой статье программы постоянная преобразования оценена независимо — из сшивки концентрированной завихрённости кора частицы с её протяжённым вихревым полем. Там показано, что масса частицы в этой оценке сокращается тождественно (отношение магнитного момента к циркуляции закрутки равно $e/2\pi$ для любой массы), (Упомянутая циркуляция закрутки — спиновая циркуляция частицы (масс-зависимая; домен квантового слоя программы), а не заряд-несущий свирл ${\Gamma }_{\phi }$ настоящей статьи (§5); в статическую оценку входит лишь масс-свободное отношение $\mu /{\Gamma }_s=e/2\pi$ — образец того, как масс-зависимость внутреннего сектора обязана уходить из наблюдаемых конверсионным отношением.) и остаётся

$$R=\frac{{\mu }_{0}e}{8{\pi }^2\ell },$$

где $\ell$ — длина сшивки. Позднейший счёт серии закрыл и её: два канона программы — зарядовый инвариант $r_0\Gamma =e/{\rho }_0$ (настоящая статья) и наведённый спин ${\Gamma }_s=h/2m$ (квантовый слой) — дают

$$R_{\text{стат}}=\frac{em}{2{\rho }_{0}ch},$$

что при подстановке ${\mu }_0=1/({\rho }_0{c}^2)$ в (24) равносильно тождеству $\ell =a/2\pi$, где $a=\hslash /mc$ — наведённый спиновый слой: статический словарь сшит на слое спина, а не на шаге губки. Численно $R_{\text{стат}}$ масс-зависима ($R\propto m$): электрон $4,15\cdot 10^{-14}$ с, протон $7,62\cdot 10^{-11}$ с — на $35$–$39$ порядков больше ${\tau }_{\mathrm{KV}}\approx 2,0\cdot 10^{-49}$ с: двухсекторность константы подтверждена уже не оценкой, а выводом. (Счёт: calc_ R_ dictionary_ P12.py.) Масс-зависимость не возвращает «нож 1836»: перебором каналов $R$ отдельно ненаблюдаема (в уравнениях Максвелла сокращается; в величину заряда не входит; в моментах остаётся масс-свободная конверсия $\mu /{\Gamma }_s=e/2\pi$; в силах уходит согласованно) — это калибровочный коэффициент словаря сектора. Скорость дефектного (ближне-зонного) течения, отвечающего полю $1$ Тл на масштабе $1$ см, даже при наименьшем (электронном) $R$ составила бы $2,4\cdot 10^{11}$ м/с — глубоко дозвуковая продольного сектора ($2\cdot 10^{-12}{c}_s$; предел вещества в среде — $c_s$), тогда как при $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$ вышло бы $5\cdot 10^{46}$ м/с; к гладкой макростатике оценка не относится вовсе — там течения нет (§9.1).

5. Заряд как азимутальный свирл вихря

5.1 Две циркуляции вихря

Пусть ${\Omega }_0$ — компактное тороидальное вихревое ядро с осью $\mathbf{e}$ и радиусом ядра $r_0$. Такой объект несёт две независимые циркуляции. Кольцевая (полоидальная) циркуляция — прокрутка жидкости вокруг трубки — задаёт вихрь как таковой, его форму и массу; по контуру $C$, обходящему трубку $\mathcal{T}$ один раз,

$$\Gamma \equiv {\oint }_C\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}={\iint }_{S:\partial S=C}\mathbf{\omega }\cdot d\mathbf{S}.$$

Именно эта $\Gamma$ входит в модуль сдвига (Приложение 19, $\Gamma =5U{r}_0$ для вихря Хилла) и в скорость волны. Азимутальная циркуляция ${\Gamma }_{\phi }$ — свирл вокруг оси $\mathbf{e}$ — измеряется контуром $C_{\phi }$, охватывающим ось:

$${\Gamma }_{\phi }\equiv {\oint }_{C_{\phi }}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}={\iint }_{S_{\phi }:\partial S_{\phi }=C_{\phi }}\mathbf{\omega }\cdot d{\mathbf{S}}_{\phi },$$

с диском $S_{\phi }$ поперёк оси (нормаль вдоль $\mathbf{e}$). Обе циркуляции инвариантны по теореме Кельвина в невязком пределе (поправки $O(\nu )$). Голый вихрь Хилла свирла не несёт ($u_{\phi }=0\Rightarrow {\Gamma }_{\phi }=0$) — это нейтральный прототип; заряженный объект есть вихрь Хилла с добавленным свирлом (рис. (27)).

Две циркуляции компактного вихря и их зеркальная связь. Кольцевая (полоидальная) циркуляция $\Gamma$ по контуру $C$ вокруг трубки задаёт структуру, массу и ориентацию оси $\mathbf{e}$; азимутальный свирл ${\Gamma }_{\phi }$ по контуру $C_{\phi }$ вокруг оси (с диском $S_{\phi }$ поперёк $\mathbf{e}$) несёт заряд $Q={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$. Знак — хиральность $\mathrm{sign}({\Gamma }_{\phi }/\Gamma )$: зеркало обращает свирл (${\Gamma }_{\phi }\to -{\Gamma }_{\phi }$ при неизменной $\Gamma$) и переводит частицу в античастицу; голый вихрь Хилла (${\Gamma }_{\phi }=0$) нейтрален.

\resizebox{0.96\linewidth}{!}{

(схема — в PDF-версии статьи)

5.2 Определение и знак гидродинамического заряда

Гидродинамический заряд несёт азимутальный свирл — именно его отсутствие делает объект нейтральным:

$$\boxed{Q\equiv {\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi },}$$

где ${\ell }_c$ — медиумная длина сшивки свирла с фоновой губкой (константа среды, а не размер частицы; обоснование в абзаце о нормировке ниже) (${\ell }_c$ — константа среды; радиус кора частицы $r_0$ в нормировку $Q$ не входит (ниже показано, что войти не может). Символ $r_0$ в размерной оценке жёсткости сети (§2, $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$) означает масштаб элемента сети; верхнюю границу шага губки держит но-гоу дискретности заряда. Родственная по роли длина сшивки входит в статическую оценку (24); длина взаимодействия $\ell \propto {\omega }^{-2}$ в тесте 5 (§12) — третья, независимая длина. Совпадение обозначений не означает равенства величин; численно $r_0\approx 17$ нм против ${\ell }_c=36,3$ нм (§2), то есть на одну сшивку приходится $N\simeq 10$ элементов сети.), а без свирла заряда нет (${\Gamma }_{\phi }=0\Rightarrow Q=0$).

Знак — хиральность, а не ориентация одной циркуляции. Знак заряда нельзя задать ориентацией одного контура: у одиночной циркуляции поворот на $180^{\circ }$ вокруг диаметра — симметрия, переводящая $\mathbf{e}\to -\mathbf{e}$, так что приписанный по правилу правой руки знак двузначен, тогда как заряд инвариантен. Двузначность снимает кольцевая циркуляция $\Gamma$: она ориентирует ось $\mathbf{e}$, и относительно неё свирл ${\Gamma }_{\phi }$ приобретает инвариантный знак,

$$\mathrm{sign}Q=\mathrm{sign}\frac{{\Gamma }_{\phi }}{\Gamma }(\text{винтовая хиральность вихря}).$$

При повороте обе циркуляции разворачиваются вместе, их отношение сохраняется — знак инвариантен (как хиральность винта: поворот право/лево не меняет, меняет лишь зеркало). Вещество и антивещество отвечают противоположным хиральностям, и зеркальное отражение, обращая хиральность, переводит один знак заряда в другой (частица $\leftrightarrow$ античастица по знаку). Это не совпадает с чётностью $P$ Стандартной модели, где заряд $P$-чётен; точное соответствие раздельным операциям $P$ и $C$ — отдельный слой, вынесенный в квантовую статью A6.

5.3 Нормировка: медиумная длина ${\ell }_c$

Длина в (28) не может быть размером частицы. Кандидат «$\ell$ — радиус кора частицы» убит прямым опытом: заряды электрона и протона равны по модулю с точностью нейтральности вещества $\sim 10^{-21}$ [43], тогда как их размеры различаются минимум в $\sim 8\cdot 10^2$ раз (протон $\approx 0,84$ фм [44]; электрон бесструктурен вплоть до $\sim 10^{-18}$ м — верхняя граница). При едином элементарном кванте ${\Gamma }_0$ нормировка на размер тела давала бы $Q_p/Q_e=r_p/r_e\gtrsim 8\cdot 10^2$ (счёт calc_ charge_ normalization.py). Единственная структура, совместимая с опытом, — универсальная длина: ${\ell }_c$ есть свойство той единой губки, в которую сшивается свирл любого кора, и универсальность заряда получается строением: $e={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_0\times n$ — универсальная константа среды на целое число. Тело даёт топологию (число $n$, знак, якорь), среда — нормировку; масса и размер частицы в величину $e$ не просачиваются (абзац «Заряд не связан с массой» ниже). Численно словарь при этом экспортирует вниз по серии одно соотношение:

$${\ell }_c{\Gamma }_0=\frac{e}{{\rho }_0}=1,81\cdot 10^{-8}{\text{м}}^3/\text{с}$$

— требование к квантовому слою программы, в настоящей статье не используемое. (Соотношение (30) — одно уравнение на две величины; в реестре открытых задач серии зафиксировано замыкание-кандидат: если квант свирла задаётся вытесненной массой блока сшивки, ${\Gamma }_0=h/m_c$, $m_c=C{\rho }_0{\ell }_c^3$ ($C=O(1)$ — коэффициент присоединённой массы; $h$ здесь — эмпирическая константа квантования циркуляции, измеренная в сверхтекучем гелии [45, 46], а не постулат квантовой механики), то система замыкается: ${\ell }_c=\sqrt{h/(Ce)}\approx 64/\sqrt{C}$ нм, ${\Gamma }_0\approx 0,28\sqrt{C}$ м${}^2$/с, $m_c\approx 2,4\cdot 10^{-33}/\sqrt{C}$ кг (в модельных единицах $[e]=$ кг/с). Кулоновский сектор при этом не искажается: ${\ell }_c$ входит лишь в амплитуду кор-локализованного источника (31), а внешний несжимаемый сектор длины не содержит, — однако физичность $m_c$ держится на невыведенном коллективном масштабе (замыкание T2 даёт ${\ell }_c\approx 2,2$ шага сети), поэтому здесь замыкание не используется и имеет статус кандидата (счёт calc_ lc_ closure.py). Позднейшие статьи серии зафиксировали ветвь $C=\pi$ (атомный якорь A9, ${\ell }_c\approx 36$ нм); на ней стоит кроссовер $V=c$ при $745$ эВ в A7 — статус кандидата у замыкания при этом сохраняется, но ветвь уже потреблена.) В электростатическом законе Кулона (раздел 8) входит лишь отношение $Q/(4\pi {\rho }_0)={\ell }_c{\Gamma }_{\phi }/(4\pi )$, поэтому кулоновское поле не зависит от соглашения о нормировке $Q$ при фиксированной ${\ell }_c$.

5.4 Дискретность и топология порции

Атомарность и двоичность порции — вход жёсткости; прецедент дискретности — опыт. Наблюдаемая дискретность заряда отвечает квантованию циркуляции — явлению, прямо измеренному в сверхтекучем гелии: детектирование одиночных квантов циркуляции $h/m$ [45] и квантованные вихревые кольца [46]. Существенно строение опытного прецедента: в гелии величина кванта задана массой атома среды ($h/m_{\mathrm{He}}$) и потому одна для всех вихрей независимо от их размера и энергии — ровно то строение, которого требует от ${\Gamma }_0$ экспорт (30). Статус дискретности фиксируем прямым входом жёсткости: порция свирла атомарна и двоична — элементарный носитель заряда есть одна замкнутая закрученная структура кора, её хиральность — двоичная метка (правый либо левый винт), одиночный объект несёт ${\Gamma }_{\phi }\in \{-{\Gamma }_0,0,+{\Gamma }_0\}$, а кратные заряды существуют только как составные. Дискретно-нитевое прочтение (счётные продетые нити одной силы, целые зацепления — проколы диска) снято решением о жёсткости: оно разрешает произвольные кратности $n$ и произвольные зацепления — спектр состояний, которого у частиц нет (все элементарные заряды равны $\pm e$), то есть покупает <<вывод>> целочисленности ценой нефизичной свободы и непроверяемого структурного входа. Честный итог: целочисленность больше не числится выведенной — атомарность порции есть вход, прямо равный наблюдаемому факту; эмпирическим входом остаётся и величина ${\Gamma }_0$, её механизм — за пределами настоящей (классической) работы.

Носитель порции — кор, не сеть; Bressi — прямая опора атомарности. Носитель порции — один объект фазы сжатого кора, а не структура фоновой губки: отождествление ${\Gamma }_0={\gamma }_{\mathrm{губки}}$ (константа среды; универсальность заряда стала бы автоматической) убито собственным словарём статьи. Жёсткость сети $G={\rho }_0{c}^2\sim C{\rho }_0{\gamma }^2/a^2$ (§2) пришпиливает ${\gamma }_{\mathrm{губки}}\approx ca/\sqrt{C}\approx 3,3\cdot 10^{-10}$ м${}^2$/с ($a\le 1,1\cdot 10^{-18}$ м), тогда как экспорт (30) при медиумной ${\ell }_c$ вплоть до микронной требует ${\Gamma }_0\gtrsim 2\cdot 10^{-2}$ м${}^2$/с — разрыв минимум $5\cdot 10^7$ (восемь порядков), а при ${\ell }_c$ порядка шага губки — двадцать (спасения $C\sim 10^{-40}$ или ${\ell }_c\approx 55$ м абсурдны; счёт calc_ p7_ sponge_ quantum.py). Атомарность при этом опирается на опыт напрямую: граница нейтральности вещества $\delta e/e\le 10^{-21}$ [43] означает точное равенство $|e_p|=|e_e|$ — естественное, если порция одна и та же (двоичная метка одного носителя), тогда как любая составная картина (<<$e$ из $\sim 5\cdot 10^{19}$ нитей губки>> с шагом $\delta e/e=2\cdot 10^{-20}$, в двадцать раз крупнее границы) требовала бы точного совпадения гигантских целых без механизма, а одиночная перестройка дрейфовала бы заряд вопреки его точному сохранению. Механизм величины ${\Gamma }_0$ адресуется квантовому слою (A6: отождествление ${\Gamma }_0=h/m$ из инварианта закрутки).

Заряд не связан с массой. Заряд-несущий свирл может быть целиком заперт в ядре (замкнутые вихревые линии, не выходящие наружу); его порция — двоичная хиральная метка носителя, а не объёмная характеристика. Поэтому заряд развязан с массой (полной энергией узора, которую задают кольцевая циркуляция и размер): объекты сколь угодно разной массы несут один и тот же элементарный заряд. Так снимается кажущийся парадокс равного по модулю заряда у электрона и протона при отношении масс $\approx 1836$ — порция одна и та же, а масса — независимая величина (сектор массы — статьи о нуклоне A3 и электроне A9).

Топологический характер знака и сохранения. Знак заряда есть знак спиральностной плотности $\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }$, несомой самой вихревой линией: винт из вращения линии (кольцевая $\Gamma$) и потока вдоль неё (свирл ${\Gamma }_{\phi }$) — правой или левой закрутки — это и есть твист линии, причём $\mathrm{sign}(\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega })=\mathrm{sign}({\Gamma }_{\phi }/\Gamma )$. Такая метка топологична: вихревые линии вморожены (теорема Гельмгольца), полная спиральность $H=\int \mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }dV$ — инвариант идеального течения [20], поэтому хиральность не размывается гладкой эволюцией: пока топология носителя не меняется, вмороженная закрутка переносится потоком (изотопией) и метка сохраняется точно (поправки $O(\nu )$ — те же, что у теоремы Кельвина). Изменение заряда возможно только сменой топологии носителя целиком — рождением, уничтожением или перестройкой замкнутой закрученной структуры: одно событие — одна порция (механизм заряжения не построен — открытая задача; нитевое прочтение <<перезамыкание кольцевой петли в винтовую>> снято вместе с нитевой моделью). Нейтральный прототип — бессвирловый вихрь Хилла (${\Gamma }_{\phi }=0$, $H=0$): структура есть, твиста нет — <<без свирла заряда нет>>. Топология даёт существование и сохранение знака-метки; сама по себе силу Кулона она не задаёт — та возникает из энергии спиральности этого же носителя (следующий абзац и §5.7).

5.5 Заряд как спиральный монополь замкнутых петель

Механизм заряда здесь конкретен, а не абстрактное замыкание. Заряд — это сжатая замкнутая ко-хирально закрученная вихревая структура: все её вихревые линии замкнуты — каждая, вышедшая из ядра, в него же и возвращается, поэтому полный поток завихрённости через любую охватывающую сферу равен нулю, $\oint \mathbf{\omega }\cdot d\mathbf{S}=0$ (монополя завихрённости нет — теорема Гельмгольца выполнена тождественно). Наружу выступает не поток $\mathbf{\omega }$, а спиральность $h=\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }$: у ко-хирально закрученной структуры полная спиральность $H=\int \mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }dV\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$ имеет один знак (твист кольцевой $\Gamma$ на свирл ${\Gamma }_{\phi }$; инвариантная сумма $\mathrm{Tw}+\mathrm{Wr}$ — лемма о знаке-локе, §5.7). В отличие от завихрённости, спиральность — сорсабельный псевдоскаляр ($\nabla \cdot {\mathbf{J}}_h\ne 0$ разрешено), поэтому заряд есть спиральный монополь: изотропный сохранённый поток спиральности даёт плотность $h\propto 1/r^2$ и гармонический потенциал $\varphi \propto 1/r$ — форму Кулона со знаком$=$хиральность. Кажущийся запрет снят: радиальный монополь несёт не $\mathbf{\omega }$ (запрещено), а $h$ (разрешено). Сила между двумя такими монополями следует из энергии спиральности того же носителя (§5.7); подробная проработка — записка COULOMB_ FROM_ SWIRL_ru.md, §11.

5.6 Локализованная плотность заряда

Чтобы представить $Q$ объёмным интегралом, введём на диске $S_{\phi }$ (нормаль вдоль оси $\mathbf{e}$, $\partial S_{\phi }=C_{\phi }$) поверхностное дельта-рас-пре-де-ле-ние ${\delta }_{S_{\phi }}$:

$$\sigma (\mathbf{r})\equiv {\rho }_0{\ell }_c(\mathbf{\omega }(\mathbf{r})\cdot \mathbf{e}){\delta }_{S_{\phi }}(\mathbf{r}).$$

Интегрируя по всему пространству и применяя теорему Стокса к свирлу (27):

$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\sigma dV={\rho }_0{\ell }_c{\int }_{S_{\phi }}\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{e}dS={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }=Q.$$

Плотность привязана к тому же азимутальному контуру, что и заряд, и наследует его знак (ориентация $\mathbf{e}$ задана кольцевой $\Gamma$, знак — хиральностью ${\Gamma }_{\phi }/\Gamma$). Для бессвирлового вихря Хилла осевой поток завихрённости равен нулю, $\sigma =0$, и нейтральность прототипа согласуется с ${\Gamma }_{\phi }=0$. Локализация в ядре следует из $\chi$-разбиения: во внешней области $\mathbf{\omega }\to 0$ и $\sigma \to 0$.

Эквивалентность двух привязок источника. Определение (31) привязывает $\sigma$ к азимутальному диску $S_{\phi }$ внутри ядра, тогда как замыкание (I) и лемма (§8) локализуют источник в переходном слое $\nabla \chi \ne 0$ на границе ядра. По внешнему полю эти привязки эквивалентны — это теорема, а не оговорка. Оба носителя нормированы на один и тот же механический заряд $Q$ (диск — через (32), слой — конструкцией $4\pi {\chi }_c{\tau }_0{r}_0^2=Q$ ниже), поэтому их разность $\delta \sigma$ имеет нулевой полный интеграл; задача Неймана ${\nabla }^2\psi =\delta \sigma$, ${\partial }_n\psi {|}_{\partial B}=0$ в объемлющем шаре разрешима, и $\delta \sigma =\nabla \cdot \mathbf{F}$ с компактным $\mathbf{F}$: разность носителей — чистая <<поляризация>> без монополя. Монопольный член $Q/(4\pi {\rho }_{0}r)$ — весь кулоновский выход статьи — от привязки не зависит; диполь нулевой у обеих (экваториальная симметрия диска, сферичность слоя). Первый различающий мультиполь — квадруполь: равномерный диск радиуса $a$ несёт $q_2=\int \sigma r^2{P}_{2}dV=-\frac{1}{4}Q{a}^2$ (общий профиль: $q_2=-\frac{1}{2}Q⟨{\rho }^2{⟩}_w$; для знакопостоянного весового профиля — отрицателен, сплюснутость), сферический слой — $q_2=0$ точно при любом радиальном профиле. Минимальная модель слоя $\tau (r)={\tau }_{0}f((r-r_0)/\delta )$, $\sigma \propto -d\tau /dr$ при $\delta \ll r_0$ (форма, согласованная с леммой: варианты полной дивергенции, $\sigma \propto {\nabla }^2\tau$, дают $\int \sigma \equiv 0$ — лемма запрета воспроизводится и здесь) фиксируется нормировкой $4\pi {\chi }_c{\tau }_0{r}_0^2=Q(1+O({\delta }^2/r_0^2))$ и даёт вне слоя точный Кулон — невязка убывает как хвост профиля $\sim e^{-(r-r_0)/\delta }$; несферичность реального (тороидального) кора возвращает $q_2\sim Q{r}_0^2$ с коэффициентом формы $O(1)$. Различие привязок — тем самым ближнезонный форм-фактор: поправка к потенциалу $\sim Q{r}_0^2/r^3$, то есть $O((r_0/r{)}^2)$ относительно Кулона, и её величина ($⟨{\rho }^2{⟩}_w$, анизотропия слоя) — вопрос строения кора (D-кор, статья A3), а не дальнего поля. Это две параметризации одного кор-локализованного источника; внешнее поле от выбора носителя не зависит (счёт — calc_ sigma_ carriers.py).

5.7 Заряд как нечётный источник: что выведено, что принято

Связь заряда с его полем (уравнение (I) в §6; закон Кулона в §8) заслуживает честного разграничения выведенного и принятого.

Биполярность выведена, а не постулирована. Источник кулоновского поля нечётен (псевдоскаляр) по свирлу: он меняет знак вместе с хиральностью ${\Gamma }_{\phi }/\Gamma$. Псевдоскалярный источник по построению двузнаков, поэтому заряд биполярен ($\pm$). Это отличает его от чётного (квадратичного, $\propto u^2\propto {\Gamma }_{\phi }^2$) отклика того же вихря, который однознаков и даёт монопольное притяжение — гравитацию (квадратичный сектор, статья A2). Двузнаковость заряда против однознаковости массы — тем самым не два независимых постулата, а чётность против нечётности одного объекта.

Кинематика свирла источника не даёт. Прямое (инерционное) поле свирла нечётного радиального монополя не порождает: у локализованного течения суммарная завихрённость нулевая ($\int \mathbf{\omega }{d}^{3}x=0$, теорема Гельмгольца), ведущий мультиполь давления — квадруполь ($p^{\prime }\sim 1/r^3$), а бернуллиев вклад квадратичен ($\propto {\Gamma }_{\phi }^2$) — это чётный (гравитационный) канал. Общее доказательство: тензор Лайтхилла ${\partial }_i{\partial }_j(u_i{u}_j)$ не содержит члена $\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }$, поэтому нечётный источник не рождается ни из какого инерционного (рейнольдсова) напряжения — маршруты Рейнольдса, Лэмба, Крокко и Лайтхилла закрыты как доказанный тупик (детали — Приложение 20); источник структурен, а не кинематичен. Нетто-инвариантом, переживающим $\int \mathbf{\omega }=0$, служит спиральность $H=\int \mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }{d}^{3}x\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$, а её сила задана структурной (парити-нечётной) хиральностью сжатого кора (строение — домен статьи о нуклоне A3; знак — лемма о знаке-локе ниже).

Статус замыкания: что именно не выведено. Разграничим метку и поле — их смешение делало бы вывод пессимистичнее, чем он есть. Псевдоскалярная метка — спиральность $H=\int \mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$ замкнутой ко-хирально закрученной структуры — существует и двузначна при любой закрутке одной хиральности; это и есть зарядовое квантовое число, и оно выведено наравне с формой (линейность по ${\Gamma }_{\phi }$, гармонический $1/r$ при заданном источнике, знак$=$хиральность, зеркало$\to$античастица) и чётностным разделением каналов. Не выведено иное: что эта метка сорсит продольное кулоновское поле — то есть отождествление ${\nabla }^2\varphi =-\sigma /{\rho }_0$ (уравнение (I)) через модуль $\chi$, превращающий закрутку в статическое нетто-уплотнение сжимаемого кора — монополь давления/плотности ($\nabla \cdot \mathbf{d}\ne 0$ в поле смещений) при нулевом нетто-потоке ($\oint \mathbf{u}\cdot d\mathbf{S}=0$ — сжимаемое расширение леммы в конце этого абзаца) — и тем переживающий лемму несжимаемости (§8). Именно этот конститутивный коэффициент (прямой аналог $G$ в гравитации) принят, а не выведен, и лежит на границе строения сжатого кора (D-кор, статья A3); там же намечен геометрический механизм происхождения самой закрутки (сжатие тора вынуждает винтовую линию тока). Оба независимых маршрута поиска источника (статический модуль-$\chi$ и динамическая спиральностная эмиссия) сходятся на этой же стене — Приложение 20. Более того, запрет держится и в сжимаемом течении: у любого замкнутого компактного вихря граница есть линия тока, поэтому $\oint \mathbf{u}\cdot d\mathbf{S}=\int \nabla \cdot \mathbf{u}dV=0$ при любой плотности — сжимаемость меняет локальное $\nabla \cdot \mathbf{u}$, но не его монополь (счёт calc_ compressible_ throughflow.py). Нечётный источник поэтому доказательно не кинематичен: он не «пока не выведен», а необходимо конститутивен — ровно как $G$ в гравитации.

Что такое $\chi$: гиротропия винтового материала. Модуль $\chi$ — не загадка, а гиротропный (парити-нечётный) коэффициент киральной среды: у среды с фоновой рукостью закрутка вдоль фона понижает давление, против — повышает, и отклик линеен (нечётен) по закрутке. Это стандартная киральная гидродинамика (акустическая активность, odd-viscosity) — механический аналог оптической активности или витой пружины, у которой скручивание сцеплено с растяжением, а знак — с рукостью винта. Заряд поэтому распадается на две части: топологическую метку — спиральность $H\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$ замкнутой ко-хирально закрученной структуры (даёт существование, знак, двоичность и сохранение вмороженностью, а также независимость от массы — выведено; атомарность порции и величина кванта ${\Gamma }_0$ — входы, §5) и вещественный коэффициент $\chi$ (даёт силу). Фоновая рукость обязана быть локальной — это собственная закрутка $\tau$ кора (та же кольцевая $\Gamma$/твист): глобальная рукость среды сделала бы электрон и позитрон несимметричными, тогда как локальная сохраняет чётность законов (зеркало объекта$=$античастица). Невыведенной остаётся ровно величина $\chi$ — вещественная константа плотного кора (D-кор, A3); сам же знак-лок закрутки на кольцо — теорема (лемма о знаке-локе ниже).

Универсальный знак рукости — вопрос космологии. Локальная рукость задаёт знак каждого заряда; но почему у всего наблюдаемого вещества она одна (а антивещество редко) — отдельный вопрос. Прочтение «среда как намагниченный домен» (спонтанное нарушение чётности состояния свободной фазы) закрыто наблюдением: насыщенная глобальная рукость противоречит нейтральности вещества ($|q_p+q_e|/e<10^{-21}$) в $10^{21}$ раз, а любая размазанная рукость свободной фазы уровня барионной доли даёт на хаббловском плече ($L/\lambda \simeq 6,6\cdot 10^{28}$ для реликтового фона) поворот плоскости поляризации $\sim 10^8$ градусов против измеренных $0,30^{\circ }\pm 0,11^{\circ }$; отсюда граница на киральность свободной среды $h_{\mathrm{св}}<2,5\cdot 10^{-32}$ — на девять порядков ниже барионного уровня $n_B/n_t=1,2\cdot 10^{-23}$. Это согласуется с леммой о знаке-локе: рукость обязана быть локальной, глобальная рукость среды не нужна и запрещена. Остаётся единственное прочтение: спиральность сконденсирована в каплях, свободная фаза ахиральна, а нетто-спиральность обозримого объёма — сохраняющийся инвариант и паспорт экземпляра среды: требуемое смещение превосходит флуктуацию беспристрастной сети в $5\cdot 10^{27}$ раз и потому не может быть случайным. Величина доли не выводится (тот же вопрос, что эпоха формирования нуклона); настоящая работа космологического слоя не использует. Счёт — calc_handedness_asymmetry.py.

Сила из энергии спиральности. Силу между зарядами можно не постулировать отдельно ($\mathbf{F}=Q_2\mathbf{E}$): она следует из энергии спиральности того же носителя. Если плотный кор релаксирует при фиксированной спиральности (тейлоровское состояние) с положительно-определённым модулем $\kappa >0$, энергия $U=\frac{1}{2}\kappa \int |\nabla \psi {|}^{2}dV$ двух перекрывающихся спиральных монополей даёт $\mathbf{F}=Q_1{Q}_2\hat{\mathbf{r}}/(4\pi \kappa r^2)$: одинаковая хиральность отталкивается, противоположная притягивается — форма и знак Кулона (расчёт calc_ helicity_ force.py); конкурирующее токовое (амперовское) замыкание дало бы неверный магнитный знак и потому отвергнуто (Приложение 20). Выбор энергетической ветви опирается на структуру кора. Размерность $\kappa$ — плотность; отождествление $\kappa ={\rho }_0$ воспроизводит статический коэффициент бокса $k_{\mathrm{hydro}}=1/(4\pi {\rho }_0)$ (51), так что величина силы не свободна. Тем самым и форма поля, и форма с величиной силы определены, а единственный невыведенный кусок, общий источнику и силе, — не магнитуда $\kappa$, а выбор выпуклой (энергетической, тейлор-релаксированной) ветви над токовой, лежащий на структуре сжатого кора (D-кор, A3).

Знак $\chi$ выведен: лемма о знаке-локе (Кэлугэряну$+$Волтьер). Из принятого можно вычесть знак. Пусть кор — связная замкнутая ко-хирально закрученная структура (см. выше) с ненулевой спиральностью $H\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$, занимающая ограниченную область $V$ с непротеканием $\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}=0$ на $\partial V$ (конфайнмент фоновой губкой — ровно постановка тейлоровской релаксации в сосуде; ограничение существенно: в неограниченной среде бельтрамиевых состояний с $\alpha =\mathrm{const}$ не существует, так что существование релаксированной ветви — часть условия), и находящаяся на релаксированной ветви: критическая точка энергии $E=\frac{1}{2}{\int }_V\rho |\mathbf{u}{|}^{2}dV$ ($\rho >0$) при фиксированной $H$ — та же тейлоровская ветвь, что выбрана выше для силы (при $\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}=0$ поверхностные члены вариации $H$ исчезают, $\delta H=2\int \mathbf{\omega }\cdot \delta \mathbf{u}dV$). Тогда $\rho \mathbf{u}=2\mu \mathbf{\omega }+\nabla p$; при $\rho =\mathrm{const}$ состояние бельтрамиево (force-free), $\mathbf{\omega }=\alpha \mathbf{u}$, $\alpha =\rho /2\mu$ [34, 35], причём тождественно (и при переменной $\rho >0$ сжатого кора)

$$H={\int }_V\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }dV=\frac{1}{2\mu }{\int }_V\rho |\mathbf{u}{|}^{2}dV\Rightarrow \mathrm{sign}\alpha =\mathrm{sign}H=\mathrm{sign}({\Gamma }_{\phi }/\Gamma ),$$

а локальная спиральностная плотность $h=\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }=\alpha |\mathbf{u}{|}^2$ однознакова по всему кору: вещественная закрутка $\tau \propto h$ наследует знак топологического инварианта, а не выбирается спонтанно (градиентная поправка при $\rho \ne \mathrm{const}$ касается лишь профиля $\tau (r)$, не знака). Наследование корректно определено именно на инварианте: по теореме Кэлугэряну–Уайта–Фуллера $\mathrm{Lk}=\mathrm{Tw}+\mathrm{Wr}$ [36, 37, 38], и для вихревых трубок $H={\Gamma }^2(\mathrm{Tw}+\mathrm{Wr})$ [39]: локальный твист и глобальная навивка непрерывно перетекают друг в друга, инвариантна лишь сумма, поэтому даже <<перекрут против навивки>> ($\mathrm{sign}\mathrm{Tw}\ne \mathrm{sign}\mathrm{Lk}$) даёт заряд знака $\mathrm{Lk}$. Возражение о спонтанном нарушении чётности снимается: релаксация при фиксированной $H$ — минимизация при сохраняющемся псевдоскалярном ограничении, а не случайный выбор знака параметра порядка; затравка знака — топология самого объекта, меняемая лишь реконнекцией. Зеркало переводит $H\to -H$, $\alpha \to -\alpha$: зеркало объекта$=$античастица, законы P-чётны, глобальная рукость среды по-прежнему не нужна. Ко-хиральность закрутки существенна: у носителя с суб-спиральностями разных знаков частичная (волтьеровская) релаксация могла бы оставить противознаковые домены; у ко-хирального все $H_i$ одного знака и все ${\alpha }_i$ одного знака при любой глубине релаксации. Числовая проверка знакового тождества и теоремы Кэлугэряну (в периодическом боксе — она проверяет тождество, не существование; невязка $\mathrm{Lk}-(\mathrm{Tw}+\mathrm{Wr})\le 3\cdot 10^{-4}$, целочисленность $\mathrm{Lk}$) — calc_ sign_ lock_ taylor.py. Принятыми после леммы остаются выбор релаксированной ветви (включая существование конфайнмента) и величина $|\chi |$; знак-лок — теорема.

Замечание об обозначениях в серии. Разделение двух циркуляций (кольцевой $\Gamma$ и азимутального свирла ${\Gamma }_{\phi }$) и правило знака по хиральности (29) введены в настоящей статье и в остальных работах программы (A2–A11) пока не протянуты: там заряд записан одним символом, $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$, где $\Gamma$ обозначает именно заряд-несущий свирл (здешний ${\Gamma }_{\phi }$), а не кольцевую циркуляцию, и $r_0$ — длину нормировки (здешнюю медиумную ${\ell }_c$). Соответственно, где downstream приписывает знак ориентации одного контура или правилу правой руки, подразумевается хиральностное правило $\mathrm{sign}({\Gamma }_{\phi }/\Gamma )$ настоящей статьи (ориентация одного контура при повороте неоднозначна, см. выше). Полная синхронизация обозначений серии — отдельная задача.

6. Формальное соответствие уравнениям Максвелла

Во внешней области используем потенциалы (14) и определения полей (15). Источники локализуются посредством $\chi$-разбиения (раздел 3.3). Четыре уравнения устанавливаются в порядке (II), (III), (IV), (I): первые два следуют как чистые тождества потенциального формализма; (IV) использует волновое замыкание К–В (19); (I) следует из условия калибровки Кулона (22) и уравнения Пуассона (21) для скалярного потенциала.

6.1 (II) Теорема Гаусса для магнетизма

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0.\text{\hspace{1em}(II)}$$

Это векторное тождество, выполняется везде.

6.2 (III) Закон электромагнитной индукции Фарадея

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\nabla \times \nabla \varphi -{\partial }_t(\nabla \times \mathbf{A})=-{\partial }_t\mathbf{B}.\text{\hspace{1em}(III)}$$

Это также тождество потенциального формализма.

6.3 (IV) Закон Ампера–Максвелла

В калибровке Кулона (22) векторное тождество $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})-{\nabla }^2\mathbf{A}$ упрощается до

$$c^2\nabla \times \mathbf{B}=-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}.$$

Деля уравнение импульса К–В (7) на ${\rho }_0$ и умножая на $R$ (так что $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$, $\varphi =R{p}^{\prime }/{\rho }_0$):

$${\partial }_{tt}\mathbf{A}+\nabla {\partial }_t\varphi =c^2{\nabla }^2\mathbf{A}+\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A},$$

откуда

$$-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}=-{\partial }_{tt}\mathbf{A}-\nabla {\partial }_t\varphi +\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.$$

Используя ${\partial }_t\mathbf{E}=-\nabla {\partial }_t\varphi -{\partial }_{tt}\mathbf{A}$ (производная по времени от $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$), члены $\nabla {\partial }_t\varphi$ и $-{\partial }_{tt}\mathbf{A}$ объединяются в ${\partial }_t\mathbf{E}$:

$$c^2\nabla \times \mathbf{B}={\partial }_t\mathbf{E}+\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.$$

Умножая на ${\rho }_0$ и вводя $\mathbf{H}\equiv {\rho }_0{c}^2\mathbf{B}$, $\mathbf{D}\equiv {\rho }_0\mathbf{E}$, $\mathbf{j}\equiv {\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$:

$$\nabla \times \mathbf{H}={\partial }_t\mathbf{D}+\mathbf{j},\boxed{\mathbf{H}\equiv {\rho }_0{c}^2\mathbf{B},\mathbf{D}\equiv {\rho }_0\mathbf{E},\mathbf{j}\equiv {\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.}\text{\hspace{1em}(IV)}$$

Отождествления $\epsilon {\epsilon }_0={\rho }_0$ и $\mu {\mu }_0=({\rho }_0{c}^2{)}^{-1}$ (раздел 7) дают $\mathbf{D}=\epsilon {\epsilon }_0\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}=\mathbf{B}/(\mu {\mu }_0)$, согласующиеся со стандартной формой Ампера–Максвелла $\nabla \times \mathbf{H}={\partial }_t\mathbf{D}+\mathbf{j}$. Эффективный ток $\mathbf{j}={\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$ имеет прямое механическое происхождение: он представляет вязкую релаксацию упругой энергии в соленоидальном секторе среды К–В. Он пропорционален $\nu$ и обращается в нуль в идеальном пределе $\nu \to 0$, согласованно с консервативной (безъисточниковой) структурой Максвелла для невязкой среды. Во внешней области, где $\chi \approx 0$, ток $O(\delta )\to 0$ (Приложение 16), поэтому электромагнитные источники локализованы вблизи ядра. В точной аналогии с разложением пограничного слоя классической вихревой теории [4], вязкость существенна лишь в области ядра; в дальней зоне вязкий ток убывает как $O(\delta )$, и безъисточниковая вакуумная форма $\nabla \times \mathbf{H}={\partial }_t\mathbf{D}$ восстанавливается приближённо (точно лишь в идеальном пределе $\nu \to 0$).

6.4 (I) Теорема Гаусса

Берём дивергенцию от $\mathbf{D}={\rho }_0\mathbf{E}=-{\rho }_0\nabla \varphi -{\rho }_0{\partial }_t\mathbf{A}$ и применяем калибровку Кулона (22):

$$\nabla \cdot \mathbf{D}=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi -{\rho }_0{\partial }_t(\nabla \cdot \mathbf{A})=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi .$$

Отсюда

$$\boxed{\nabla \cdot \mathbf{D}=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma .}\text{\hspace{1em}(I)}$$

Оговорка о статусе (I). Тождество $\nabla \cdot \mathbf{D}=-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi$ выводится честно (дивергенция определения $\mathbf{D}$ в калибровке Кулона), но приравнивание правой части к вихревому источнику $\sigma$ (ур. (31), поток свирла) из механики здесь не выводится, а принимается как конститутивное замыкание источника: связь лапласиана давления с потоком азимутальной завихрённости, $-R{\nabla }^2{p}^{\prime }=\sigma$, есть определяющее соотношение модели, а не следствие. Поэтому (I) — замыкание источника, а не независимо выведенное уравнение. Локализация: в бесточечной внешней области ${\nabla }^2\varphi =0$, поэтому $\sigma \to 0$ вдали от ядра; $\sigma$ сосредоточена вблизи границы ядра, где $\nabla \chi \ne 0$, посредством $\chi$-разбиения.

7. Физическая интерпретация констант и полей

7.1 Константа преобразования $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$

$R={\eta }_0/G=\nu /c^2={\tau }_{\mathrm{KV}}$ — время механической релаксации Кельвина–Фойгта (за него вязкие напряжения рассеивают упругую деформацию среды). Как показано в разделе 4.6, это выбор по размерной единственности в волновом секторе, а не универсальная константа: на статический и ближний секторы он не переносится, и ни один результат работы от его величины не зависит. Режимное условие $\delta =R/(L/c)\ll 1$ означает лишь, что среда релаксирует много быстрее транзита волны.

7.2 Размерная согласованность

При $R=\nu /c^2$ ($[R]=\mathrm{s}$) поля имеют следующие размерности:

$$[\varphi ]={\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1},[\mathbf{A}]=\mathrm{m},[\mathbf{E}]=\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},[\mathbf{B}]=1\text{ (безразмерное)},[\mathbf{H}]=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}.$$

Следовательно $[c\mathbf{B}]=\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=[\mathbf{E}]$, как в СИ электродинамике. Эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости:

$$\epsilon {\epsilon }_0={\rho }_0,\mu {\mu }_0=\frac{1}{{\rho }_0{c}^2},$$

и плотность электромагнитной энергии $w_{\mathrm{EM}}=\frac{1}{2}{\rho }_0|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2}{\rho }_0{c}^2|\mathbf{B}{|}^2$ имеет размерность $\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$, согласованную с плотностью кинетической энергии $\frac{1}{2}\rho u^2$ базовой жидкости.

7.3 Поток энергии: аналог вектора Пойнтинга

Электромагнитный вектор Пойнтинга $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{B}/(\mu {\mu }_0)$ имеет гидродинамический аналог

$${\mathbf{S}}_{\mathrm{hydro}}=\frac{\mathbf{E}\times \mathbf{B}}{\mu {\mu }_0}={\rho }_0{c}^2\mathbf{E}\times \mathbf{B}=-{\rho }_0{c}^2{R}^2\left[\right(\nabla \frac{p}{{\rho }_0}+{\partial }_t\mathbf{u})\times (\nabla \times \mathbf{u})].$$

Физически ${\mathbf{S}}_{\mathrm{hydro}}$ — скорость переноса механической энергии на единицу площади через внешнюю среду совместными возмущениями давления и завихрённости. Тождество сохранения ${\partial }_t{w}_{\mathrm{EM}}+\nabla \cdot {\mathbf{S}}_{\mathrm{hydro}}=0$ выполняется в невязкой внешней области ($\nu \to 0$, т.е. $\delta \to 0$), подтверждая консервативный характер дальней зоны.

7.4 Полная таблица соответствий

Электромагнитно–гидродинамические соответствия. Все гидродинамические выражения используют $R=\nu /c^2={\tau }_{\mathrm{KV}}$ и $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$.

ЭМ величина	Гидродинамический аналог	Единица СИ	Единица модели
Продолжение на следующей странице
Скалярный потенциал $\varphi$	$Rp/{\rho }_0$	В	${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$
Векторный потенциал $\mathbf{A}$	$R\mathbf{u}$	$\text{В}\cdot \text{с}\cdot {\text{м}}^{-1}$	м
Электрическое поле $\mathbf{E}$	$-R(\nabla p/{\rho }_0+{\partial }_t\mathbf{u})$	$\text{В}\cdot {\text{м}}^{-1}$	$\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
Магнитная индукция $\mathbf{B}$	$R\nabla \times \mathbf{u}$	Тл	1
Напряжённость $\mathbf{H}$	${\rho }_0{c}^2\mathbf{B}={\rho }_0\nu \nabla \times \mathbf{u}$	$\text{А}\cdot {\text{м}}^{-1}$	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$
Диэл. проницаемость $\epsilon {\epsilon }_0$	${\rho }_0$	$\text{Ф}\cdot {\text{м}}^{-1}$	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$
Маг. проницаемость $\mu {\mu }_0$	$({\rho }_0{c}^2{)}^{-1}$	$\text{Гн}\cdot {\text{м}}^{-1}$	$\mathrm{m}{\mathrm{s}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$
Плотность тока $\mathbf{j}$	${\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$	$\text{А}\cdot {\text{м}}^{-2}$	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$
Плотность заряда $\sigma$	$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi$	$\text{Кл}\cdot {\text{м}}^{-3}$	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{s}}^{-1}$
Плотность ЭМ энергии $w$	$\tfrac{1}{2}\rho_0	\mathbf{E}	^2+\tfrac{1}{2}\rho_0 c^2
Заряд $Q$	${\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$	Кл	$\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$
Ток $I$	$dQ/dt$	А	$\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$
Модуль сдвига	$G$	—	$\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$
Длина сшивки ${\ell }_c$	константа среды (нормировка $Q$)	—	м
Время релаксации $R$	${\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$	с	с
Скорость волны $c$	$\sqrt{G/{\rho }_0}$	$\text{м}{\text{с}}^{-1}$	$\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

8. Стационарный предел и закон Кулона

8.1 Электростатическое сокращение

В строго стационарном режиме (${\partial }_t=0$, ${\mathbf{u}}_{\infty }=0$, $\mathbf{j}=0$):

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi ,\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

Теорема Гаусса (I) сводится к уравнению Пуассона:

$$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma .$$

8.2 Полный заряд и представление через поток

Интегрируя (47) по объёму $V$, охватывающему источник, и применяя теорему Гаусса–Остроградского:

$$Q={\int }_V\sigma dV={\oint }_{\partial V}{\rho }_0\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}={\rho }_0{\oint }_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.$$

Полный заряд равен потоку ${\rho }_0\mathbf{E}$ через замкнутую поверхность, в точности как в электростатике при $Q={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$.

8.3 Решение для точечного источника и поле $1/r$

При $r\gg r_0$ компактный источник эквивалентен точечному заряду $\sigma =Q{\delta }^{(3)}(\mathbf{r})$, и (47) даёт

$$\varphi (r)=\frac{Q}{4\pi {\rho }_0}\frac{1}{r},\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi {\rho }_0}\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

Оговорка (принятый коэффициент). Отождествление скалярного потенциала давления $\varphi =R{p}^{\prime }/{\rho }_0$ с кулоновским монополем $\propto Q/r$ принято как коэффициент эффективной теории: монополь давления вихря по Бернулли $\propto {\Gamma }_{\phi }^2$, тогда как $Q\propto {\Gamma }_{\phi }$, и линейность связи $\varphi \leftrightarrow Q$ здесь не выведена.

Лемма о запрете заряда. Под замыканием (I), $-R{\nabla }^2{p}^{\prime }=\sigma$, строгая несжимаемость всюду (включая кор: $\nabla \cdot \mathbf{u}=0\Rightarrow {\nabla }^2{p}^{\prime }=0$) вынуждает

$$Q=\int \sigma dV=-R\int {\nabla }^2{p}^{\prime }dV\equiv 0.$$

Заряженный свирл поэтому несовместим со строго несжимаемым кором: нечётный монопольный источник требует выхода за несжимаемую гидродинамику — компрессионного сектора (конечное $c_s$) либо структурного кора (та же граница, что и строение кора, §5.7). Физически эта необходимая сжимаемость реализуется в переходном слое на границе ядра (кор,$\leftrightarrow$,внешняя область), где среда сжимается, — в том самом слое $\nabla \chi \ne 0$, в котором локализован источник $\sigma$ (§3.3): там $\nabla \cdot \mathbf{u}\ne 0$ снимает ${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$, и нечётный источник получает физическое место. Это — условие необходимое, но не достаточное: даже в сжимаемом течении нетто-поток нулевой (сжимаемое расширение леммы, §5.7), так что источник несёт конститутивный модуль $\chi$, а его знак — структурная хиральность кора (домен A3). Это усиливает честность (I) и точнее расплывчатого <<не выведено>> (подробный вывод — сопроводительная записка COULOMB_ FROM_ SWIRL_ru.md).

8.4 Сила между двумя стационарными вихревыми зарядами

Сила на второе ядро с зарядом $Q_2$, находящееся на расстоянии $r_{12}$ от $Q_1$:

$$\boxed{{\mathbf{F}}_{12}=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi {\rho }_0}\frac{{\hat{\mathbf{r}}}_{12}}{r_{12}^2},k_{\mathrm{hydro}}=\frac{1}{4\pi {\rho }_0}.}$$

Взаимодействие отталкивающее для зарядов одной хиральности (знаки ${\Gamma }_{\phi }/\Gamma$ совпадают) и притягивающее для противоположных; знак переворачивает инверсия одного лишь свирла ${\Gamma }_{\phi }$ относительно кольцевой $\Gamma$ (поворот объекта знак не меняет) — воспроизводя форму электромагнитного закона Кулона.

Оговорка (замыкание силы). Переход от поля к силе можно не постулировать отдельно: сила между двумя зарядами получается из энергии спиральности замкнутой закрученной структуры (§5.7) и даёт форму $1/r^2$ и знак по хиральности как следствие, а не по образцу электродинамики; прямой механический интеграл натяжений (Магнус/Бьеркнеса) при этом не требуется. Принятым остаётся лишь существование выпуклого псевдоскалярного модуля кора ($\kappa >0$, тейлоровская релаксация), выбирающее энергетическую ветвь над токовой (амперовской, дающей магнитный знак), — тот же невыведенный кусок, что и замыкание источника (I) (строение сжатого кора, A3); сам же знак-лок на кольцевую $\Gamma$ при этой ветви — теорема (лемма о знаке-локе, §5.7).

9. Движущийся заряд, ток и статический магнитный сектор

Словарь предыдущих разделов ограничен статическим неконвектируемым зарядом: закон Ампера (IV) содержит лишь вязкий ток $O(\delta )$ и ток смещения, и дальней магнитостатики (провод, магнит) в нём нет. Настоящий раздел строит минимальное расширение: статический носитель магнитного поля, ток проводимости и поле движущегося заряда. Ключ к сектору — теорема о застывшем сдвиге.

9.1 Теорема о застывшем сдвиге: статическое поле не течёт

В среде К–В со статическим модулем $G(\omega \to 0)>0$ стационарное гладкое течение с ненулевой скоростью сдвига невозможно: смещение $\mathbf{d}={\mathbf{d}}_0+{\mathbf{u}}_{0}t$ растёт линейно, и упругое напряжение $2G\mathbf{E}(\mathbf{d})$ неограниченно копится. Следовательно статическое магнитное поле не может быть несомо течением $\mathbf{u}$; его носитель — застывшее сдвиговое смещение среды. Квазистатический словарь:

$${\mathbf{A}}_{\mathrm{stat}}=\mathbf{d},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{d},{\mathbf{E}}_{\mathrm{ind}}=-{\partial }_t\mathbf{d}=-\mathbf{u}.$$

В модельных единицах $[\mathbf{A}]=[\mathbf{d}]=$ м, и коэффициент словаря единичный и не свободный: упругая энергия анти-плоского сдвига $\frac{1}{2}G|\nabla \times \mathbf{d}{|}^2$ при $G={\rho }_0{c}^2$ тождественно совпадает с магнитной $\frac{1}{2}{\rho }_0{c}^2|\mathbf{B}{|}^2$ словаря (§7) — энергетический замок. Закон Фарадея в этом словаре — тождество: $\nabla \times {\mathbf{E}}_{\mathrm{ind}}=-{\partial }_t\nabla \times \mathbf{d}=-{\partial }_t\mathbf{B}$. Вихревые течения при этом законны: они — топологические дефекты поля смещений (§11), квантованы и локализованы у коров. Итог сектора: гладкая макростатика — упругость покоящейся среды; дефектные микротечения — гидродинамика. Электростатический носитель уже был таким же: статическое нетто-уплотнение $\nabla \cdot \mathbf{d}\ne 0$ (§5.7) — статика целиком живёт в смещениях (сжатие$\to$E, закрутка$\to$B), течения несут только волны и дефекты.

Немедленные следствия (счёт — calc_ static_ twist.py): (i) кольцевые интерферометры статических полей не видят ($\oint \mathbf{u}\cdot d\mathbf{\ell }=0$ — среда покоится): чтение <<$\mathbf{B}$=течение>> дало бы для магнитного поля Земли $\sim 5\cdot 10^7$ полос у Майкельсона–Гейла против наблюдаемых $0,230\pm 0,005$ (§10) — при любой константе преобразования оно убито опытом, тогда как чтение-смещение даёт строгий нуль, и Майкельсон–Гейл регистрирует только вращение Земли; (ii) свет в статическом магнитном поле на линейном порядке не увлекается (линейность К–В: фоновое смещение и волна суперпонируются) — согласуется с отсутствием магнито-оптического увлечения вакуума; (iii) прежние оценки <<скорости среды в лабораторном поле>> $u=BL/R$ (§4.6) к макростатике не относятся вовсе — течения нет; они сохраняют две роли: убивают волновое $R$ в статике и ограничивают дефектные течения масштаба частиц. Расщепление словаря (волны: $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$; статика: $\mathbf{A}=\mathbf{d}$) даёт механическое прочтение секторо-зависимости константы преобразования: открытым остаётся не <<почему $R$ разная>>, а сшивка двух носителей на промежуточных частотах $\omega \tau \sim 1$.

9.2 Ток проводимости и непрерывность

Единственный новый вход: (П1) заряд вморожен в носитель — конвективное прочтение уже установленной топологичности $\sigma$ (§5: метка вморожена в носитель, меняется только сменой его топологии). Тогда для набора носителей тождественно

$${\partial }_t\sigma +\nabla \cdot (\sigma \mathbf{v})=0,{\mathbf{j}}_{\mathrm{conv}}\equiv \sigma \mathbf{v},$$

где $\mathbf{v}$ — скорость носителя (не среды). Полный ток в (IV): $\mathbf{j}={\mathbf{j}}_{\mathrm{conv}}+{\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$; дивергенция (IV) вместе с (I) воспроизводит (53) — ток смещения обязателен для согласования конвекции с соленоидальностью $\nabla \times \mathbf{H}$. Калибровка Кулона цела: $\varphi$ — мгновенный Пуассон с движущимся $\sigma$. Статус: (53) выведено из (П1); само (П1) — принятое расширение замыкания (I).

9.3 Провод: застывшая винтовая закрутка вокруг тока

Стационарный ток $I$ поддерживает вокруг провода застывший анти-плоский сдвиг $d_z(r)$; $B_{\phi }=-\partial d_z/\partial r$, и закон Ампера $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell }={\mu }_{0}I$ диктует профиль

$$d_z(r)=-\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r}{r_{\mathrm{ref}}}$$

— гармоническую (${\nabla }^2{d}_z=0$) упругостатику с линейным источником на проводе (функция Грина анти-плоского сдвига). Смещения субмикронные (${\mu }_{0}I/2\pi =2\cdot 10^{-7}$ м при $I=1$ А), сдвиговое напряжение $G{B}_{\phi }\sim 10$ Па при лабораторных полях — анизотропия $\sim 10^{-34}$ на фоне давления среды. Логарифм обрезается только обратным током: незамкнутый постоянный ток дал бы бесконечную упругую энергию на единицу длины и накопление $\sigma$ на концах (53) — статического решения нет. Модель тем самым предсказывает: стационарная магнитостатика существует только у замкнутых цепей — что совпадает с реальностью (в стандартной теории это следствие сохранения заряда; здесь — ещё и конечности упругой энергии; исходы теории не различаются, но самосогласованность словаря закрыта). Постоянный магнит — когерентная сумма дефектных микрозакруток (образ, не счёт).

9.4 Движущийся заряд и сила $Q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$

Равномерно движущийся носитель несёт свой твист-узор $\mathbf{d}(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)$; в кадре носителя фоновое статическое смещение выглядит эффективным течением ${\mathbf{u}}_{\mathrm{eff}}=-(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{d}$, и векторное тождество $\mathbf{v}\times (\nabla \times \mathbf{d})=\nabla (\mathbf{v}\cdot \mathbf{d})-(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{d}$ превращает мотионную часть ${\mathbf{E}}^{\prime }=\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ (с точностью до градиента, поглощаемого $\varphi$) в ту же лэмбовскую идентификацию силы (§4) — никакого нового коэффициента. В нерелятивистском пределе воспроизводится $\mathbf{B}=(1/c^2)\mathbf{v}\times \mathbf{E}$; наблюдаемые калибровочно-инвариантны, запаздывание несёт поперечная часть $\mathbf{A}$.

9.5 Реестр конвективного сектора

Выведено: теорема о застывшем сдвиге (статика не течёт); энергетический замок словаря ${\mathbf{A}}_{\mathrm{stat}}=\mathbf{d}$ (единичный коэффициент); тождества Фарадея и мотионной ЭДС; лог-профиль (54) и необходимость замкнутых цепей; снятие узла кольцевых интерферометров; непрерывность (53) из (П1). Принято: (П1) — вмороженность $\sigma$ в носитель; сам выбор смещения как носителя статики (конститутивен, но подперт двумя выведенными замками и опытом МГ/отсутствием увлечения). Не покрыто: излучение ускоренного заряда; сшивка волнового и статического словарей при $\omega \tau \sim 1$; микроскопика омической диссипации; ферромагнетизм (образ).

10. Ненаблюдаемость покоящейся системы отсчёта среды

Скорость $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ задаёт выделенную систему покоя среды, и наивно это означало бы детектируемый светоносный эфир, противоречащий изотропии скорости света (Майкельсон–Морли [30]; современные оптические резонаторы дают $\Delta c/c<10^{-18}$ [32]). Разрешение — не жёсткое увлечение эфира и не отрицание опытов, а сочетание двух механизмов с разными ролями. (Что возбуждения среды могут видеть эффективную <<акустическую метрику>> независимо от лабораторного покоя среды — установленный факт программы аналоговой гравитации [56, 57, 58]; строгий вывод такой метрики из уравнений настоящей среды остаётся открытым, §11.)

Ближняя зона: частичное увлечение. Тело движется не в свободной среде, а внутри собственного гравитационного колодца — поля дефицита продольного сектора, к которому в ближней зоне добавляется дрейф втекания (в статье о гравитации статика — замороженное состояние поля, как и электрическая: течения массы она не требует, а «река» ограничена ближней зоной $r<r_{\mathrm{acc}}$). Это поле движется вместе с телом (оно им и создаётся, обновляясь на $c_s$): локально система покоя среды практически совпадает с системой тела, и крупный (орбитальный) эфирный ветер вблизи поверхности отсутствует. Между поверхностью и дальним космосом лежит плавный переход от увлечённой среды к свободной (безвихревое частичное увлечение восходит к Стоксу [53]; классическое возражение о несовместимости потенциального увлечения с полным отсутствием проскальзывания (Лоренц, 1886 [55]) снимается ниже пунктом об остатке). Увлечение безвихревое (потенциальное): связанная область не со-вращается с телом, поэтому кольцевой (саньяковский) интерферометр Майкельсона–Гейла регистрирует суточное вращение Земли [31] — это не противоречие, а следствие потенциальности течения.

Аберрация — эффект дальней зоны. Звёздная аберрация ($\sim 20,5^{\prime \prime }$) набирается там, где свет ещё не увлечён телом; для потенциального течения её угол выходит равным $v/c$ по полному движению наблюдателя относительно дальней (неувлечённой) среды — одинаково для близких и далёких звёзд. То, что заполнение телескопа водой не меняет угол (Эйри [54]), прямо указывает на дальнее происхождение аберрации: локальная среда лишь принимает уже сформированный луч.

Остаток: ненаблюдаемость кадра. Увлечение снимает крупный ветер, но не остаточный слип (неполнота увлечения, вращательная компонента). Этот остаток не детектируется потому, что тела и часы собраны из тех же поперечных возбуждений, что бегут со скоростью $c$: при движении сквозь среду они сокращаются вдоль движения и замедляют ход (Лармор [27], Лоренц [28]), так что световой эксперимент не выделяет кадр. Детальная лоренц-эфирная трактовка (полное преобразование Лоренца, множитель $\gamma$, кольцо-часы $\omega \to \omega /\gamma$, поперечный Доплер $\nu ={\nu }_0/\gamma$, $E=m{c}^2$, лабораторные границы Айвса–Стилвелла [33] и тест-теории [29] на уровне $<10^{-17}$) вынесена в отдельную статью о специальной теории относительности и здесь не воспроизводится. Существенно лишь, что аналогия не вводит детектируемого преимущественного кадра и потому совместима с наблюдениями.

11. Ограничения и область применимости

11.1 Реестр: выведено, принято, эмпирический вход

Главный принцип программы — явно разделять выведенное и принятое.

Выведено (следствия модели)	Замечание
Уравнения II, III	тождества потенциалов
Уравнение IV	волновое замыкание К–В; ток $\mathbf{j}=O(\delta )$
Калибровка Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$	из несжимаемости внешней области
Поперечная затухающая волна для $\mathbf{A}$	точное следствие закона К–В
Биполярность и знак заряда	псевдоскаляр (хиральность); зеркало$\to$античастица
Форма Кулона	гармонический $1/r$, линейность по ${\Gamma }_{\phi }$ при заданном источнике
Заряд$=$спиральный монополь (замкнутая закрученная структура)	$\oint \mathbf{\omega }\cdot d\mathbf{S}=0$; несущий инвариант — спиральность $H\propto \Gamma {\Gamma }_{\phi }$
Форма и знак силы Кулона	из энергии спиральности при $\kappa >0$ (§5.7)
Знак-лок закрутки на кольцо (знак $\chi$)	лемма о знаке-локе при R-ENERGY (§5.7); условие применимости — релаксация кора к бельтрамиевой ветви, статус в A3; область применимости — кор нуклона: перенос релаксированной ветви на каплю электрона запрещён бюджетом сборки (A9, $\times 2,3\cdot 10^4$ против судьи $511$ кэВ)
Двоичность метки (знак — один бит)	двузначность псевдоскаляра $H$ (§8)
Статика не течёт; носитель — смещение	теорема о застывшем сдвиге$+$энергозамок (§9.1)
Непрерывность и ${\mathbf{j}}_{\mathrm{conv}}=\sigma \mathbf{v}$; замкнутые цепи	из (П1) и закона Ампера (§9)
Принято (замыкания и коэффициенты)	Замечание
${\rho }_0={\epsilon }_0$	словарь среда$\leftrightarrow$поле
Медиумность длины нормировки ${\ell }_c$	вынуждена опытом: равенство $
Статический $G(\omega \to 0)>0$ (К–В)	структурное требование; $G_{\mathrm{shape}}=0$ (несжим.), сжимаемый механизм — Прил. 19; микровывод открыт
Замыкание источника (I) $-R{\nabla }^2{p}^{\prime }=\sigma$	сводится к существованию псевдоскалярного модуля $\tau /\chi$ сжатого кора (лемма §8; D-кор, A3)
Линейность $\varphi \leftrightarrow Q$	монополь давления $\propto {\Gamma }_{\phi }^2$, а $Q\propto {\Gamma }_{\phi }$
Выпуклый модуль спиральности $\kappa >0$ (тейлоровская ветвь)	выбор над амперовской (магнитной) ветвью; несёт форму и величину силы (знак — лемма знака-лока) — тот же модуль кора (A3)
Атомарность порции заряда (носитель — одна структура кора)	вход жёсткости; нитевая модель со счётом зацеплений снята (§5)
Вмороженность $\sigma$ в носитель (П1); смещение как носитель статики	конвективный сектор (§9); подперты замками и опытом МГ
$R={\tau }_{\mathrm{KV}}=\nu /c^2$	размерная единственность (волновой сектор); статический $R$ иной (выведен: $em/(2{\rho }_{0}ch)$)
Эмпирический вход	Замечание
Величина кванта ${\Gamma }_0$	квантование циркуляции (опыт He-II); порция атомарна, носитель — кор (но-гоу губки, §5); механизм — A6
Величина ${\ell }_c{\Gamma }_0=e/{\rho }_0=1,81\cdot 10^{-8}$ м${}^3$/с	экспорт вниз по серии (30); квантовый слой обязан удовлетворить
$c_s\approx 1,26\cdot 10^{23}$ м/с	продольный сектор; несёт причинность (A2, A8)

11.2 Ключевые ограничения

Модель справедлива при условиях режима (10). Она демонстрирует управляемую гидродинамическую аналогию, а не доказательство того, что электромагнетизм механичен. Ниже перечислены ключевые ограничения:

• Модуль упругости формы не выведен. Метод скачка давления в замороженном несжимаемом приближении даёт $G_{\mathrm{shape}}=0$; несжимаемый вклад формы — второй порядок с негарантированным знаком, сжимаемый первопорядковый механизм $\propto {\rho }_{\mathrm{core}}{\Gamma }_{\phi }^2$ касается лишь заряженных ядер (подробно — раздел 2 и Приложение 19). Положительный статический модуль $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ опирается на коллективное натяжение губки либо принимается структурным требованием (следующий пункт); точный вывод $G$ — открытая задача.
• Сдвигово-упругая фаза среды. Аналогия требует ненулевого статического модуля сдвига $G(\omega \to 0)>0$: именно он держит и поперечную волну, и персистентное статическое поле (закон Кулона). Простая невязкая жидкость имеет $G=0$, при котором $c=\sqrt{G/{\rho }_0}\to 0$ и поперечное уравнение вырождается в диффузию завихрённости ${\partial }_t\mathbf{\omega }=\nu {\nabla }^2\mathbf{\omega }$. «Жёсткость» относится к упругому отклику на сдвиг, а не к запрету течения: среда остаётся вихревой (вязкоупругое тело), а сдвиговая упругость и вихри совместимы — в упругой среде вихри существуют как топологические дефекты поля смещений. Это единственное уцелевшее структурное требование, и оно много слабее кристаллического дальнего порядка решётки.
• Линейность. Внешние уравнения линеаризованы. Нелинейные эффекты (переподключение вихрей, турбулентность) могут дестабилизировать инвариант циркуляции $Q$; в неупорядоченной среде они же задают конечное время релаксации $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$.
• Дискретность заряда. Атомарность и двоичность порции — прямой вход жёсткости (раздел 5); условная теорема целочисленности снята вместе с дискретно-нитевой моделью (её счётная свобода — произвольные кратности и зацепления — нефизична). Величина кванта ${\Gamma }_0$ — вход (порция живёт в коре — но-гоу губки); механизм величины рассматривается в квантовой статье программы.
• Магнитостатика дальней зоны — через конвективный сектор. В базовом (волновом) словаре $\mathbf{B}=R\nabla \times \mathbf{u}$ отлично от нуля лишь в волнах и внутри коров: закон Ампера (§6) содержит вязкий ток $O(\delta )$ и ток смещения, но не ток проводимости. Раздел 9 закрывает это одним принятым расширением (вмороженность $\sigma$ в носитель) и теоремой о застывшем сдвиге: статические поля несомы смещением покоящейся среды, появляются ток проводимости, поле провода и поле движущегося заряда. Открытыми остаются излучение ускоренного заряда, сшивка волнового и статического словарей при $\omega \tau \sim 1$ и микроскопика проводимости.
• Релятивистский режим. Лоренц-инвариантность в модели эмерджентна (раздел 10): она воспроизводит изотропию $c$ и поперечный Доплер, но строгий вывод эффективной метрики возбуждений и релятивистских поправок из уравнений среды остаётся открытой задачей.

12. Возможные экспериментальные проверки

Модель предсказывает проверяемые явления в вихревых системах:

1. Хиральностно-нечётная сила двух спиральных клубков (демонстратор/нуль-тест). Два компактных спиральность-несущих клубка (навитые кольца радиуса $r_b$ с ко- или контр-хиральной навивкой; генерация и измерение спиральности — гидрофойлы и стерео-PIV, техника Кельвина–Ирвайна [40, 41, 42]) запускаются бок о бок со-направленно на $d=3\text{–}10r_b$. Измеряется хиральностно-нечётная комбинация поперечных ускорений $\mathcal{O}=\frac{1}{4}[a_{++}+a_{--}-a_{+-}-a_{-+}]$: чётные фоны (взаимная адвекция, стенки, плавучесть) сокращаются точно. Энергетическая ветвь (§5.7) дала бы $F=Q_1{Q}_2/(4\pi \kappa d^2)$ при $\kappa =\rho$, $Q_i=\rho r_b{\Gamma }_{\phi i}$ (аналоговая длина сшивки $=r_b$; на частицы не переносится): одинаковая хиральность — отталкивание, $F\propto d^{-2}$; токовая (амперовская) — тот же масштаб с обратным знаком; чисто кинематическая нечётная связь спадает как $d^{-4}$. Степень отделяет конститутивный канал от кинематики, знак — ветвь от ветви. Числа для воды ($\Gamma ={\Gamma }_{\phi }=100$ см${}^2$/с, $r_b=1$ см, $d=5r_b$): $F\approx 3\cdot 10^{-4}$ Н, за $0,3$ с накапливаются $\Delta v\approx 15$ мм/с и $\delta x\approx 2,3$ мм — на порядок выше порога PIV (счёт calc_ helicity_ discriminator.py). Ярусы: (0) численный пре-чек Био–Савара — чистая кинематика, по лемме запрета (§8) нечётный $d^{-2}$-канал обязан дать нуль (динамическая проверка леммы) и калибрует $d^{-4}$-фон; (1) тихая вода; (2) турбулентная ванна $u^{\prime }\sim 3$ см/с с $⟨h⟩=0$ — аналог вихревой губки (гипотеза яруса: частичная релаксация при фиксированной кинетической спиральности в NS-турбулентности не установлена — селективного сохранения $H$ там нет). Жанр честен: это демонстратор и нуль-тест, не различитель программы: сам словарь предсказывает нуль во всех ярусах (источник конститутивен, у воды нет сжатого кора) — и именно нуль есть динамическое подтверждение леммы запрета; ненулевой $d^{-2}$-исход любого знака стал бы классическим прецедентом гиротропного модуля. Нулевой исход яруса 2 ограничивает ${\kappa }_{\mathrm{eff}}\gtrsim 20\rho$ при условии, что перенос спиральности не лимитирует (дальность $\ge d$; разделяется юкавским фитом).
2. Гиперболический vs. диффузионный перенос. Импульсно возбудить компактное ядро и измерить время прихода возмущения на расстоянии $L$. Диффузия Навье–Стокса даёт $t\sim L^2/\nu$; модель К–В предсказывает фронт с конечной скоростью при $t\sim L/c$.
3. Масштабирование эффективного тока по вязкости. В осциллирующей конфигурации вихрей варьировать $\nu$ при постоянном $c$ и измерять амплитуду дальнего поля. Модель предсказывает $|\mathbf{j}|\propto \delta =\nu /(cL)$.
4. Затухание энергии в дальней зоне. Восстановить $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ из измеренных $p$ и $\mathbf{u}$. Для стационарного компактного источника проверить $|\mathbf{E}|\propto r^{-2}$ и $w\propto r^{-4}$.
5. Хроматическое затухание света и граница на ${\nu }_{\mathrm{eff}}$. Вязкий член К–Ф делает затухание света цветозависимым: из дисперсии $\mathrm{Im}k={\nu }_{\mathrm{eff}}{\omega }^2/(2c^3)$ (через физическую эффективную вязкость сети ${\nu }_{\mathrm{eff}}$, а не словарную $R$) длина взаимодействия $\ell \propto {\omega }^{-2}$ — высокие частоты гасятся много сильнее низких. Распространение света всех частот на длинных базах ограничивает ${\nu }_{\mathrm{eff}}$ сверху. В вихревой модели фотона (A7) потеря энергии при сохранении циркуляции ($L=mvr$ и $m$) не гасит кольцо, а краснит его: $d\omega /dx=-({\nu }_{\mathrm{eff}}/c^3){\omega }^3$ с насыщением частоты ${\omega }_{\mathrm{sat}}=\sqrt{c^3/(2{\nu }_{\mathrm{eff}}x)}$. Сигнатура поэтому — хроматическое покраснение (синие компоненты смещаются сильнее красных) и предельная наблюдаемая частота от базы $x$, а не простое ослабление. Космологическая проверка исполнена: приход $13,2$ ГэВ от GRB,080916C ($z=4,35$, $D=1,2\cdot 10^{26}$ м) даёт ${\nu }_{\mathrm{eff}}<5,6\cdot 10^{-52}$ м${}^2$/с — на $19,4$ порядка ниже границы прозрачности $1,26\cdot 10^{-32}$ м${}^2$/с паспорта A0, которая есть утверждение «оптика доходит с гигапарсека». Следствие для A11: усталость света мертва и по величине ($\times 3\cdot 10^{19}$). Счёт дисперсии и насыщения — calc_ chromatic_ attenuation.py.

13. Заключение

Мы показали, что уравнения Максвелла формально следуют из механики компактных вихревых структур в вязкоупругой среде Кельвина–Фойгта при допущениях слабой вязкости, малых внешних возмущений и волново-доминированного распространения ($\delta \ll 1$). Цепочка такова: коллективное натяжение вихревой сети даёт ненулевой статический сдвиговый модуль масштаба $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ (форм-упругость одиночного ядра в замороженном приближении нулевая); внешняя среда ведёт себя как тело К–В со скоростью волны $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ и временем релаксации $R={\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$; реологический закон К–В точно даёт затухающую поперечную волну для $\mathbf{A}$ (19), а несжимаемость — калибровку Кулона (22). Отсюда следуют четыре уравнения Максвелла в режиме статического (неконвектируемого) заряда: II, III — тождества потенциалов; IV — волновое замыкание К–В (вакуумная форма в дальней зоне восстанавливается приближённо, $O(\delta )$); I — калибровка Кулона плюс конститутивное замыкание источника (связь давления и потока свирла принята, не выведена). Заряд — азимутальный свирл $Q={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$ с медиумной нормировкой ${\ell }_c$ (знак — хиральность), закон Кулона — в стационарном пределе. Конвективный сектор (раздел 9) снимает ограничение неподвижного заряда: статические поля несёт застывшее смещение покоящейся среды (теорема о застывшем сдвиге с энергетическим замком — потому кольцевые интерферометры статических полей не видят), ток проводимости следует из вмороженности заряда в носитель, а магнитостатика существует только у замкнутых цепей. Сильнейшие выведенные результаты — чётностное расщепление (биполярность заряда против однополярности массы как нечётность против чётности одного вихря) и лемма о знаке-локе (знак заряда при релаксации наследуется от топологии носителя, а не постулируется). Все отображённые величины имеют конкретный механический смысл. Оговорка о постоянной словаря: $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$ — это выбор по размерной единственности в волновом секторе, а не измерение; волновое уравнение к величине $R$ инвариантно, и ни один результат работы от неё не зависит ($R$ сокращается в уравнениях Максвелла). В ближнем (дефектном) секторе константа иная — выведена серией масс-зависимой: $R_{\text{стат}}=em/(2{\rho }_{0}ch)$, сшивка $\ell =a/2\pi$ на слое спина (§4.6), на $35$–$39$ порядков больше ${\tau }_{\mathrm{KV}}$ и отдельно ненаблюдаема, — а у гладкой макростатики словарь вообще без $R$ (${\mathbf{A}}_{\mathrm{stat}}=\mathbf{d}$, раздел 9); открытой остаётся сшивка носителей при $\omega \tau \sim 1$.

Настоящая работа — вводная: она задаёт классическую механическую основу, на которой строятся последующие статьи программы. Приоритеты дальнейшей работы: точный расчёт деформационного вклада в $G$ — метод скачка давления в замороженном несжимаемом приближении даёт нуль (Приложение 19), знак несжимаемого второпорядкового вклада не гарантирован, а сжимаемый первопорядковый механизм $G_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}\propto {\rho }_{\mathrm{core}}{\Gamma }_{\phi }^2$ ждёт полного погранслойного расчёта; излучение ускоренного заряда и сшивка волнового и статического словарей при $\omega \tau \sim 1$ (раздел 9); строгий вывод эмерджентной лоренц-инвариантности (раздел 10).

14. Приложения

В данном приложении собраны вспомогательные выводы и сравнения, упоминаемые в основном тексте.

15. Модели вязкоупругости Кельвина–Фойгта и Максвелла

Раздел 4.3 выводит уравнение затухающей поперечной волны (18) из конститутивного закона К–В (4). Здесь мы сравниваем его с максвелловской вязкоупругой моделью и обсуждаем предельные случаи.

Почему не модель Максвелла?. Конститутивное соотношение Максвелла,

$$\mathbf{\tau }+{\tau }_M{\partial }_t\mathbf{\tau }={\eta }_0\mathbf{D}(\mathbf{u}),$$

при ${\tau }_M={\eta }_0/G$, приводит к телеграфному уравнению для соленоидальной скорости:

$${\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}+\frac{1}{{\tau }_M}{\partial }_t{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=\frac{\nu }{{\tau }_M}{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}.$$

Это уравнение имеет глобальное (однородное) затухание ${\tau }_M^{-1}{\partial }_t\mathbf{u}$, тогда как уравнение К–В (18) содержит пространственное (лапласианное) затухание $\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{u}$. Соленоидальное условие $\nabla \cdot {\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=0$ сохраняется обеими моделями (так как дивергенция каждого уравнения обращается в нуль при $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$). Кроме того, уравнение (56) не факторизуется в волновой оператор плюс малое вязкое возмущение при $\delta \ll 1$, поэтому оно не допускает чистой интерпретации в терминах теории потенциала.

Предельные случаи замыкания К–В.

• Чисто упругий (${\eta }_0\to 0$): (18) сводится к ${\partial }_{tt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}=c^2{\nabla }^2{\mathbf{u}}_{\mathrm{sol}}$, согласованно с кинематикой Хилла.
• Чисто вязкий ($G\to 0$, $c\to 0$): (16) вырождается и уравнение для скорости сводится к диффузии завихрённости ${\partial }_t\mathbf{\omega }=\nu {\nabla }^2\mathbf{\omega }$, восстанавливая стандартные НС.
• Волново-доминированный режим ($\delta \ll 1$, т.е. ${\tau }_{\mathrm{KV}}\ll L/c$): преобладает распространение волны, и аналогия с электромагнетизмом справедлива с точностью $O(\delta )$.

Обобщённая линейная вязкоупругая модель. Модель Джеффри $(1+{\lambda }_1{\partial }_t)\mathbf{\tau }={\eta }_0(1+{\lambda }_2{\partial }_t)\mathbf{D}$ интерполирует между Максвеллом (${\lambda }_2=0$) и К–В (${\lambda }_1=0$). В пределе ${\lambda }_1\ll {\tau }_{\mathrm{KV}}$ соленоидальное уравнение сводится к (18), подтверждая устойчивость замыкания К–В.

16. Оценка порядка величины эффективного тока

Плотность эффективного тока из (IV): $\mathbf{j}={\rho }_0\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}$. Пусть $L$ — внешний масштаб длины, $T\sim L/c$ — время распространения. Для векторного потенциала амплитуды $A$:

$$|{\partial }_t\mathbf{A}|\sim \frac{cA}{L},|{\nabla }^2\mathbf{A}|\sim \frac{A}{L^2},|\mathbf{j}|\sim {\rho }_0\nu \frac{A}{L^2}\frac{c}{L}={\rho }_0\frac{\nu cA}{L^3}.$$

При $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ и $R=\nu /c^2$, откуда $A\sim (\nu /c^2)U$:

$$|\mathbf{j}|\sim \frac{{\rho }_0{\nu }^{2}U}{c{L}^3}={\rho }_0\frac{\nu U}{L^2}\delta ,\delta =\frac{\nu }{cL}\ll 1.$$

Ток смещения масштабируется как $|{\partial }_t\mathbf{D}|={\rho }_0|{\partial }_t\mathbf{E}|\sim {\rho }_0\nu U/L^2$, поэтому $|\mathbf{j}|/|{\partial }_t\mathbf{D}|\sim \delta \ll 1$. Эффективный ток имеет порядок $O(\delta )$ по сравнению с током смещения и обращается в нуль в идеальном пределе $\nu \to 0$.

17. Несжимаемые уравнения К–В и уравнение Пуассона для $\varphi$

В несжимаемой внешней области ($\nabla \cdot \mathbf{u}=0$) давление $p^{\prime }$ является множителем Лагранжа, обеспечивающим выполнение связи. Линеаризованный баланс импульса первого порядка:

$${\rho }_0{\partial }_t\mathbf{u}=-\nabla p^{\prime }+{\eta }_0{\nabla }^2\mathbf{u}.$$

Взятие дивергенции с учётом $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$:

$$0=-{\nabla }^2{p}^{\prime },$$

поэтому $p^{\prime }$ гармонична (${\nabla }^2{p}^{\prime }=0$) в бесточечной внешней области. Умножая (59) на $R/{\rho }_0$ (при $\varphi =R{p}^{\prime }/{\rho }_0$ и $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$):

$${\partial }_t\mathbf{A}=-\nabla \varphi +\nu {\nabla }^2\mathbf{A}.$$

Вблизи ядра $\chi$-разбиение порождает источниковые члены; теорема Гаусса тогда даёт

$$-{\rho }_0{\nabla }^2\varphi =\sigma ,$$

что сводится к ${\nabla }^2\varphi =0$ вдали от ядра. Калибровка Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=R\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ выполняется тождественно по всей внешней области.

Сравнение со сжимаемым случаем. В баротропной (сжимаемой) формулировке уравнение неразрывности ${\partial }_t{\rho }^{\prime }+{\rho }_0\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ совместно с $p^{\prime }=c^2{\rho }^{\prime }$ даёт условие Лоренца $\nabla \cdot \mathbf{A}+(1/c^2){\partial }_t\varphi =0$ и волновое уравнение для скалярного потенциала ${\partial }_{tt}\varphi -c^2{\nabla }^2\varphi =\nu {\nabla }^2{\partial }_t\varphi$. Две формулировки связаны калибровочным преобразованием и предсказывают одинаковые поля $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$.

18. Разложение ядро–внешняя область через индикаторную функцию

Вводим гладкую срезающую функцию $\chi (\mathbf{r})\in [0,1]$ с $\chi \approx 1$ в ядре ${\Omega }_0$ и $\chi \approx 0$ во внешней области ${\mathbb{R}}^3\setminus {\Omega }_0$. Разбиваем поля:

$$p=p_{\mathrm{ext}}+\chi p_{\mathrm{core}},\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{ext}}+\chi {\mathbf{u}}_{\mathrm{core}},\rho ={\rho }_0+{\rho }^{\prime }.$$

Производные, действующие на $\chi$, порождают граничные члены:

$$\nabla (\chi f)=\chi \nabla f+f\nabla \chi ,{\nabla }^2(\chi f)=\chi {\nabla }^{2}f+2\nabla \chi \cdot \nabla f+f{\nabla }^2\chi .$$

Все плотности источников ($\sigma$, $\mathbf{j}$) поэтому сосредоточены вблизи границы ядра ($\nabla \chi \ne 0$) и обращаются в нуль в дальней внешней области, где $\chi \approx 0$ и $\nabla \chi \approx 0$.

19. Модуль сдвига деформационной моды вихря Хилла

Применяем метод скачка давления к деформационной моде вихря Хилла и получаем нулевой результат: скачок радиального градиента давления через невозмущённую границу равен нулю, поэтому в приближении замороженного потока восстанавливающего давления не возникает и $G_{\mathrm{shape}}=0$. Это — условие равновесия свободной границы вихря Хилла, а не патология; ненулевая форм-упругость есть эффект второго порядка (перестройка течения ${\psi }^{(1)}$), в настоящей работе не вычисляемый. Символьная проверка формул ниже — calc_G_shape_check.py.

Фоновые скорости на границе. В сопутствующей системе отсчёта тангенциальная скорость непрерывна на $r=r_0$:

$$u_{\theta }{|}_{r_0}=\frac{3U}{2}\sin \theta \text{(с обеих сторон)},$$

однако её радиальная производная различается:

$$\frac{\partial u_{\theta }^{\mathrm{in}}}{\partial r}{|}_{r_0}=+\frac{6U}{r_0}\sin \theta ,\frac{\partial u_{\theta }^{\mathrm{out}}}{\partial r}{|}_{r_0}=-\frac{3U}{2r_0}\sin \theta .$$

Обе формулы следуют из дифференцирования внутренней функции тока ${\psi }_0^{\mathrm{in}}=\frac{3U}{4r_0^2}{r}^2(r_0^2-r^2){\sin }^2\theta$ и внешней функции тока ${\psi }_0^{\mathrm{out}}=\frac{U}{2}(r_0^3/r-r^2){\sin }^2\theta$.

Знак интеграла Бернулли. Для стационарного осесимметричного течения тождество $\nabla H=\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }$ ($H=p/\rho +\frac{1}{2}|\mathbf{u}{|}^2$) даёт $dH/d\psi =-{\omega }_{\phi }/\varpi$ (Бэтчелор [5], §7.5), где $\varpi =r\sin \theta$. Для вихря Хилла ${\omega }_{\phi }=k\varpi$ с $k=15U/2r_0^2$, поэтому интеграл Бернулли идёт со знаком минус:

$$p_{\mathrm{in}}+\frac{1}{2}\rho |\mathbf{u}{|}^2=-\rho k{\psi }_0^{\mathrm{in}}+C_{\mathrm{in}},p_{\mathrm{out}}+\frac{1}{2}\rho |\mathbf{u}{|}^2=C_{\mathrm{out}}.$$

Скачок радиального градиента давления равен нулю. На границе $r=r_0$ (линия тока, $u_r=0$) радиальная компонента баланса импульса сводится к центробежному балансу ${\partial }_{r}p=\rho u_{\theta }^2/r_0$; поскольку $u_{\theta }=\frac{3U}{2}\sin \theta$ непрерывна (65), градиент одинаков с обеих сторон:

$$\frac{\partial p_{\mathrm{in}}}{\partial r}{|}_{r_0}=\frac{\partial p_{\mathrm{out}}}{\partial r}{|}_{r_0}=+\frac{9\rho U^2}{4r_0}{\sin }^2\theta .$$

(То же значение $+9/4$ для внутренней стороны даёт и прямой счёт с верным знаком (67): ${\partial }_r{p}_{\mathrm{in}}=-\rho k{\partial }_r{\psi }_0^{\mathrm{in}}-\rho u_{\theta }{\partial }_r{u}_{\theta }^{\mathrm{in}}=+45/4-36/4=+9/4$ в единицах $\rho U^2{r}_0^{-1}{\sin }^2\theta$; ранее напечатанное $-81/4$ воспроизводится лишь при ошибочном $+k\psi$.) Скачок нулевой, поэтому восстанавливающее давление на деформированной границе $\delta r=\epsilon r_0{P}_2(\cos \theta )$ обращается в нуль:

$$\delta p=\epsilon r_0{P}_2(\cos \theta ){\left[\frac{\partial p_{\mathrm{in}}}{\partial r}-\frac{\partial p_{\mathrm{out}}}{\partial r}\right]}_{r_0}=0⟹E^{(2)}=0⟹\boxed{G_{\mathrm{shape}}=0.}$$

Смысл нулевого результата. Обнуление — условие равновесия свободной границы невозмущённого вихря Хилла: перемещение границы в замороженном фоне не создаёт восстанавливающего давления. Ненулевой статический модуль формы есть эффект второго порядка по деформации, задаваемый возмущённой функцией тока ${\psi }^{(1)}$ (перестройкой течения), которая здесь не вычисляется; его знак не гарантирован — вихрь Хилла неустойчив к вытянутым осесимметричным возмущениям (Моффатт и Мур [6]). Поэтому метод скачка давления не даёт положительного $G_{\mathrm{shape}}$; статическую сдвиговую жёсткость среды в размерной оценке $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$ (раздел 2) несёт коллективное натяжение губки $G_{\mathrm{coll}}$ либо она остаётся структурным требованием модели (раздел 11), а точный одноядерный вклад формы отнесён к открытым задачам.

Сжимаемая поправка (ненулевой механизм). Нуль выше — свойство замороженного несжимаемого приближения. В сжимаемой модели граница ядра есть скачок плотности (кор,$\leftrightarrow$,губка, ${\rho }_{\mathrm{core}}\gg {\rho }_0$), лежащий в центростремительном поле давления свирла (${\partial }_{\varpi }p=\rho v_{\phi }^2/\varpi$); смещение границы на $d$ в этом градиенте даёт восстанавливающее $\delta p\sim {\rho }_{\mathrm{core}}{v}^{2}d/r_0$, то есть ненулевой модуль формы

$$G_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}\sim {\rho }_{\mathrm{core}}{v}^2\sim {\rho }_{\mathrm{core}}{\Gamma }_{\phi }^2/r_0^2\ne 0$$

(счёт calc_ compressible_ throughflow.py). Это та же размерность $G\sim \rho {\Gamma }^2/r_0^2$, но с механизмом (интерфейс плотности в поле свирла), а не как эффект второго порядка; знак (восстанавливающий) правдоподобен, но требует полного погранслойного расчёта. Вклад лежит в чётном (механическом) секторе и с нечётным источником заряда не смешивается. Для бессвирловых элементов фоновой губки (${\Gamma }_{\phi }=0$) поправка обращается в нуль, поэтому статическую жёсткость среды по-прежнему несёт коллективное натяжение (§2); $G_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}$ — свойство заряженного кора, не фона.

Угловой интеграл (справка). Если бы скачок был ненулевым, энергия деформации содержала бы ${\int }_{-1}^1(1-{\mu }^2)P_2^{2}d\mu =\frac{2}{5}-\frac{22}{105}=\frac{4}{21}$; здесь ${\int }_{-1}^1{\mu }^2{P}_2^{2}d\mu =22/105$ (не $2/7$), что согласуется с собственным разложением ${\mu }^2{P}_2=\frac{12}{35}{P}_4+\frac{11}{21}{P}_2+\frac{2}{15}{P}_0$ ($\frac{11}{21}\cdot \frac{2}{5}=\frac{22}{105}$). Это дало бы коэффициент $9/35$, а не $27/175$; при нулевом скачке (69) вопрос несуществен.

20. Отвергнутые и конкурирующие маршруты к кулоновскому источнику

Здесь собраны маршруты, которые модели не удовлетворяют; в основном тексте оставлены лишь их результаты-указатели.

Инерционное напряжение хирального источника не даёт (формальная стена). Точное тождество для несжимаемого течения — ${\nabla }^2(p^{\prime }/{\rho }_0)=-{\partial }_i{\partial }_j(u_i{u}_j)$ (лайтхилловская форма): источник давления есть двойная дивергенция, так что его монопольный и дипольный моменты равны нулю (ведущий мультиполь — квадруполь, $p^{\prime }\sim 1/r^3$), и, что решает дело, тензор ${\partial }_i{\partial }_j(u_i{u}_j)$ не содержит члена $\mathbf{u}\cdot \mathbf{\omega }$. Нечётный (хиральный) источник поэтому не рождается ни из какого инерционного (рейнольдсова) напряжения — маршруты Рейнольдса, Лэмба, Крокко и Лайтхилла закрыты как доказанный тупик, а не «обойдены». Это же тождество — правильный способ не замыкать ${\nabla }^2\varphi =-\sigma /{\rho }_0$ рукой: источник давления сорсится реальным потоком, а не вставляется. Отсюда вывод основного текста: источник заряда структурен (конститутивный модуль сжатого кора), а не кинематичен.

Две ветви поиска источника сходятся на одной стене. Отдельное исследование (записка COULOMB_ FROM_ SWIRL_ru.md) показало, что оба независимых маршрута к кулоновскому источнику — статический (модуль-$\chi$) и динамический (спиральностная эмиссия) — сходятся на одной стене: спонтанном нарушении чётности плотного кора (замороженная закрутка $\tau (r)\ne 0$) со знаком, залоченным на кольцевую $\Gamma$. Один и тот же невыведенный кусок — существование и знак $\tau$ — есть вопрос уравнения состояния сжатого кора (D-кор, статья A3). Дальнейшие атаки на уровне A1 бесполезны: обе ветви упёрлись в одну точку.

Конкурирующая ветвь силы даёт магнитный знак (отвергнута). В §5.7 сила между зарядами получена из энергии спиральности при выпуклом (энергетическом) замыкании (тейлор-релаксация, $\kappa >0$), дающем кулоновский знак. Конкурирующее замыкание — фиксированный ток (амперовский предел) — дало бы магнитный знак (параллельные петли притягиваются), неверный для заряда. Масштаб $1/r^2$ у обеих ветвей одинаков; различает их лишь знак, а выбор энергетической ветви над токовой опирается на структуру сжатого кора (то же место, что и источник).

Литература

1. M. J. M. Hill, «On a spherical vortex,» Phil. Trans. R. Soc. London A 185, 213–245 (1894).
2. H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1932.
3. J. Norbury, «A family of steady vortex rings,» J. Fluid Mech. 57, 417–431 (1973).
4. P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
5. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1967.
6. H. K. Moffatt and D. W. Moore, «The response of Hill’s spherical vortex to a small axisymmetric disturbance,» J. Fluid Mech. 87, 749–760 (1978).
7. H. Helmholtz, «{“U}ber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen,» J. reine angew. Math. 55, 25–55 (1858).
8. R. M. Christensen, Theory of Viscoelasticity: An Introduction, Academic Press, New York, 1971.
9. J. C. Maxwell, «On physical lines of force,» Phil. Mag. 21, 161–175, 281–291, 338–348 (1861); 23, 12–24, 85–95 (1862) [части III–IV, ток смещения].
10. O. Heaviside, Electrical Papers, Macmillan, London, 1892.
11. W. Thomson (Lord Kelvin), «On vortex atoms,» Phil. Mag. 34, 15–24 (1867).
12. A. Bokulich, «Maxwell, Helmholtz, and the unreasonable effectiveness of the method of physical analogy,» Stud. Hist. Philos. Sci. 50, 28–37 (2015).
13. O. Darrigol, Electrodynamics from Amp`ere to Einstein, Oxford University Press, Oxford, 2000.
14. J. MacCullagh, «An essay towards a dynamical theory of crystalline reflexion and refraction,» Trans. R. Irish Acad. 21, 17–50 (1848) [read 1839].
15. G. F. FitzGerald, «On a model illustrating some properties of the ether,» Sci. Proc. R. Dublin Soc. 4, 407–419 (1885).
16. E. T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, rev. ed., Nelson, London, 1951.
17. H. Marmanis, «Analogy between the Navier–Stokes equations and Maxwell’s equations: Application to turbulence,» Phys. Fluids 10, 1428–1437 (1998).
18. T. Kambe, «A new formulation of equations of compressible fluids by analogy with Maxwell’s equations,» Fluid Dyn. Res. 42, 055502 (2010).
19. S. Panakkal, R. Parameswaran, and M. Vedan, «A geometric algebraic approach to fluid dynamics,» Phys. Fluids 32, 056604 (2020).
20. H. K. Moffatt, «The degree of knottedness of tangled vortex lines,» J. Fluid Mech. 35, 117–129 (1969).
21. H. K. Moffatt, «Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrarily complex topology. Part 1. Fundamentals,» J. Fluid Mech. 159, 359–378 (1985).
22. K. Hu, «The analogy between electromagnetics and hydrodynamics,» arXiv:2207.12902 (2022).
23. J. Ho, H. Kim et al., «Electromagnetism from relativistic fluid dynamics,» arXiv:2502.10445 (2025).
24. V. K. Tkachenko, «On vortex lattices,» Sov. Phys. JETP 22, 1282–1286 (1966).
25. V. K. Tkachenko, «Elasticity of vortex lattices,» Sov. Phys. JETP 29, 945–946 (1969).
26. W. Thomson (Lord Kelvin), «On the propagation of laminar motion through a turbulently moving inviscid liquid,» Phil. Mag. 24, 342–353 (1887).
27. J. Larmor, «On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium. Part III: Relations with material media,» Phil. Trans. R. Soc. A 190, 205–300 (1897).
28. H. A. Lorentz, «Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light,» Proc. R. Neth. Acad. Arts Sci. 6, 809–831 (1904).
29. R. Mansouri and R. U. Sexl, «A test theory of special relativity,» Gen. Relativ. Gravit. 8, 497–513 (1977).
30. A. A. Michelson and E. W. Morley, «On the relative motion of the Earth and the luminiferous ether,» Am. J. Sci. 34, 333–345 (1887).
31. A. A. Michelson and H. G. Gale, «The effect of the Earth’s rotation on the velocity of light, II,» Astrophys. J. 61, 140–145 (1925).
32. M. Nagel, S. R. Parker, E. V. Kovalchuk et al., «Direct terrestrial test of Lorentz symmetry in electrodynamics to $10^{-18}$,» Nat. Commun. 6, 8174 (2015).
33. B. Botermann et al., «Test of time dilation using stored Li${}^{+}$ ions as clocks at relativistic speed,» Phys. Rev. Lett. 113, 120405 (2014).
34. L. Woltjer, «A theorem on force-free magnetic fields,» Proc. Nat. Acad. Sci. USA 44, 489–491 (1958).
35. J. B. Taylor, «Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic fields,» Phys. Rev. Lett. 33, 1139–1141 (1974).
36. G. C\u{a}lug\u{a}reanu, «Sur les classes d’isotopie des n\oe uds tridimensionnels et leurs invariants,» Czechoslovak Math. J. 11, 588–625 (1961).
37. J. H. White, «Self-linking and the Gauss integral in higher dimensions,» Amer. J. Math. 91, 693–728 (1969).
38. F. B. Fuller, «The writhing number of a space curve,» Proc. Nat. Acad. Sci. USA 68, 815–819 (1971).
39. H. K. Moffatt and R. L. Ricca, «Helicity and the C\u{a}lug\u{a}reanu invariant,» Proc. R. Soc. Lond. A 439, 411–429 (1992).
40. D. Kleckner and W. T. M. Irvine, «Creation and dynamics of knotted vortices,» Nature Physics 9, 253–258 (2013).
41. M. W. Scheeler, D. Kleckner, D. Proment, G. L. Kindlmann, and W. T. M. Irvine, «Helicity conservation by flow across scales in reconnecting vortex links and knots,» Proc. Nat. Acad. Sci. USA 111, 15350–15355 (2014).
42. M. W. Scheeler, W. M. van Rees, H. Kedia, D. Kleckner, and W. T. M. Irvine, «Complete measurement of helicity and its dynamics in vortex tubes,» Science 357, 487–491 (2017).
43. G. Bressi, G. Carugno, F. Della Valle, G. Galeazzi, G. Ruoso, and G. Sartori, «Testing the neutrality of matter by acoustic means in a spherical resonator,» Phys. Rev. A 83, 052101 (2011).
44. R. Hofstadter, «Electron scattering and nuclear structure,» Rev. Mod. Phys. 28, 214–254 (1956).
45. W. F. Vinen, «The detection of single quanta of circulation in liquid helium II,» Proc. R. Soc. Lond. A 260, 218–236 (1961).
46. G. W. Rayfield and F. Reif, «Quantized vortex rings in superfluid helium,» Phys. Rev. 136, A1194–A1208 (1964).
47. L. Onsager, «Statistical hydrodynamics,» Nuovo Cimento 6, Suppl. 2, 279–287 (1949).
48. R. P. Feynman, «Application of quantum mechanics to liquid helium,» in Progress in Low Temperature Physics, vol. 1, ed. C. J. Gorter, North-Holland, Amsterdam, 1955, pp. 17–53.
49. R. J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
50. E. B. Sonin, «Vortex oscillations and hydrodynamics of rotating superfluids,» Rev. Mod. Phys. 59, 87–155 (1987).
51. I. Coddington, P. Engels, V. Schweikhard, and E. A. Cornell, «Observation of Tkachenko oscillations in rapidly rotating Bose–Einstein condensates,» Phys. Rev. Lett. 91, 100402 (2003).
52. G. Baym, «Tkachenko modes of vortex lattices in rapidly rotating Bose–Einstein condensates,» Phys. Rev. Lett. 91, 110402 (2003).
53. G. G. Stokes, «On the aberration of light,» Phil. Mag. 27, 9–15 (1845).
54. G. B. Airy, «On the supposed alteration in the amount of astronomical aberration of light, produced by the passage of the light through a considerable thickness of refracting medium,» Proc. R. Soc. Lond. 20, 35–39 (1871).
55. H. A. Lorentz, «De l’influence du mouvement de la terre sur les ph’enom`enes lumineux,» Arch. N’eerl. Sci. 21, 103–176 (1886).
56. W. G. Unruh, «Experimental black-hole evaporation?,» Phys. Rev. Lett. 46, 1351–1353 (1981).
57. C. Barcel’o, S. Liberati, and M. Visser, «Analogue gravity,» Living Rev. Relativity 8, 12 (2005).
58. G. E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet, Oxford University Press, Oxford, 2003.
59. Д. Лосинец, «Среда: онтология, паспорт и метод механической программы» (A0 — основания серии: пять тезисов, паспорт среды с провенансом каждого числа, метод эффективной теории); Zenodo.
60. Д. Лосинец, «Уравнения Максвелла из вихревой механики: аналогия на основе модели Кельвина–Фойгта» (A1 — канон Т1: словарь $\mathbf{u}\leftrightarrow \mathbf{A}$, заряд-циркуляция, два сектора); Zenodo, doi:10.5281/zenodo.19135635.
61. Д. Лосинец, «Гравитация и электромагнетизм как два отклика одного вихря: гидродинамическая модель квантового вакуума» (A2 — канон Т4: полевая статика продольного сектора, приталкивание, узор-дрейф; «река» Пенлеве–Гулстранда — ближняя зона; шов); Zenodo.
62. Д. Лосинец, «Магнитные моменты барионов в двухзонной модели вихря Кельвина–Фойгта» (A3 — канон ${\rho }_{\mathrm{core}}$: паспорт нуклона, зарядовая структура, магнитные моменты); Zenodo, doi:10.5281/zenodo.16934345.
63. Д. Лосинец, «Ядерное взаимодействие вихрей Хилла в сжимаемой среде Кельвина–Фойгта: плотностное поле нуклона, дейтрон и низкоэнергетическое $NN$-рассеяние» (A4); Zenodo.
64. Д. Лосинец, «Сложные ядра как соосные стеки вихрей Хилла: геометрия сборки Буртаева на языке вихревой среды Кельвина–Фойгта» (A5); Zenodo.
65. Д. Лосинец, «Квантовый слой из вихревой среды: замкнутый двухкомпонентный вихрь как механизм спина, магнитного момента и неопределённости» (A6 — канон Т2+Т3: квантование, ${\Gamma }_0=h/m$, спин-$\frac{1}{2}$, $g=2$, разделение кора и поля); Zenodo.
66. Д. Лосинец, «Вихревая модель фотона: программа экспериментальной проверки» (A7 — кольцо-часы, поперечный Доплер, поляризация); Zenodo, doi:10.5281/zenodo.17063624.
67. Д. Лосинец, «Специальная теория относительности как эмерджентная гидромеханика: $\gamma$-фактор, замедление времени и $E=m{c}^2$ как эффекты сжимаемого течения в поперечном секторе» (A8 — канон Т5); Zenodo.
68. Д. Лосинец, «Электрон и классы вихрей: лёгкий сектор механической программы» (A9); Zenodo.
69. Д. Лосинец, «Термодинамика вихревой среды: температура, энтропия и статус гравитационного цикла» (A10); Zenodo.
70. Д. Лосинец, «Космология вихревой среды: баланс стоков, рецикл и красное смещение» (A11); Zenodo.
71. Д. Лосинец, «Слабый сектор вихревой среды: распад как самоперешивка через собственную полость — константа Ферми из $\alpha$, рукость выброса и нейтрино как пакет полускрутки» (A12); Zenodo.