Моделирование сильного взаимодействия в рамках вихревого формализма Кельвина–Фойгта: качественное исследование

Дмитрий Лосинец · Апрель 2026

Аннотация. В рамках вихревого формализма Кельвина–Фойгта (К–Ф) Уравнения Максвелла из вихревой механики, Магнитные моменты барионов, в котором квантовый вакуум моделируется как вязкоупругая среда, поддерживающая компактные вихревые кольца типа Хилла, проводится качественное исследование сильного (ядерного) взаимодействия. Каждый нуклон представлен в виде двухзонного вихря Хилла — компактного вращательного ядра (радиус $r_c\sim 0,25\text{фм}$), окружённого безвихревой мантией (внешний радиус $r_m\sim 1,3\text{фм}$), — параметры которого зафиксированы по данным рассеяния электронов на распределении заряда нуклона Магнитные моменты барионов. Взаимодействие двух нуклонов моделируется как сила давления, испытываемая одним вихрем Хилла в поле скорости, создаваемом другим. Показано, что данное взаимодействие естественным образом воспроизводит ключевые качественные черты ядерных сил: притяжение на средних расстояниях ($\sim 1$–$2\text{фм}$) от потока безвихревой мантии, отталкивание на малых расстояниях («жёсткое ядро» при $r\lesssim 2r_c$) за счёт упругой восстанавливающей силы К–Ф-среды при перекрытии вихревых ядер, а также тензорную поправку с угловой структурой $3{\cos }^2\theta -1$, возникающую из меридионального внешнего течения вихря Хилла. Впервые в рамках данной программы установлена систематическая связь между хиральностью вихря (знаком циркуляции мантии ${\Gamma }_m$) и спином нуклона, что даёт самосогласованную таблицу спиновых состояний протона/нейтрона и спин-зависимое взаимодействие, структурно согласующееся со знаковым соглашением К–Ф из Магнитные моменты барионов. Из перекрёстного члена Бернулли между орбитальной скоростью одного нуклона и азимутальным полем другого без дополнительных постулатов выведена спин-орбитальная сила со стандартной структурой $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$ и тем же угловым множителем $1/{\sin }^2\theta$, что и у центральной силы. Интегральные межнуклонная сила и потенциал получены с помощью теоремы Факсена; масштаб взаимодействия задаётся объёмом мантии $V_m=\frac{4}{3}\pi r_m^3$. Выявлены три механизма насыщения: геометрическое ограничение числа координационных связей, давление энстрофии $P_{\mathrm{enstr}}\propto n$ и топологический запрет взаимопроникновения ядер; вклад Ферми-газа (Паули) требует квантования угловых моментов вихрей. Далее показано, что трёхмерная решётка Ткаченко К–Ф-вакуума, имеющая щель за счёт линейного натяжения вихревых колец (с явным выводом щелевой частоты из энергетики линейного натяжения), экранирует степенной закон взаимодействия в экспоненциальный тип Юкавы; получающаяся длина экранирования ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$ согласуется с комптоновской длиной волны пиона ${\lambda }_{\pi }\approx 1,4\text{фм}$ на уровне $\sim 30\%$ при $\ell \approx r_m$. Сформулированы четыре экспериментальных предложения. Подгонка количественных параметров выходит за рамки настоящей работы.

Введение

В работе Уравнения Максвелла из вихревой механики была установлена формальная механическая аналогия уравнений Максвелла в рамках вязкоупругого формализма Кельвина–Фойгта (К–Ф). Квантовый вакуум рассматривается как несжимаемая К–Ф-среда, поддерживающая компактные вихревые кольца типа Хилла. Модуль сдвига $G={\rho }_0{\Gamma }^2/(4\pi r_0^2)$, задаваемый обратной реакцией Ткаченко между вихревыми кольцами, наделяет среду волнонесущей упругостью. Электрический заряд отождествляется с инвариантом циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$, и все четыре уравнения Максвелла возникают как точные следствия конститутивного закона К–Ф Уравнения Максвелла из вихревой механики. Программа экспериментальных предложений для полученной модели вихревого фотона изложена в Вихревая модель фотона.

В работе Магнитные моменты барионов данный формализм был распространён на структуру нуклона: каждый нуклон моделируется двухзонным вихрем Хилла (внутреннее ядро $r_c\sim 0,25\text{фм}$, безвихревая мантия $r_m\sim 1,3\text{фм}$); условие равенства зарядов даёт безпараметрическое предсказание отношения магнитных моментов.

Недавние экспериментальные свидетельства тороидальной электрической дипольной моды в ${}^{58}$Ni [1] предоставляют непосредственную мотивацию для вихревой картины ядерной структуры.

Цель настоящей статьи — распространить данную программу на сильное (ядерное) взаимодействие. Мы ставим задачу показать, что качественные черты ядерных сил — притяжение на средних расстояниях, жёсткое ядро на малых расстояниях, спиновая зависимость и насыщение — естественным образом вытекают из взаимодействия вихрей Хилла в К–Ф-среде. Особое внимание уделяется физическому механизму отталкивания жёсткого ядра, которое в данном формализме обеспечивается упругой восстанавливающей силой К–Ф-среды, а не искусственной модификацией профиля скорости.

Раздел «Формализм К–Ф и модель нуклона» вводит модель К–Ф и двухзонный нуклон. Раздел «Межнуклонная сила: полный расчёт» представляет полную межнуклонную силу посредством теоремы Бернулли, естественно порождающей как азимутальное притяжение, так и тензорную поправку; раздел «Экранирование решёткой Ткаченко и спадание типа Юкавы» показывает, как фоновая решётка Ткаченко экранирует степенной закон взаимодействия в экспоненциальный тип Юкавы. Раздел «Короткодействующее отталкивание: упругий механизм К–Ф» выводит отталкивание жёсткого ядра из упругого механизма К–Ф. Раздел «Спиновая зависимость и геометрические эффекты» обсуждает спиновую зависимость и насыщение. Раздел «Предлагаемые экспериментальные проверки» формулирует экспериментальные предложения. Раздел «Заключение» содержит заключение.

Формализм К–Ф и модель нуклона

Среда Кельвина–Фойгта и управляющие уравнения

Формализм К–Ф Уравнения Максвелла из вихревой механики рассматривает квантовый вакуум как несжимаемую вязкоупругую среду с плотностью ${\rho }_0$, модулем сдвига $G$ и динамической вязкостью ${\eta }_0$, подчинённую конститутивному закону ${\mathbf{\sigma }}^{\prime }=G\mathbf{\epsilon }+{\eta }_0\dot{\mathbf{\epsilon }}$. Вне компактного вихревого ядра линеаризованный режим сводит это к стационарному несжимаемому течению Эйлера; теорема Бернулли тогда непосредственно даёт давление через поле скорости и служит отправной точкой для всех расчётов сил в разделе «Межнуклонная сила: полный расчёт».

Двухзонный нуклон на основе вихря Хилла

Следуя Магнитные моменты барионов, каждый нуклон моделируется сферическим вихрем Хилла с двумя гидродинамически различными зонами:

1. Ядро (радиус $r_c\sim 0,25\text{фм}$): вращательная область, $\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}\ne 0$, характеризуемая угловой скоростью ${\omega }_c$ и циркуляцией ${\Gamma }_c$.
2. Мантия (внешний радиус $r_m\sim 1,3\text{фм}$): безвихревая область, $\mathbf{\omega }=0$, несущая циркуляцию ${\Gamma }_m$ и упругую энергию К–Ф.

Заряд и магнитный момент каждой зоны равны

$$Q_i={\rho }_0{r}_i{\Gamma }_i,{\mu }_i={\rho }_0{V}_i({\omega }_i{r}_i{)}^2,$$

где $V_i\sim \frac{4}{3}\pi r_i^3$ — объём зоны Магнитные моменты барионов. Модуль сдвига К–Ф, связанный с ядром, равен

$$G\sim \frac{{\rho }_0{\Gamma }_c^2}{r_c^2},$$

и задаёт масштаб упругой восстанавливающей силы, обсуждаемой в разделе «Короткодействующее отталкивание: упругий механизм К–Ф».

Протон (${\Gamma }_c>0$, ${\Gamma }_m>0$, совращательный) и нейтрон (${\Gamma }_c<0$, ${\Gamma }_m>0$, ядро обращено) различаются хиральностью циркуляции ядра в соответствии со знаковым соглашением К–Ф из Магнитные моменты барионов.

Модель взаимодействия

Межнуклонная сила вычисляется в два шага, соответствующих двум физическим вкладам:

Центральная сила (ведущий член). Нуклон 1 создаёт азимутальное поле скорости ${\mathbf{u}}_1$. Нуклон 2 моделируется как компактная сфера радиуса $r_m$, погружённая в это внешнее потенциальное течение. По теореме Факсена для сферы в неоднородном безвихревом потоке [2] (§337), интегральная сила на нуклон 2 равна

$$\mathbf{F}=\frac{3}{2}{\rho }_0{V}_m\nabla \left(\frac{1}{2}{u}_1^2\right)=2\pi r_m^3{\rho }_0\nabla \left(\frac{1}{2}{u}_1^2\right),V_m=\frac{4}{3}\pi r_m^3.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Это сила на тело объёма $V_m$ (с присоединённой массой $\frac{1}{2}{V}_m$) в градиенте давления $-\nabla p=\frac{1}{2}{\rho }_0\nabla (u_1^2)$ из теоремы Бернулли.

Тензорная поправка (следующий по порядку член). Одновременно азимутальное поле нуклона 2 действует как набегающий поток со скоростью $v$ мимо компактного тела нуклона

1. Теория потенциального течения [3, 4] даёт дипольное отклонение $\delta \mathbf{u}$ этого потока телом нуклона 1 (уравнения (4) ниже), обратная реакция которого на нуклон 2 порождает тензорную поправку. Это взаимная перекрёстная связь, подавленная относительно центральной силы как $(r_m/r{)}^3\ll 1$ при $r\gtrsim r_m$.

Оба вклада справедливы при разделениях $r\gtrsim r_m$ (где применимо описание каждого нуклона как компактного тела). Плотность силы $\mathbf{f}=\mathbf{F}/(\frac{3}{2}{V}_m)$, вычисленная из (1), используется по всему разделу «Межнуклонная сила: полный расчёт» для краткости; явный множитель $\frac{3}{2}{V}_m=2\pi r_m^3$ восстанавливает интегральную силу при необходимости.

Межнуклонная сила: полный расчёт

Полное внешнее поле скорости

Поле скорости нуклона 1 (вихрь типа Хилла с радиусом мантии $r_m$) действует в двух радиальных областях:

Ближняя/промежуточная зона ($r_c<r\lesssim r_m$): поле линейного вихря. В этой зоне доминирует азимутальная компонента, хорошо аппроксимируемая бесконечным прямолинейным вихрем:

$$u_{\varphi }=\frac{u_0}{r\sin \theta },u_0=\frac{{\Gamma }_m}{2\pi }.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Поле ограничено снизу радиусом ядра $r_c$, сверху — $r_m$; при $\sin \theta \lesssim r_m/r$ (вблизи оси симметрии) данное приближение завышает $u_{\varphi }$, и следует использовать полное решение вихря Хилла.

Дальняя зона ($r\gtrsim r_m$): дипольное (кольцевой вихрь) поле. На расстояниях, превышающих радиус мантии, компактная кольцевая геометрия порождает спадание, характерное для магнитного диполя [4]:

$$u_r^{\mathrm{far}}=\frac{{\Gamma }_m{r}_m^2}{2}\frac{\cos \theta }{r^3},u_{\theta }^{\mathrm{far}}=\frac{{\Gamma }_m{r}_m^2}{4}\frac{\sin \theta }{r^3}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Это поле конечно на оси ($u_{\theta }^{\mathrm{far}}(\theta =0)=0$, $u_r^{\mathrm{far}}\propto 1/r^3$) и спадает как $1/r^3$ по скорости, поэтому соответствующая бернуллиева сила спадает как $\sim 1/r^7$ — значительно более крутое убывание, подчёркивающее короткодействующий характер ядерного взаимодействия.

Расчёт силы ниже (раздел «Сила из теоремы Бернулли») ведётся в ближней/промежуточной зоне, где применимо уравнение (2); дальняя зона обеспечивает естественную обрезку при $r>r_m$.

Меридиональная (тензорная) поправка. Азимутальное поле нуклона 2 действует как набегающий поток скоростью $v$ мимо компактного тела нуклона 1. Теория потенциального течения даёт дипольное отклонение [3, 4]:

$$\delta u_r=-v\cos \theta \frac{r_m^3}{r^3},\delta u_{\theta }=-v\sin \theta \frac{r_m^3}{2r^3},\text{\hspace{1em}(4)}$$

где $\theta$ отсчитывается от направления $v$. При параллельных осях симметрии $v$ равно скорости азимутального поля нуклона 2 в положении нуклона 1:

$$v=u_{\varphi }^{(2)}(r,\theta )=\frac{u_0}{r\sin \theta }.\text{\hspace{1em}(5)}$$

Относительный масштаб этой поправки — $(r_m/r{)}^3$: подавлен в дальнем поле, но порядка единицы при $r\sim r_m$.

Полный квадрат скорости снаружи равен

$$u^2=u_{\varphi }^2+u_r^2+u_{\theta }^2\approx \frac{u_0^2}{r^2{\sin }^2\theta }+v^2-\frac{v^2{r}_m^3}{r^3}(3{\cos }^2\theta -1)+O\left(\frac{r_m^6}{r^6}\right),\text{\hspace{1em}(6)}$$

где перекрёстный член $v^2{r}_m^3(3{\cos }^2\theta -1)/r^3$ возникает из связи $v^2\cdot (r_m/r{)}^3$ между фоновым потоком и меридиональной дипольной поправкой.

Сила из теоремы Бернулли

Поскольку внешнее течение безвихревое и несжимаемое, теорема Бернулли даёт давление непосредственно:

$$p=p_{\infty }-\frac{1}{2}{\rho }_0{u}^2.$$

Сила Факсена на нуклон 2 (уравнение (1)) равна $\mathbf{F}=2\pi r_m^3{\rho }_0\nabla (\frac{1}{2}{u}_1^2)$. Записывая $\mathbf{F}=\frac{3}{2}{V}_m\mathbf{f}$ с $\mathbf{f}={\rho }_0\nabla (\frac{1}{2}{u}^2)$ (плотность силы) и подставляя (6):

$$\boxed{f_r=\underset{f_r^{(0)}:\text{притяжение (азимутальный поток)}}{\underbrace{-\frac{{\rho }_0{u}_0^2}{r^3{\sin }^2\theta }}}+\underset{f_r^{(1)}:\text{тензорная поправка}}{\underbrace{\frac{3{\rho }_0{v}^2{r}_m^3}{2r^4}(3{\cos }^2\theta -1)}}}\text{\hspace{1em}(7)}$$ $$f_{\theta }=-\frac{{\rho }_0{u}_0^2\cos \theta }{r^3{\sin }^3\theta }+\frac{3{\rho }_0{v}^2{r}_m^3}{r^4}\sin \theta \cos \theta .\text{\hspace{1em}(8)}$$

Интегральные межнуклонная сила и потенциал получаются умножением $\mathbf{f}$ на $\frac{3}{2}{V}_m=2\pi r_m^3$ (предмножитель Факсена):

$$F_r^{(0)}=-\frac{2\pi {\rho }_0{r}_m^3{u}_0^2}{r^3{\sin }^2\theta },V^{(0)}(r,\theta )=-\frac{\pi {\rho }_0{r}_m^3{u}_0^2}{r^2{\sin }^2\theta },\text{\hspace{1em}(9)}$$ $$F_r^{(1)}=\frac{3\pi {\rho }_0{r}_m^6{u}_0^2}{r^6{\sin }^2\theta }(3{\cos }^2\theta -1),V^{(1)}(r,\theta )=-\frac{3\pi {\rho }_0{r}_m^6{u}_0^2}{5r^5{\sin }^2\theta }(3{\cos }^2\theta -1),\text{\hspace{1em}(10)}$$

где подставлено $v=u_0/(r\sin \theta )$ из (5). При $r=r_m$ отношение $|V^{(1)}|/|V^{(0)}|\sim (r_m/r{)}^3=1$: тензорная поправка того же порядка, что и центральный потенциал в зоне мантии, поэтому взаимодействие там сильно анизотропно.

Физическая интерпретация двух слагаемых

Ведущий член $f_r^{(0)}$: притяжение от азимутального потока. Азимутальная циркуляция создаёт дефицит давления, минимального вблизи оси вихря и убывающего радиально, втягивая нуклон 2 радиально внутрь с силой ${\rho }_0{u}_0^2/(r^3{\sin }^2\theta )$. Эта сила является притягивающей при всех углах (с усилением вблизи оси симметрии при $\sin \theta \to 0$) и убывает не медленнее $1/r^3$. Характерный масштаб этого притяжения — $r\sim r_m\sim 1,3\text{фм}$, что согласуется с эмпирически наблюдаемым радиусом действия ядерных сил [5]. Множитель $1/{\sin }^2\theta$ приводит к росту $f_r^{(0)}$ при $\theta \to 0$, что является следствием приближения линейного вихря, справедливого только в ближней/промежуточной зоне $r_c<r\lesssim r_m$ (раздел «Полное внешнее поле скорости»). В дальней зоне ($r\gtrsim r_m$) азимутальное поле переходит к дипольной форме (3), которая конечна на оси симметрии: $u_r^{\mathrm{far}}(\theta =0)\propto 1/r^3$, давая осевую бернуллиеву силу, направленную от вихря и спадающую как $\sim 1/r^7$, без особенности. Практическое правило: использовать (7) при $r_c<r\lesssim r_m$ и углах $\sin \theta \gtrsim r_m/r$; в остальных случаях использовать дипольное поле (3).

Следующий по порядку член $f_r^{(1)}$: тензорная сила. Меридиональная дипольная поправка даёт силу, пропорциональную $v^2(r_m/r{)}^3$, с угловой структурой $(3{\cos }^2\theta -1)$:

• При $\theta =0$ (нуклоны выровнены по оси, спин вдоль линии центров): $f_r^{(1)}=+3{\rho }_0{v}^2{r}_m^3/r^4>0$ — отталкивание.
• При $\theta =\pi /2$ (нуклоны рядом, спин перпендикулярен линии центров): $f_r^{(1)}=-3{\rho }_0{v}^2{r}_m^3/(2r^4)<0$ — дополнительный вклад притяжения.
• Обращается в нуль при ${\theta }^{\ast }=\arccos (1/\sqrt{3})\approx 54,7^{\circ }$.

Угловой множитель $3{\cos }^2\theta -1$ является оператором тензорной силы $S_{12}/2$ ядерной физики [5, 6]. Знаки соответствуют физической ядерной тензорной силе: дейтрон ($I=0$, $J=1$, параллельные спины) связан в конфигурации, при которой спины нуклонов перпендикулярны вектору разделения ($\theta =\pi /2$, экваториальная), где $f_r^{(1)}$ усиливает притяжение азимутального потока [6]. Отношение следующего по порядку члена к ведущему равно

$$\frac{|f_r^{(1)}|}{|f_r^{(0)}|}\sim {\left(\frac{v{r}_m}{u_0}\right)}^2\left(\frac{r_m}{r}\right)\stackrel{(5)}{\to }\frac{1}{{\sin }^2\theta }{\left(\frac{r_m}{r}\right)}^3\sim {\left(\frac{r_m}{r}\right)}^3\ll 1(r\gtrsim r_m,\theta \sim 1),$$

что подтверждает: тензорная сила является следующей по порядку, но физически значимой статической поправкой, присутствующей даже для нуклонов, покоящихся в К–Ф-среде.

Замечание (Область применимости при $r\sim r_m$). Формулы для силы (7)–(10) основаны на двух приближениях, оба из которых нарушаются при $r\sim r_m$. (i) Теорема Факсена. Уравнение (1) является ведущим членом градиентного разложения, следующая поправка которого составляет $O\left((r_m/r{)}^2\right)$; эта поправка достигает $\sim 40\%$ при $r=r_m$ и $\sim 25\%$ при $r=2r_m$. (ii) Суперпозиция скоростей. Квадрат скорости (6) учитывает $u_1^2$ и перекрёстный член $2{\mathbf{u}}_1\cdot \delta \mathbf{u}$, но отбрасывает $(\delta \mathbf{u}{)}^2\sim v^2(r_m/r{)}^6$; пренебрегаемый член имеет порядок $O(1)$ относительно $u_1^2$ при $r=r_m$ и спадает как $(r_m/r{)}^6$ при $r>r_m$. Следовательно, при $r\lesssim 1,5r_m$ числовые коэффициенты в $V^{(0)}$ и $V^{(1)}$ несут неопределённость $O(1)$. Знак силы (притяжение), масштаб взаимодействия $r_m$ и тензорная структура $(3{\cos }^2\theta -1)$ устойчивы к обеим поправкам.

Сравнение со спаданием Юкавы и роль конечной мантии. Притяжение $f_r^{(0)}\sim {\rho }_0{u}_0^2/r^3$ является степенным законом, тогда как эмпирический ядерный потенциал спадает по закону Юкавы $e^{-r/a}/r$ ($a\approx 1,4\text{фм}$, задаётся комптоновской длиной волны пиона). Приближение линейного вихря $u_{\varphi }=u_0/(r\sin \theta )$ справедливо в области мантии $r_c\lesssim r\lesssim r_m$, но нарушается при $r\gg r_m$, где вступает в силу компактная кольцевая геометрия. Для тороидального вихревого кольца радиуса $r_m$ компактная кольцевая геометрия переводит внешнюю скорость в меридиональное дипольное поле (3), спадающее как $1/r^3$; бернуллиева сила поэтому спадает как $f_r\sim {\rho }_0{u}_0^2{r}_m^4/r^7$ — значительно более быстрое убывание, эффективно ограничивающее взаимодействие областью $r\lesssim$ нескольких $\times r_m$, что согласуется с короткодействующим характером ядерных сил. Таким образом, конечный внешний радиус мантии $r_m$ выполняет роль естественной длины обрезки: режим степенного закона $\sim 1/r^3$ описывает область $r_c\lesssim r\lesssim r_m$, тогда как кольцевая вихревая геометрия подавляет взаимодействие на больших расстояниях. Более глубокий механизм — экранирование Ткаченко фоновой вакуумной вихревой решёткой — может преобразовать этот степенной хвост в экспоненциальный тип Юкавы при $r\gtrsim {\lambda }_{\mathrm{Tk}}$; это развивается в разделе «Экранирование решёткой Ткаченко и спадание типа Юкавы» ниже.

Экранирование решёткой Ткаченко и спадание типа Юкавы

В предшествующем анализе К–Ф-вакуум рассматривался как однородная среда. Более полный подход учитывает дискретную микроструктуру этого вакуума: фоновую решётку Ткаченко из вакуумных вихревых колец со средним шагом $\ell$ и циркуляцией ${\Gamma }_{\mathrm{vac}}$, из обратной реакции Био–Савара которых выводится модуль сдвига $G_{\mathrm{Tk}}={\rho }_0{\Gamma }_{\mathrm{vac}}^2/(4\pi {\ell }^2)$ Уравнения Максвелла из вихревой механики [7, 8].

Механизм экранирования. По мере распространения азимутального поля нуклона 1 $u_{\varphi }\sim {\Gamma }_m/(r\sin \theta )$ наружу через решётку оно смещает окружающие вакуумные вихревые кольца от их равновесных положений. Вследствие обратной реакции Ткаченко каждое смещённое кольцо создаёт поле противоциркуляции, частично компенсирующее исходное поле, — вихревой аналог экранирования Дебая в плазме. Этот коллективный процесс ослабляет поле на расстояниях, превышающих характерную длину экранирования ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$.

Щель в трёхмерном спектре Ткаченко. Для двумерной решётки бесконечных вихревых нитей моды Ткаченко являются бесщелевыми ($\omega \propto k$) [7, 8], обеспечивая неэкранированное (степенное) посредничество. Однако в трёхмерной вакуумной решётке компактных вихревых колец любое изменение радиуса кольца $\delta R$ требует работы против линейного натяжения вихря $T\sim {\rho }_0{\Gamma }_{\mathrm{vac}}^2\ln (\ell /r_0)$ [4]: $\delta E\sim T(2\pi \ell )(\delta R/\ell {)}^2$. Это придаёт моде $k=0$ ненулевую энергию, вводя щель

$${\omega }_0^2\sim \frac{T}{{\rho }_0{\ell }^3}=\frac{c_{\mathrm{Tk}}^2\ln (\ell /r_0)}{{\ell }^2},c_{\mathrm{Tk}}=\sqrt{G_{\mathrm{Tk}}/{\rho }_0},\text{\hspace{1em}(11)}$$

что даёт

$${\omega }_0\sim \frac{c_{\mathrm{Tk}}\sqrt{\ln (\ell /r_0)}}{\ell }.$$

Это прямой аналог щели Мейсснера в сверхпроводящей вихревой решётке, возникающий здесь из линейного натяжения, а не из конденсата.

Экранированный закон силы. Статическое поле смещения $\varphi$ среды Ткаченко со щелью удовлетворяет

$$\left(-c_{\mathrm{Tk}}^2{\nabla }^2+{\omega }_0^2\right)\varphi ={\delta }^3(\mathbf{r}),$$

а не уравнению Лапласа, статическая функция Грина которого является потенциалом Юкавы $\varphi (r)\propto e^{-r/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}}/r$ с длиной экранирования

$${\lambda }_{\mathrm{Tk}}=\frac{c_{\mathrm{Tk}}}{{\omega }_0}\sim \frac{\ell }{\sqrt{\ln (\ell /r_0)}}.$$

Введение этого экранирования в силу азимутального потока (7) даёт

$$f_r^{(0)}⟶-\frac{{\rho }_0{u}_0^2}{r^3{\sin }^2\theta }{e}^{-r/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}},$$

что сводится к неэкранированному степенному закону при $r\ll {\lambda }_{\mathrm{Tk}}$ и экспоненциально спадает при $r\gg {\lambda }_{\mathrm{Tk}}$. По тому же аргументу функции Грина $f_r^{(1)}$ приобретает тот же множитель $e^{-r/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}}$; поскольку после подстановки (5) он уже спадает как $r^{-6}$, это экспоненциальное подавление пренебрежимо мало при $r\gtrsim r_m$.

Связь с комптоновской длиной волны пиона. Эмпирический радиус Юкавы равен ${\lambda }_{\pi }=\hslash /(m_{\pi }c)\approx 1,4\text{фм}$ [5]. В самосогласованной картине, где $\ell \approx r_m$ и $r_0\approx r_c$, $\ell /r_0\approx r_m/r_c\approx 5,2$ Магнитные моменты барионов, что даёт ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx 1,3\text{фм}/\sqrt{\ln 5,2}\approx 1,0\text{фм}$. Это находится в пределах $\sim 30\%$ от ${\lambda }_{\pi }$, что согласуется с порядково-оценочным характером вычисления. В рамках интерпретации К–Ф комптоновская длина волны пиона является не следствием фундаментальной массы частицы, а обратной длиной экранирования вакуумной вихревой решётки со щелью.

Замечание (Статус этого аргумента). Вывод щели (11) основан на отождествлении моды линейного натяжения при $k=0$ в качестве доминирующего механизма щели; конкурирующие механизмы (например, отталкивание кольцо–кольцо на малых расстояниях) отброшены. Получающееся $\sim 30\%$-ное согласие между ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$ и ${\lambda }_{\pi }$ следует рассматривать как проверку согласованности на уровне порядка величин. Количественный вывод требует численного моделирования плотной трёхмерной вихревой решётки с перезамыканием и откладывается на будущую работу.

Короткодействующее отталкивание: упругий механизм К–Ф

Отталкивание жёсткого ядра ядерных сил является одной из наиболее характерных его черт: при разделениях $r\lesssim 0,5\text{фм}$ потенциал нуклон–нуклон нарастает очень круто, предотвращая коллапс ядра. В данном формализме это отталкивание возникает из физически обоснованного механизма — упругой восстанавливающей силы К–Ф-среды, — а не из модифицированного профиля скорости.

Происхождение: упругость К–Ф вихревого ядра

Ядро вихря типа Хилла поддерживается компактным за счёт точного баланса между внутренним давлением, индуцированным завихрённостью, и упругим откликом К–Ф-среды. В работе Уравнения Максвелла из вихревой механики показано, что смещение одного вихря Хилла на $|\mathbf{d}|$ от его равновесной формы изменяет само-взаимодействие Био–Савара, создавая возмущение давления $\delta p\sim {\rho }_0(\Gamma /r_0{)}^2|\mathbf{d}|/r_0$ и, следовательно, объёмную восстанавливающую силу $f_{\mathrm{elastic}}\sim \delta p/r_0\sim G|\mathbf{d}|/r_0^2$ при $G\sim {\rho }_0{\Gamma }^2/r_0^2$.

Тот же аргумент давления Био–Савара применим, когда ядро 2 внедряется в ядро 1 на глубину $d$: вторгающаяся завихрённость ядра 2 действует как дополнительное смещение поля скорости ядра 1 на $d$, наводя $\delta p\sim {\rho }_0({\Gamma }_c/r_c{)}^2(d/r_c)$ в ядре 1. Объёмная восстанавливающая сила на ядро 1 поэтому равна

$$f_{\mathrm{elastic}}\sim \frac{\delta p}{r_c}\sim \frac{{\rho }_0{\Gamma }_c^2}{r_c^4}d=G\frac{d}{r_c^2},G\sim \frac{{\rho }_0{\Gamma }_c^2}{r_c^2},\text{\hspace{1em}(12)}$$

направленная от ядра 2. Это прямое обобщение результата для одного вихря из Уравнения Максвелла из вихревой механики на геометрию взаимного взаимодействия; никаких дополнительных конститутивных предположений не требуется.

Перекрытие ядер и сила отталкивания

Когда два нуклона сближаются до расстояния $r<a\sim 2r_c\approx 0,5\text{фм}$, их вращательные ядра начинают перекрываться. Каждое ядро деформируется на величину $d\sim a-r$. К–Ф-среда сопротивляется этой деформации упругой силой (12), давая отталкивающую плотность силы

$$f_{\mathrm{rep}}\sim G\frac{a-r}{r_c^2}\sim \frac{{\rho }_0{\Gamma }_c^2}{r_c^4}(a-r),r<a,\text{\hspace{1em}(13)}$$

направленную от взаимодействующего нуклона. Эта сила:

1. по своей природе является отталкивающей (направлена наружу) ✓
2. нарастает по мере увеличения перекрытия ядер ✓
3. обращается в нуль при разделении $r=a\sim 2r_c$ ✓
4. обладает естественным масштабом жёсткого ядра $a\sim 2r_c\sim 0,5\text{фм}$, согласующимся с эмпирическими радиусами жёсткого ядра [5] ✓

Упругое отталкивание включается при $r=a=2r_c\approx 0,5\text{фм}$ и немедленно подавляет притяжение мантии. Количественно, используя условие равенства зарядов ${\Gamma }_c=(r_m/r_c){\Gamma }_m$:

$$\frac{f_{\mathrm{rep}}}{|f_r^{(0)}|}=4{\pi }^2{\left(\frac{r_m}{r_c}\right)}^2(2r_c-r)\frac{r^3}{r_c^4}\approx 84\text{при}r=1,99r_c,$$

нарастая до $\sim 10^3$ при более глубоком перекрытии. Таким образом, жёсткое ядро действует как практически ступенчатая стенка при $r=2r_c\approx 0,5\text{фм}$, согласующаяся с эмпирически наблюдаемым масштабом [5].

Взаимодействие полоидальных потоков и анизотропное жёсткое ядро

Внутри сферического вихря Хилла жидкость рециркулирует вдоль оси симметрии и возвращается меридионально к экватору. При осевом сближении ($\hat{d}\parallel \hat{\Omega }$) внутренние полоидальные струи обоих нуклонов сталкиваются лоб в лоб, добавляя вклад давления торможения

$$\delta f_{\mathrm{axial}}\sim \frac{{\rho }_0{U}_{\mathrm{jet}}^2}{r_c},U_{\mathrm{jet}}\sim {\Gamma }_c/r_c,$$

поверх (13); при экваториальном сближении ($\hat{d}\perp \hat{\Omega }$) этот вклад отсутствует. В итоге получается анизотропное жёсткое ядро с зависящим от ориентации эффективным радиусом

$$a_{\mathrm{eff}}(\Theta )\approx 2r_c+\delta a{\cos }^2\Theta ,\delta a\sim r_c,\text{\hspace{1em}(14)}$$

где $\Theta$ — угол между осью спина и линией центров. Поскольку ${\cos }^2\Theta =(S_{12}/2+1)/3$, анизотропия $\delta a{\cos }^2\Theta$ пропорциональна $S_{12}$ с точностью до изотропного сдвига, усиливая тензорную структуру раздела «Физическая интерпретация двух слагаемых» на малых расстояниях.

Спиновая зависимость и геометрические эффекты

Хиральность вихря и спин нуклона

В рамках формализма К–Ф Уравнения Максвелла из вихревой механики, Магнитные моменты барионов спин нуклона связан с хиральностью (знаком) его мантийной циркуляции ${\Gamma }_m$:

• Спин вверх ($S_z=+\frac{1}{2}$): ${\Gamma }_m>0$ (мантия вращается против часовой стрелки при взгляде вдоль $+z$).
• Спин вниз ($S_z=-\frac{1}{2}$): ${\Gamma }_m<0$ (мантия вращается по часовой стрелке).

Различие протон–нейтрон ортогонально спину: оно соответствует обращению циркуляции ядра (${\Gamma }_c\to -{\Gamma }_c$) при неизменной мантии, как зафиксировано знаковым соглашением К–Ф из Магнитные моменты барионов. Четыре получающихся состояния приведены в таблице 1.

Нуклон	Спин	${\Gamma }_c$	${\Gamma }_m$	$L_{\mathrm{tot}}$
Протон	$+\frac{1}{2}$	$+$	$+$	$+$
Протон	$-\frac{1}{2}$	$-$	$-$	$-$
Нейтрон	$+\frac{1}{2}$	$-$	$+$	$+$
Нейтрон	$-\frac{1}{2}$	$+$	$-$	$-$

Таблица 1. Состояния спина и изоспина в формализме К–Ф. Полный угловой момент $L_{\mathrm{tot}}\propto {\Gamma }_c{r}_c^3+{\Gamma }_m{r}_m^3$ определяется мантией ($r_m\gg r_c$) и имеет тот же знак, что и ${\Gamma }_m$, для обоих видов нуклонов. Флип спина обращает и ${\Gamma }_c$, и ${\Gamma }_m$; переход протон–нейтрон обращает только ${\Gamma }_c$.

Знак отождествления (какая хиральность соответствует спину вверх) является соглашением. Хиральность мантии обеспечивает также бинарную структуру $\pm$ спина-$\frac{1}{2}$, и требование, чтобы полный гидродинамический угловой момент равнялся $\hslash /2$, даёт условие согласованности на радиус мантии. Подставляя $Q_m={\rho }_0{\Gamma }_m{r}_m$ (условие равенства зарядов из Магнитные моменты барионов) и $L_{\mathrm{tot}}=C{\rho }_0{\Gamma }_m{r}_m^3$ с $C=4/15$ (твёрдотельное вращение в сфере) в $L_{\mathrm{tot}}=\hslash /2$, получаем

$$r_m={\left(\frac{\hslash }{2C{\rho }_0{\Gamma }_m}\right)}^{1/3},C=\frac{4}{15}.\text{\hspace{1em}(15)}$$

Вычисление (15) при ${\Gamma }_m=Q_m/({\rho }_0{r}_m)$ и $Q_m=e/2$ должно воспроизводить $r_m\approx 1,3\text{фм}$; эта проверка отложена на последующую статью.

Замечание о зарядовой независимости. Ведущее азимутальное притяжение $f_r^{(0)}$ зависит от ${\Gamma }_m$, который положителен для обоих нуклонов — протона и нейтрона. Следовательно, дальнодействующая часть взаимодействия одинакова для пар $pp$, $nn$ и $pn$ — в согласии с эмпирической почти-зарядовой независимостью ядерных сил. Короткодействующее отталкивание жёсткого ядра (13) зависит от ${\Gamma }_c^2$ и поэтому одинаково для пар $pp$ и $nn$ (поскольку условие равенства зарядов из Магнитные моменты барионов влечёт $|{\Gamma }_c^{(p)}|=|{\Gamma }_c^{(n)}|$), однако взаимодействие между ядрами противоположной хиральности (пары $pn$) может отличаться на очень малых расстояниях. В частности, таблица 1 показывает, что для пары $pn$ с параллельными спинами мантии являются со-вращательными (${\Gamma }_m^{(p)}{\Gamma }_m^{(n)}>0$), тогда как ядра — встречно-вращательными (${\Gamma }_c^{(p)}{\Gamma }_c^{(n)}<0$): взаимодействие ядро–ядро при $r<2r_c$ качественно отличается от со-вращательного случая ($pp$ или $nn$), порождая несколько более мягкое жёсткое ядро для $pn$-пар в спиновом триплете. Это небольшое нарушение зарядовой независимости при $r\lesssim 2r_c$ является предсказанием модели, проверяемым, в принципе, путём сравнения фазовых сдвигов $pp$, $nn$ и $np$ при высокой энергии.

Угловая зависимость взаимодействия

Формула для силы взаимодействия (7) была выведена для параллельных осей вихрей. Параллельные спины максимизируют азимутальное притяжение; антипараллельные спины частично компенсируют перекрёстные члены, ослабляя или обращая взаимодействие на промежуточных расстояниях; перпендикулярные оси порождают сильно анизотропную картину сил. Эта спиновая зависимость согласуется с наблюдаемыми спин-орбитальными и спин-спиновыми компонентами NN-потенциалов [9, 10].

Спин-орбитальная сила от связи орбитального потока

Спин-орбитальное взаимодействие возникает естественным образом из перекрёстной связи между орбитальной скоростью нуклона 2 и азимутальным полем нуклона 1, без каких-либо дополнительных постулатов помимо механизма Бернулли, уже используемого в разделе «Сила из теоремы Бернулли».

Когда нуклон 2 движется с мгновенной орбитальной скоростью ${\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}=\dot{\mathbf{r}}$, полная скорость среды в его положении равна ${\mathbf{u}}_1+{\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$. Теорема Бернулли тогда даёт перекрёстный член в давлении:

$$\delta p=-{\rho }_0{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}.$$

Доминирующее азимутальное поле нуклона 1 направлено вдоль ${\hat{\mathbf{\varphi }}}_1=({\hat{S}}_1\times \hat{r})/\sin \theta$, азимутального единичного вектора вокруг оси спина ${\hat{S}}_1\equiv {\hat{\mathbf{\Omega }}}_1$. Используя $\mathbf{L}=m\mathbf{r}\times {\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$, проекция орбитальной скорости на ${\hat{\mathbf{\varphi }}}_1$ равна ${\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}\cdot {\hat{\mathbf{\varphi }}}_1=\mathbf{L}\cdot {\hat{S}}_1/(mr\sin \theta )$, поэтому перекрёстный член Бернулли принимает вид

$${\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}=\frac{u_0(\mathbf{L}\cdot {\mathbf{S}}_1)}{m{r}^2{\sin }^2\theta }.\text{\hspace{1em}(16)}$$

Соответствующая радиальная плотность силы равна

$$f_r^{(\mathrm{LS})}={\rho }_0\frac{\partial }{\partial r}\left({\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}\right)\approx -\frac{2{\rho }_0{u}_0(\mathbf{L}\cdot {\mathbf{S}}_1)}{m{r}^3{\sin }^2\theta }.\text{\hspace{1em}(17)}$$

Это имеет стандартную структуру $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$ и несёт тот же угловой множитель $1/{\sin }^2\theta$, что и центральная сила $f_r^{(0)}$: спин-орбитальный член является строгим кратным центральной силы с коэффициентом, пропорциональным $(\mathbf{L}\cdot {\mathbf{S}}_1)/(m{u}_{0}r)$. Отношение спин-орбитального члена к ведущему центральному равно

$$\frac{|f_r^{(\mathrm{LS})}|}{|f_r^{(0)}|}\sim \frac{2|\mathbf{L}\cdot \hat{S}|}{m{u}_{0}r}\sim \frac{\hslash }{m{u}_{0}r},$$

где в последней оценке использовано $|\mathbf{L}|\sim \hslash$ для низшей парциальной волны. Отношение $\sim 1/r$ даёт интегральный спин-орбитальный потенциал $V_{\mathrm{LS}}\propto 1/r^3$, согласующийся со стандартной ядерной формой спин-орбитального взаимодействия $(1/r)(d{V}_c/dr)$, применённой к центральному потенциалу $1/r^2$. Комбинация $\hslash /(m{u}_0)$ имеет размерность длины; её числовое значение в единицах К–Ф, с использованием отображения заряд–СИ из Уравнения Максвелла из вихревой механики, дало бы силу спин-орбитальной связи относительно центральной силы. Эта оценка отложена на будущую количественную работу.

Замечание (Спин-орбитальное взаимодействие для двух нуклонов). Уравнение (17) даёт связь орбитального движения со спином $S_1$ только нуклона 1. Полный двухнуклонный оператор $\mathbf{L}\cdot ({\mathbf{S}}_1+{\mathbf{S}}_2)$ получается симметризацией по обоим нуклонам: вклад от поля нуклона 2, действующего на орбитальное движение нуклона 1, получается заменой $1\leftrightarrow 2$ в (16).

Насыщение: три механизма в модели К–Ф

В многонуклонной системе насыщение энергии связи на нуклон возникает из трёх различных механизмов К–Ф.

1. Геометрическое насыщение. Каждый нуклон взаимодействует преимущественно с ближайшими соседями в пределах $\sim 2r_m$ (ограничено жёстким ядром) и $\sim {\lambda }_{\mathrm{Tk}}\sim \ell /\sqrt{\ln (\ell /r_0)}\approx 1,0\text{фм}$ (ограничено экранированием Ткаченко, раздел «Экранирование решёткой Ткаченко и спадание типа Юкавы»). При плотной упаковке координационное число составляет не более 12, ограничивая суммарную энергию связи на нуклон независимо от плотности [6].

2. Давление энстрофии. В ядре с числовой плотностью $n$ (нуклонов на единицу объёма) наложенные потоки мантий создают среднеквадратичную фоновую скорость $\overline{u^2}\sim n{\Gamma }_m^2/(4{\pi }^2{r}_m^2)$. По теореме Бернулли это порождает внутреннее давление отталкивания

$$P_{\mathrm{enstr}}\sim \frac{1}{2}{\rho }_0\overline{u^2}\sim \frac{{\rho }_{0}n{\Gamma }_m^2}{8{\pi }^2{r}_m^2},\text{\hspace{1em}(18)}$$

которое линейно нарастает с $n$ и сопротивляется дальнейшему сжатию. При равновесной ядерной плотности $n_0\approx r_m^{-3}$ это давление имеет порядок масштаба упругого давления К–Ф ${\rho }_0{\Gamma }_c^2/r_c^2$, внося вклад в баланс, определяющий плотность насыщения.

3. Топологический запрет. Два вихревых кольца с одинаковой хиральностью мантии (параллельные спины, таблица 1) не могут взаимопроникать без перезамыкания вихрей. В малотвязкой К–Ф-среде перезамыкание подавлено, что обеспечивает частичный классический аналог принципа запрета Паули для пар нуклонов с параллельными спинами.

Замечание о вкладе Паули. В картине оболочечной модели $\sim 40\%$ баланса энергии связи несёт давление кинетической энергии ферми-газа $P_F\propto n^{5/3}$, не имеющее прямого классического аналога. Давление энстрофии (18) масштабируется как $\sim n$, а не $n^{5/3}$, и может воспроизводить этот эффект лишь частично. Полный вклад Паули требует квантования угловых моментов вихрей — открытая проблема, откладываемая на будущую работу, — после чего квант циркуляции нуклона $\Gamma =nh/m_p$ наложил бы фермионную статистику на вихревые собственные состояния.

Предлагаемые экспериментальные проверки

Четыре эксперимента, предлагаемые ниже, дают фальсифицируемые проверки К–Ф-вихревой интерпретации ядерных сил.

Эксперимент 1: зависимость NN-рассеяния от ориентации спина

Модель К–Ф предсказывает, что NN-взаимодействие критически зависит от относительной ориентации осей вихрей: параллельные спины дают более сильное притяжение, антипараллельные — более слабую или обращённую радиальную силу. Установка: поляризованное упругое нейтрон-протонное рассеяние на PSI или SNS; сравнение $d\sigma /d\Omega$ для параллельной, антипараллельной и неполяризованной конфигураций при одинаковых энергиях. Ожидается: аномально большая спиновая асимметрия по сравнению со стандартными юкавовскими предсказаниями со спин-орбитальным взаимодействием [9, 10], свидетельствующая о геометрическом (выравнивание осей потока) происхождении спиновой зависимости.

Эксперимент 2: двухмасштабная сигнатура в рассеянии нуклон–нуклон

Двухзонная структура ($r_c$, $r_m$) должна порождать два различных масштаба наклона в зависимости амплитуды упругого NN-рассеяния от переданного импульса. Установка: подгонка $\mathcal{M}(t)=A_m{e}^{b_{m}t}+A_c{e}^{b_{c}t}$ к данным по $pp/p\bar{p}$ в диапазоне $0,01$–$5{\text{ГэВ}}^2$; сравнение подогнанного отношения $b_m/b_c$ с предсказанием К–Ф $(r_m/r_c{)}^2\approx 27$ Магнитные моменты барионов. Отметим, что это предсказание непосредственно следует из двухзонной геометрии и не зависит от теоремы Факсена; неопределённость $O(1)$ предмножителя Факсена при $r\sim r_m$ не влияет на $b_m/b_c$. Ожидается: двухкомпонентная структура наклонов; в существующих данных ISR/SPS/LHC уже содержатся намёки на это [11].

Эксперимент 3: поляризация $\Lambda$ как зонд завихрённости в столкновениях тяжёлых ионов

Если нуклоны являются вихревыми структурами, их циркуляции должны отпечатываться на макроскопической завихрённости КГП. Установка: анализ данных STAR/ALICE по поляризации $\Lambda$ [12] дифференциально по центральности и энергии; сравнение с (А) стандартной вязкой гидродинамикой и (Б) начальным состоянием К–Ф с завихрённостью $\propto {\sum }_i{\Gamma }_i$. Ожидается: при больших прицельных параметрах модель (Б) предсказывает более сильную корреляцию поляризация–плоскость реакции, чем (А) [13]; отклонения от (А) при промежуточных энергиях поддержали бы картину К–Ф ядерной структуры.

Эксперимент 4: тензорная асимметрия при больших переданных импульсах

Анизотропное жёсткое ядро (14) предсказывает, что короткодействующее отталкивание сильнее для осевой, чем для экваториальной спиновой конфигурации, — сверх того, что допускают потенциалы типа AV18 [14]. Установка: поляризованное $pp$-рассеяние при больших $|t|$ ($\gtrsim 1{\text{ГэВ}}^2$) с осевой и экваториальной осями квантования спина; вычисление асимметрии

$$\mathcal{A}(t)=\frac{(d\sigma /dt{)}_{\text{осевая}}-(d\sigma /dt{)}_{\text{экваториальная}}}{(d\sigma /dt{)}_{\text{осевая}}+(d\sigma /dt{)}_{\text{экваториальная}}}.$$

Ожидается: $|\mathcal{A}(t)|$ нарастает при $|t|\gtrsim 2{\text{ГэВ}}^2$ относительно модели с изотропным жёстким ядром, что доступно для проверки на LHC/TOTEM или будущем EIC.

Заключение

В рамках вихревого формализма Кельвина–Фойгта Уравнения Максвелла из вихревой механики, Магнитные моменты барионов в настоящей статье продемонстрировано, что основные качественные черты ядерных сил — притяжение на средних расстояниях, отталкивание жёсткого ядра на малых расстояниях, тензорная сила, спиновая зависимость и насыщение — естественным образом возникают из взаимодействия двух нуклонов типа вихря Хилла в К–Ф-среде (разделы «Межнуклонная сила: полный расчёт» — «Спиновая зависимость и геометрические эффекты»). Дополнительные результаты включают: интегральные межнуклонную силу и потенциал посредством теоремы Факсена (уравнение (1)); самосогласованную таблицу четырёх спиновых состояний (таблица 1), разрешающую хиральное различие протон–нейтрон; и скорректированную спин-орбитальную силу, несущую тот же угловой множитель $1/{\sin }^2\theta$, что и центральная сила. Следует отметить, что предмножитель Факсена в (1) несёт неопределённость $O(1)$ при $r\sim r_m$ (см. замечание «Область применимости при $r\sim r_m$»); для количественных результатов в этом режиме необходимо прямое интегрирование давления по поверхности. Ключевой особенностью настоящего подхода является замена произвольной модификации конечного ядра упругим механизмом К–Ф, выведенным из того же конститутивного закона, что и электромагнитная аналогия из Уравнения Максвелла из вихревой механики. Ещё одним результатом (раздел «Экранирование решёткой Ткаченко и спадание типа Юкавы») является то, что трёхмерная решётка Ткаченко К–Ф-вакуума — со щелью, обусловленной линейным натяжением вихревых колец (с явным выводом щелевой частоты из энергетики линейного натяжения, уравнение (11)), — экранирует степенной закон взаимодействия в экспоненциальный тип Юкавы с длиной экранирования ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\sim \ell /\sqrt{\ln (\ell /r_0)}$. Получающаяся ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$ согласуется с комптоновской длиной волны пиона ${\lambda }_{\pi }\approx 1,4\text{фм}$ на уровне $\sim 30\%$ при $\ell \approx r_m$; в рамках картины К–Ф комптоновская длина волны пиона является обратной длиной экранирования вихревой решётки вакуума со щелью. В разделе «Предлагаемые экспериментальные проверки» приведены четыре фальсифицируемых экспериментальных предложения. Количественные предсказания — требующие независимых оценок ${\Gamma }_c/{\Gamma }_m$ и численного моделирования двух вихрей — отложены на будущую работу; астрофизические ограничения из пульсарных скачков [15] могут обеспечить дополнительные независимые проверки параметров К–Ф-модели.

Литература

1. P. von Neumann-Cosel et al., Candidate Toroidal Electric Dipole Mode in the Spherical Nucleus Ni-58, Phys. Rev. Lett. 133, 232502 (2024).
2. H. Lamb, Hydrodynamics, 6-е изд., Cambridge University Press, Cambridge, 1932.
3. M. J. M. Hill, On a spherical vortex, Phil. Trans. R. Soc. London A 185, 213–245 (1894).
4. P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
5. R. Machleidt and I. Slaus, The nucleon–nucleon interaction, J. Phys. G 27, R69–R108 (2001).
6. J. M. Blatt and V. F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics, Wiley, New York, 1952.
7. В. К. Ткаченко, О вихревых решётках, ЖЭТФ 49, 1875–1883 (1966).
8. G. Baym, Tkachenko modes of vortex lattices in rapidly rotating Bose–Einstein condensates, Phys. Rev. Lett. 91, 110402 (2003).
9. H. P. Stapp, T. J. Ypsilantis, and N. Metropolis, Phase-shift analysis of 310-MeV proton-proton scattering experiments, Phys. Rev. 105, 302–310 (1957).
10. P. Kroll et al., On the spin dependence of the nucleon-nucleon interaction, AIP Conf. Proc. 41 (1977). inspirehep.net/literature/5633
11. U. Amaldi et al., The energy dependence of the proton-proton total cross-section for centre-of-mass energies between 23 and 53 GeV, Phys. Lett. B 66, 390–394 (1977).
12. Коллаборация STAR: L. Adamczyk et al., Global Λ hyperon polarization in nuclear collisions, Nature 548, 62–65 (2017). doi.org/10.1038/nature23004
13. Z.-T. Liang and X.-N. Wang, Globally polarized quark-gluon plasma in non-central A+A collisions, Phys. Rev. Lett. 94, 102301 (2005).
14. R. B. Wiringa, V. G. J. Stoks, and R. Schiavilla, Accurate nucleon-nucleon potential with charge-independence breaking, Phys. Rev. C 51, 38–51 (1995).
15. Z.-L. Tu and Z.-S. Li, Constraints on neutron star equations of state from pulsar glitch data, Phys. Rev. D (2025).