Вихревая модель фотона: программа экспериментальной проверки

Дмитрий Лосинец · Март 2026

Аннотация. В данной работе исследуется вихревая модель фотона как альтернативный подход к квантовой электродинамике (КЭД), основанный на формальной механической аналогии Кельвина–Фойгта (К–Ф) для уравнений Максвелла, строго выведенной в A1. Будучи математически согласованной с формализмом Джонса для поляризации в описании поперечных компонент дальнего поля, модель даёт отличительные, фальсифицируемые предсказания: ненулевое продольное механическое смещение элементов вакуумной среды в ближнем поле распространяющегося фотона-вихря, детектируемое на субволновых расстояниях от оси пучка. Распространяющаяся мода дальнего поля строго поперечна, как это требует калибровка Кулона, которую условие несжимаемости К–Ф накладывает точно. Соотношение Планка $E=n\hslash \omega$ получается как тождество ротора $E=\omega L$ при $L=\hslash$, в котором масштаб массы среды $m_{\mathrm{vac}}$ сокращается и остаётся свободным физическим коэффициентом; постоянство $c$ и поперечный эффект Доплера ${\nu }_0/\gamma$ следуют из механики кольца-часов (эмерджентная лоренц-инвариантность), а не из увлечения среды или торможения в полёте. Статья посвящена разработке критических экспериментов для проверки этих предсказаний: поиску ближнепольной продольной структуры поля и анализу переноса момента импульса при поглощении фотона. Результаты этих экспериментов позволят либо подтвердить модель, либо укрепить стандартные рамки КЭД.

1. Введение

Стандартная квантовая электродинамика (КЭД) является одной из наиболее точных и хорошо проверенных физических теорий, предсказания которой блестяще подтверждены экспериментально [1, 2]. Математический аппарат КЭД, основанный на концепции калибровочных полей, не имеет себе равных по предсказательной силе [3, 4]. Тем не менее его абстрактный характер и отсутствие интуитивных механических аналогий для описания квантовых объектов, в частности фотонов, продолжают стимулировать поиск альтернативных интерпретаций и моделей, способных перекинуть мост между математическим формализмом и интуитивным пониманием [5].

Настоящая работа исследует возможность механического описания фотонов в рамках вихревой модели квантового вакуума, систематически изложенной в A1. Фундаментальная основа этого подхода — строго установленная в A1 и вкратце изложенная ниже в разд. 2.1 — состоит в том, что разреженный ансамбль компактных вихревых колец в среде Кельвина–Фойгта (К–Ф) подчиняется уравнениям, формально тождественным уравнениям Максвелла. В частности, определяющий закон К–Ф в сочетании с несжимаемостью даёт соответствие между векторным потенциалом $\mathbf{A}$ и соленоидальным полем скоростей $\mathbf{u}$ среды (ур. (6)):

$$\mathbf{A}=R\mathbf{u},R\equiv {\tau }_{\mathrm{KV}}=\frac{{\eta }_0}{G},$$

где ${\eta }_0$ — динамическая вязкость среды, а $G\sim {\rho }_0{\Gamma }^2/r_0^2$ — эффективный модуль сдвига, возникающий из коллективной упругости жёсткой вихревой губки (ур. (2)). Постоянная преобразования $R$ равна времени механической релаксации К–Ф и в принципе измерима по гидродинамическим свойствам среды (ур. (4)).

Цель данной статьи — не опровергнуть КЭД, а показать, что рассматриваемая модель: (1) самосогласована в своих рамках — её математическое описание для поперечных компонент дальнего поля сводится к известному формализму Джонса для поляризации [6]; (2) механически обоснована — соответствие $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ выводится из определяющего закона К–Ф в A1; (3) отличается от стандартной теории принципиально проверяемыми предсказаниями, важнейшим из которых является существование ближнепольной продольной компоненты смещения вакуумной среды вблизи распространяющегося фотона на субволновых расстояниях от оси пучка [7, 8]; (4) фальсифицируема — предлагает конкретные эксперименты, результаты которых могут однозначно подтвердить или опровергнуть её ключевые постулаты [9].

Таким образом, работа посвящена разработке и описанию критических экспериментов для проверки данной гипотезы и количественной оценки её предсказаний [7, 8].

Место в единой картине. Настоящая работа — часть программы, в которой одна классическая среда (сжимаемый слабовязкий эфир, ${\rho }_0={\epsilon }_0=8,854\cdot 10^{-12}$ кг/м${}^3$) механически порождает все охваченные явления; фотон здесь — отклик той же вихревой среды, что даёт электромагнетизм. Программа держит пять принципов: (Т1) достаточность классической механики сплошной среды; (Т2) сохранение локальности и реализма; (Т3) допустимость далеко-засверхсветового, но конечного причинного взаимодействия через среду (продольный сектор $c_s\gg c$); (Т4) отсутствие искривления пространства-времени (гравитация — втекание среды, не геометрия); (Т5) реальность замедления процессов и сжатия/растяжения среды (лоренц-эфирная, эмерджентная лоренц-инвариантность). В данной статье все пять тезисов выступают входами, а не устанавливаются как канон: механическая среда, словарь $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$, заряд-циркуляция $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$, скорости $c$ и $c_s$ и эмерджентная лоренц-инвариантность (кольцо-часы, ненаблюдаемость кадра) берутся из работы по электромагнетизму A1 (канон Т1, Т5, число $c_s$); отождествление кванта циркуляции ${\Gamma }_0=h/m_{\mathrm{vac}}$ и причинный Белл-канал — из работы о квантовом слое (A6) A6 (канон Т2, Т3), к которой мы отсылаем за механизмом. Собственный вклад статьи — кольцевая модель фотона, поляризация как ориентация кольца и два фальсифицируемых предсказания.

Состав серии. Настоящая работа — A7 программы из двенадцати статей; краткие адреса A0–A11 используются далее по тексту как ссылки на них:

• A0 основания среды: онтология, паспорт, метод A0;
• A1 электромагнетизм как линейный отклик среды A1;
• A2 гравитация как квадратичный отклик и шов с ЭМ A2;
• A3 нуклон: строение, заряд, магнитный момент A3;
• A4 ядерное взаимодействие и дейтрон A4;
• A5 сложные ядра A5;
• A6 квантовый слой A6;
• A7 фотон A7 (эта статья);
• A8 специальная теория относительности A8;
• A9 электрон и классы вихрей A9;
• A10 термодинамика среды A10;
• A11 космология среды A11.

Дисциплина ссылок в серии: ссылка назад берёт названный результат ранней статьи как вход; ссылка вперёд — только указатель («механизм — в A6»), за нужным результатом она не отсылает. Канонический вывод каждой величины живёт ровно в одной статье, остальные берут её названным входом.

2. Теоретическая база

2.1 Краткое изложение механической аналогии Кельвина–Фойгта

Здесь собраны ключевые результаты A1, используемые на протяжении всей статьи; читатели, знакомые с этой работой, могут сразу перейти к разд. 2.2.

Вихревая губка и модуль сдвига. Плотная сеть компактных вихревых колец хиллового типа ведёт себя не как текучая жидкость и не как регулярная решётка, а как жёсткая вихревая губка: поперечная волна — коллективная упругая мода этой сети, а не колебание отдельного кольца, и дальний порядок для неё не требуется. Первичен вклад упругости формы ядра каждого кольца; регулярная вихревая решётка Ткаченко [10] служит лишь аналитически управляемым эталоном коллективного отклика. Оценка эффективного модуля сдвига по порядку величины:

$$G\sim \frac{{\rho }_0{\Gamma }^2}{r_0^2}(O(1)\text{-множитель}),$$

где числовой префактор порядка единицы фиксируется формой ядра и в дальнейшем не используется (строгий модуль формы $G_{\mathrm{shape}}=27{\rho }_0{\Gamma }^2/175r_0^2$ выведен в A1). В упругом пределе $\nu \to 0$ время релаксации К–Ф ${\tau }_{\mathrm{KV}}$ практически неограниченно, что и делает кольцо-фотон долгоживущим возбуждением жёсткой губки. Определяющее соотношение К–Ф для девиаторного напряжения:

$$\mathbf{\tau }=2G\mathbf{E}(\mathbf{d})+2{\eta }_0\mathbf{D}(\mathbf{u}),$$

где $\mathbf{d}$ — поле смещений, $\mathbf{u}={\partial }_t\mathbf{d}$ — поле скоростей, ${\eta }_0={\rho }_0\nu$ — динамическая вязкость. Скорость поперечных волн и время релаксации К–Ф:

$$c\equiv \sqrt{G/{\rho }_0},R\equiv {\tau }_{\mathrm{KV}}=\frac{{\eta }_0}{G}=\frac{\nu }{c^2}.$$

Волновое уравнение для векторного потенциала. Для соленоидального поля скоростей $\mathbf{u}$ (гарантируемого несжимаемостью $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$) подстановка определяющего закона К–Ф (3) в линеаризованное уравнение баланса импульса даёт затухающее уравнение поперечных волн:

$${\partial }_{tt}\mathbf{u}-c^2{\nabla }^2\mathbf{u}=\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{u}.$$

Электромагнитный векторный потенциал отождествляется с:

$$\mathbf{A}\equiv R\mathbf{u},$$

и $\mathbf{A}$ удовлетворяет тому же уравнению:

$${\partial }_{tt}\mathbf{A}-c^2{\nabla }^2\mathbf{A}=\nu {\nabla }^2{\partial }_t\mathbf{A}.$$

Это точное следствие определяющего закона К–Ф, а не дополнительное предположение.

Калибровка Кулона из несжимаемости. Поскольку $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ и $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ (несжимаемость):

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=R\nabla \cdot \mathbf{u}=0.$$

Условие калибровки Кулона выполняется тождественно как прямое следствие несжимаемой среды К–Ф, без наложения его вручную.

Инвариант циркуляции и гидродинамический заряд. По теореме Кельвина о циркуляции $\Gamma ={\oint }_C\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}$ вдоль любого контура, охватывающего вихревую трубку, сохраняется с точностью до $O(\delta )$, где $\delta =\nu /(cL)\ll 1$ — параметр вязкости. Гидродинамический заряд — инвариант циркуляции вихря:

$$Q\equiv {\rho }_0{r}_0\Gamma ,$$

знак которого фиксируется ориентацией контура $C$ по правилу правой руки. Квантование циркуляции ${\Gamma }_n=nh/m_{\mathrm{vac}}$ (число $n$ отражает дискретность электрического заряда) берётся здесь как эмпирический вход (Онсагер–Фейнман; эксперименты Vinen 1961, Rayfield–Reif 1964, см. A1); каноническое механическое отождествление кванта ${\Gamma }_0=h/m_{\mathrm{vac}}$ выводится в работе о квантовом слое программы, к которой мы отсылаем за механизмом.

2.2 Электромагнитные потенциалы и калибровка Кулона

В калибровке Кулона ($\nabla \cdot \mathbf{A}=0$, $\varphi =0$ для свободных полей) соотношения поле–потенциал упрощаются до [11]:

$$\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

Эти соотношения полностью описывают свободные электромагнитные волны. В КЭД те же соотношения выполняются для операторов полей $\hat{\mathbf{E}}=-{\partial }_t\hat{\mathbf{A}}$; однофотонное состояние $|1_{\mathbf{k},\lambda }⟩={\hat{a}}_{\mathbf{k},\lambda }^{+}|0⟩$ имеет нулевые среднеполевые ожидаемые значения, но хорошо определённую операторную структуру [3, 12].

2.3 Соответствие в вихревой модели

В рамках вихревой модели К–Ф A1 (см. разд. 2.1) фотон представляет собой компактное вихревое кольцо с локализованным ядром, распространяющееся через вязкоупругую среду [13, 14]. Завихрённость сосредоточена вблизи осевой линии кольца и плавно убывает до пренебрежимо малых значений на расстояниях, превышающих размер ядра; конкретный профиль ядра не влияет на интегральные величины (циркуляцию, орбитальный радиус), от которых зависит модель. Соответствие поле–скорость $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ (ур. (6)) выводится из определяющего закона К–Ф (3) и несжимаемости, как показано в разд. 2.1.

Геометрия вихревого кольца фотона. Большой радиус $\rho$ масштабируется как ${\omega }^{-1/2}$ (ур. (14)); размер ядра $r_0$ задаёт радиус ближнего поля (ур. (17)). Углы $(a,b)$ параметризуют ориентацию вихря и определяют состояние поляризации (разд. (25)).

Для элемента жидкости на кольце с касательной скоростью $\mathbf{V}$:

$$\mathbf{V}=\frac{\mathbf{A}}{R},R={\tau }_{\mathrm{KV}}=\frac{{\eta }_0}{G}.$$

Несжимаемость даёт калибровку Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ точно. Электрическое поле соответствует (со знаком минус) ускорению жидкости:

$$\mathbf{E}=-R\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}.$$

При круговом движении на кольце большого радиуса $\rho$ центростремительное ускорение имеет модуль $|{\partial }_t\mathbf{V}|=V^2/\rho ={\omega }^2\rho$, откуда $|\mathbf{E}|=R{\omega }^2\rho$.

2.4 Энергия фотона из квантования циркуляции

Угловая частота вращения элементов жидкости отождествляется с угловой частотой фотона. Условие квантования циркуляции Онсагера–Фейнмана для сверхтекучеподобной среды [15, 16, 17]:

$${\Gamma }_n=n\frac{h}{m_{\mathrm{vac}}},n=1,2,\dots ,$$

где $m_{\mathrm{vac}}$ — эффективный масштаб массы вакуумной среды. Для элемента жидкости на кольце большого радиуса $\rho$ с касательной скоростью $V=\omega \rho$ циркуляция равна $\Gamma =2\pi \rho V=2\pi \omega {\rho }^2$. При $n=1$ из (13):

$$2\pi \omega {\rho }^2=\frac{h}{m_{\mathrm{vac}}}⟹\rho (\omega )=\sqrt{\frac{\hslash }{m_{\mathrm{vac}}\omega }}.$$

Высокочастотные фотоны соответствуют меньшим вихревым кольцам: $\rho \propto {\omega }^{-1/2}$. Многоквантовое обобщение ($n>1$, тот же $\rho$) даёт разрешённые частоты ${\omega }_n=n\hslash /(m_{\mathrm{vac}}{\rho }^2)=n{\omega }_1$, откуда энергетический спектр:

$$E_n=\hslash {\omega }_n=n\hslash \omega ,$$

воспроизводящий соотношение Планка–Эйнштейна из одного лишь условия квантования вихря.

Существенно, что соотношение $E=\hslash \omega$ есть тождество ротора $E=\omega L$ при полном моменте импульса кольца $L=\hslash$: масштаб массы $m_{\mathrm{vac}}$ входит и в энергию, и в момент импульса одинаково и в отношении $E/\omega$ сокращается. Поэтому условие Планка не фиксирует $m_{\mathrm{vac}}$: эта величина остаётся свободным физическим коэффициентом модели (как гравитационная постоянная $G$ в мейнстриме — измеряется, а не выводится из первых принципов), а не выводимым числом. Здесь $L=\hslash$ относится к полной циркулирующей эффективной массе кольца, а не к отдельному элементу жидкости (иначе спин был бы переучтён). Вычисление упругой энергии К–Ф кольца $E_{\mathrm{ring}}$ и проверка его согласия с $\hslash \omega$ остаётся открытой задачей, но служит проверкой самосогласованности, а не способом определить $m_{\mathrm{vac}}$.

2.5 Кинематика кольца-часов: постоянство $c$, замедление времени, Доплер

Кинематику движущегося фотона-вихря мы берём как вход из механики среды A1 и лишь напоминаем здесь; собственных постулатов относительности эта статья не вводит.

Трансляция кольца несётся волной среды. Центр масс вихревого кольца переносится вперёд поперечной упругой волной губки со скоростью $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ (ур. (4)), не зависящей от частоты $\omega$. Именно коллективная мода среды, а не самоиндукция кольца, служит движителем: скорость самоиндукции тонкого вихревого кольца растёт как $\propto \sqrt{\omega }$ и порождала бы вакуумную дисперсию, исключённую астрофизическими данными (одновременность прихода фотонов GRB 090510 на $\sim 13$ порядков энергии [18]). Поэтому самоиндукция — малая внутренняя степень свободы, а не механизм переноса. Источник-независимость $c$ есть свойство среды (Brecher 1977, $k<2\cdot 10^{-9}$ [19]).

Замедление времени как ход кольца-часов. Движущееся кольцо есть поперечные <<световые часы>>: циркуляция несётся со скоростью $c$, поэтому у кольца, летящего со скоростью $\beta c$, период растёт в $\gamma =(1-{\beta }^2{)}^{-1/2}$ раз, $\omega \to {\omega }_0\sqrt{1-{\beta }^2}$ (Лармор 1897 [20], Лоренц 1904 [21]). Отсюда поперечный эффект Доплера

$$\nu ={\nu }_0\sqrt{1-{\beta }^2}\approx {\nu }_0(1-\frac{1}{2}{\beta }^2)$$

— механическое следствие хода часов-кольца, а не <<торможения в полёте>>. Именно множитель $-\frac{1}{2}{\beta }^2$ (а не $+{\beta }^2$) подтверждён прямыми опытами (Ives–Stilwell 1938 [22]; накопленные ионы, Botermann 2014 [23]), чем и исключается механизм торможения. Совместно с сокращением Фицджеральда замедление хода часов даёт полное преобразование Лоренца и ненаблюдаемость кадра покоя среды световыми приборами — эмерджентную лоренц-инвариантность (канон работы A1, язык RMS [24]). Никакой <<безветренной зоны>> у масс при этом не предполагается: увлечение эфира телом исключено резонаторными опытами ($\Delta c/c<10^{-18}$, Nagel 2015 [25]). Источник-независимость $c$ — свойство среды, наблюдатель-независимость — эмерджентная LI; ни та ни другая не требует онтологической относительности.

Предел скорости: свет и звук среды. Касательная скорость элемента жидкости на кольце $V=\omega \rho =\sqrt{\hslash \omega /m_{\mathrm{vac}}}$ (из ур. (14)) растёт как $\sqrt{\omega }$ и при достаточно высоких частотах превосходит скорость света $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$ (скорость поперечного сектора). Это не противоречие: предел скорости материи в среде задаёт продольный сектор, $V\le c_s\approx 1,26\cdot 10^{23}$ м/с, где $c_s\gg c$ (на $\sim 15$ порядков), а не $c$. Элемент кольца может быть сверхсветов относительно $c$, но остаётся глубоко дозвуковым относительно $c_s$; связанная когерентная мода не излучает по черенковскому типу, чем и объясняется эмпирическая стабильность фотона. Скорость $c$ остаётся пределом лишь для светового (поперечного) сектора и не ограничивает $m_{\mathrm{vac}}$.

2.6 Определение радиуса ядра вихря

Количественные экспериментальные предсказания зависят от размера ядра вихря $r_0$, который задаёт поперечный масштаб продольной компоненты ближнего поля. В классической вихревой динамике $r_0$ является свободным параметром; в среде К–Ф это независимая длина когерентности среды — самостоятельный физический коэффициент модели, не связанный с комптоновской длиной $\hslash /(m_{\mathrm{vac}}c)$ и не выводимый из $m_{\mathrm{vac}}$. Приведённая ниже оценка $\mathring{\lambda }\lesssim r_0\lesssim \lambda /2$ остаётся феноменологической целью для эксперимента PINEM и не навязывает связи $r_0$ с $m_{\mathrm{vac}}$.

До получения первопринципного вывода из упругой энергии К–Ф мы используем оценку:

$$r_0\lesssim \frac{\lambda }{2}=\frac{\pi c}{\omega },$$

мотивированную следующим образом. Продольное смещение $r_z\propto \sin b$ должно обращаться в нуль на расстояниях, много больших $\lambda$ (иначе оно вносило бы вклад в распространяющуюся волновую моду, нарушая калибровку Кулона). Наибольший размер ядра, совместимый с субволновым ограничением, поэтому равен $r_0\sim \lambda /2$. Нижняя граница $r_0\gtrsim \mathring{\lambda }=\lambda /(2\pi )$ задаётся квантовой длиной когерентности (редуцированной длиной волны) фотона. Таким образом:

$$\frac{\lambda }{2\pi }\lesssim r_0\lesssim \frac{\lambda }{2}.$$

Для видимого света ($\lambda \approx 500\mathrm{нм}$) это даёт конкретную экспериментальную цель:

$$80\mathrm{нм}\lesssim r_0\lesssim 250\mathrm{нм}.$$

Зонды ближнего поля с апертурами $\sim 50$–$100\mathrm{нм}$ способны работать в этом диапазоне.

2.7 Формализм Джонса для поляризации вихревого кольца

Рассмотрим тонкостенное вихревое кольцо большого радиуса $\rho$ (не путать с радиусом ядра $r_0$ и постоянной преобразования $R={\tau }_{\mathrm{KV}}$), центр масс которого распространяется со скоростью $V$ вдоль $z$. Каждый элемент жидкости на кольце движется с постоянной касательной скоростью по круговой орбите, плоскость которой задаётся углами ориентации $(a,b)$: $a$ — азимутальный поворот вокруг $z$, $b$ — наклон плоскости кольца относительно плоскости $xy$.

Траектория вихревого кольца в лабораторной системе отсчёта

В собственной системе отсчёта вихря элемент жидкости на кольце описывает окружность в плоскости $xy$ с фазой $\theta =\omega t+\phi$, где $\phi$ — начальная фаза элемента ($\phi =0$ для элемента на оси $x$ при $t=0$):

$${\mathbf{r}}_{\mathrm{loc}}=\rho (\cos \theta ,\sin \theta ,0).$$

Переход в лабораторную систему осуществляется обратными поворотами в обратном порядке, ${\mathbf{r}}_{\mathrm{global}}={\mathcal{R}}_z(-a){\mathcal{R}}_x(-b){\mathbf{r}}_{\mathrm{loc}}$, где:

$${\mathcal{R}}_x(-b)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos b& \sin b\\ 0& -\sin b& \cos b\end{array}\right],{\mathcal{R}}_z(-a)=\left[\begin{array}{ccc}\cos a& \sin a& 0\\ -\sin a& \cos a& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$

Перемножение матриц даёт компоненты траектории:

$$\begin{array}{rl}{r}_x& =\rho [\cos a\cos \theta -\sin a\cos b\sin \theta ],\\ r_y& =\rho [\sin a\cos \theta +\cos a\cos b\sin \theta ],\\ r_z& =\rho \sin b\sin \theta .\end{array}$$

Проверка согласованности: при $\theta =0$ элемент находится в точке $\rho (\cos a,\sin a,0)$ — позиции после применения двух поворотов; при $\theta =\pi /2$ он достигает $\rho (-\sin a\cos b,\cos a\cos b,\sin b)$.

Для выделения распространяющейся электромагнитной моды принимаем соглашение $\theta =-\omega t$ (правая циркуляция при наблюдении вдоль $+z$; переход к $\theta =+\omega t$ соответствует $b\to \pi -b$, см. разд. (25)) и формируем аналитический сигнал в поперечной плоскости. Подставляя в $xy$-компоненты и используя тождества $\cos \theta -i\sin \theta =e^{-i\theta }$ и $\sin \theta +i\cos \theta =i{e}^{-i\theta }$, получаем:

$$\begin{array}{rl}X& =e^{-i\theta }[\cos a-i\sin a\cos b],\\ Y& =e^{-i\theta }[\sin a+i\cos a\cos b].\end{array}$$

Вводя комплексные амплитуды Джонса:

$$\begin{array}{rl}{J}_x& =\cos a-i\sin a\cos b,\\ J_y& =\sin a+i\cos a\cos b,\end{array}$$

и полагая $\theta =-\omega t$, получаем $X=e^{i\omega t}{J}_x$,; $Y=e^{i\omega t}{J}_y$ с амплитудами и фазами:

$$\begin{array}{rl}{E}_x& =|J_x|,{\phi }_x=\arg J_x=-\arctan (\tan a\cos b),\\ E_y& =|J_y|,{\phi }_y=\arg J_y=-\arctan (\cot a\cos b),\end{array}$$

и $Z=0$. Результат $Z=0$ не является тривиальным проекционным артефактом: несжимаемость К–Ф ($\nabla \cdot \mathbf{u}=0$) накладывает калибровку Кулона ($\nabla \cdot \mathbf{A}=0$), которая совместно с однородным волновым уравнением вынуждает любое распространяющееся решение быть поперечным, поэтому $xy$-проекция траектории вихря в точности описывает распространяющуюся моду дальнего поля. Физическое смещение $r_z=\rho \sin b\sin \theta \ne 0$ при $b\ne 0$ является нераспространяющейся компонентой ближнего поля, локализованной в области $|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_{\mathrm{vortex}}|\lesssim r_0$ и обсуждаемой в разд. 1.

Таким образом, получено полное соответствие с формализмом Джонса [6]. Отображение $(a,b)\mapsto (J_x,J_y)$ не является взаимно однозначным: пары параметров $(a,b)$ и $(a+\pi ,-b)$ дают один и тот же вектор Джонса с точностью до общей фазы, поэтому ориентация вихря определяется состоянием Джонса лишь с точностью до этой эквивалентности.

Соответствие между ориентацией вихря и состоянием поляризации

Двухпараметрическое семейство $(a,b)$ охватывает всю сферу Пуанкаре. Угол наклона $b$ управляет эллиптичностью поляризации: $b=\pi /2$ ориентирует плоскость вихревого кольца <<на ребро>> относительно направления распространения (линейная поляризация), тогда как $b=0$ или $b=\pi$ — <<в плоскости>> (круговая поляризация с противоположными знаками вращения). Азимутальный угол $a$ задаёт ориентацию эллипса поляризации.

Соответствие проверяется прямой подстановкой:

• При $b=0$: $J_x=e^{-ia}$, $J_y=i{e}^{-ia}$, то есть $(J_x,J_y)\propto (1,i)$ — правая круговая, независимо от $a$.
• При $b=\pi$: $J_x=e^{ia}$, $J_y=-i{e}^{ia}$, то есть $(J_x,J_y)\propto (1,-i)$ — левая круговая.
• При $b=\pi /2$: $J_x=\cos a$, $J_y=\sin a$ (оба вещественны) — линейная, под углом $a$.
• При общем $0<b<\pi /2$ или $\pi /2<b<\pi$: эллиптическая.

Основные случаи сведены в табл. 1; рис. 1 отображает параметры $(a,b)$ на сферу Пуанкаре. Третий параметр Стокса равен $S_3=\cos b$, поэтому степень круговой поляризации непосредственно читается по углу наклона вихря.

Параметры ориентации вихря $(a,b)$ и соответствующие состояния поляризации.

$a$	$b$	Состояние поляризации
$0$	$\pi /2$	Линейная, горизонтальная ($x$)
$\pi /2$	$\pi /2$	Линейная, вертикальная ($y$)
$\pi /4$	$\pi /2$	Линейная, $45°$
любое	$0$	Правая круговая
любое	$\pi$	Левая круговая
общий	$0<b<\pi ,b\ne \pi /2$	Эллиптическая

Представление параметров ориентации вихря $(a,b)$ на сфере Пуанкаре. Полярный угол от северного полюса равен $b$; азимутальный угол равен $2a$.

Структура ближнего поля: продольная компонента смещения

Приведённый выше вывод показывает, что поперечная проекция (плоскость $XY$) траектории вихревого кольца точно отображается на двухкомпонентный вектор Джонса, устанавливая тем самым, что распространяющаяся электромагнитная мода строго поперечна. Это вполне согласуется с моделью К–Ф: несжимаемость ($\nabla \cdot \mathbf{u}=0$) влечёт калибровку Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ точно (ур. (8)), которая совместно с однородными уравнениями Максвелла во внешней области даёт $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$, то есть отсутствие продольной распространяющейся компоненты.

Однако для вихревого кольца с углом наклона $b\ne 0$ координата $z$ элемента жидкости на поверхности кольца описывается (ур. (22)):

$$r_z=\rho \sin (b)\sin (\theta ),\theta =\omega t+\phi ,$$

и отлична от нуля. Это $z$-колебание представляет продольное смещение ближнего поля вакуумной среды в пределах области ядра вихря ($|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_{\mathrm{vortex}}|\lesssim r_0$). Оно не распространяется как волновая мода (условие несжимаемости подавляет его на расстояниях $\gg r_0$), однако присутствует в непосредственной близости от фотона-вихря.

Принципиально важно, что калибровка Кулона не запрещает $A_z\ne 0$ поточечно: она требует лишь $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$. Вблизи ядра вихря $A_z=R{u}_z\ne 0$, тогда как ${\partial }_z{A}_z$ компенсируется слагаемыми ${\partial }_x{A}_x+{\partial }_y{A}_y$, поддерживая бездивергентность. Возникающее поле ближней зоны $E_z=-{\partial }_t{A}_z-{\partial }_z\varphi \ne 0$ аналогично продольным компонентам ближнего поля колеблющегося электрического диполя.

Сравнение со стандартной КЭД: В стандартной КЭД свободный фотон в вакууме не имеет структуры ближнего поля на субволновых расстояниях (физической среды и вихревой топологии нет). Поэтому наличие детектируемого $E_z$ на поперечных расстояниях $\Delta r\lesssim r_0$ от траектории фотона является фальсифицируемой сигнатурой, уникальной для вихревой модели.

2.8 От одиночного кольца к классическому лучу

Одиночное кольцо несёт один квант $\hslash \omega$ и один квант момента импульса. Классический монохроматический луч в этой картине — фазированный цуг соосных вихревых колец одного знака, каждое кольцо с энергией $\hslash \omega$, синхронно нанизанных на ось распространения и несомых общей поперечной волной среды; амплитуда поля складывается как $\propto \sqrt{N}$ от числа колец $N$, что воспроизводит классический предел больших чисел заполнения. Образ цепочки срывных вихрей — небуквальная эвристика (сечения трёхмерных структур срыва в турбомашинах напоминают дорожку Кармана); несущая физика заключена в отдельном кольце, а не в буквальной двумерной дорожке.

В таком цуге удобно разделять два вида момента импульса. Спиновый момент (SAM, $\pm \hslash$ на фотон) — это циркуляция самого кольца, механически измеренная ещё Бетом (1936) [26] по крутящему моменту на полуволновой пластинке; в модели он отвечает знаку и наклону кольца ($S_3=\cos b$, разд. (25)). Орбитальный момент (OAM, Allen 1992 [27]) отвечает спиральной укладке всего цуга колец вдоль оси и является коллективным свойством пучка; одноквантовый OAM выходит за рамки настоящей жёстко- кинематической модели одиночного кольца и здесь не рассматривается.

3. Экспериментальная проверка модели

3.1 Поиск продольной компоненты смещения в ближнем поле

Ключевое различие:

• Стандартная модель: Электромагнитные волны в вакууме строго поперечны всюду для свободного фотона, распространяющегося вдали от физических объектов или границ. Векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ перпендикулярны $\mathbf{k}$; субволновая продольная структура ближнего поля в отсутствие физической среды, рассеивателя или апертуры отсутствует.
• Вихревая модель: Распространяющаяся мода дальнего поля поперечна (формализм Джонса, калибровка Кулона из несжимаемости К–Ф, разд. 1). Однако вихревое кольцо имеет ненулевое продольное смещение $r_z=\rho \sin (b)\sin (\omega t)$ при $b\ne 0$, порождая продольную электрическую компоненту ближнего поля $E_z\ne 0$ на поперечных расстояниях $\Delta r\lesssim r_0$ от оси фотона. Это эванесцентный эффект ближнего поля, а не распространяющаяся мода.

Критическое требование к эксперименту: зонд должен связываться с полем фотона на субволновом поперечном расстоянии $\Delta r\lesssim r_0$ от оси пучка, в диапазоне $80$–$250\mathrm{нм}$ для видимого света (ур. (19)). Стандартный сканирующий ближнепольный оптический микроскоп (СНОМ) не пригоден для зондирования свободных фотонов в вакууме: игла возмущает или поглощает фотон, не позволяя проводить неразрушающее измерение. Вместо этого мы предлагаем фотоиндуцированную ближнепольную электронную микроскопию (PINEM) [28].

Схема установки: ультракороткий лазерный импульс (накачка, длина волны $\lambda$, контролируемая поляризация) фокусируется в коллимированный пучок в вакууме. Синхронизированный импульсный электронный пучок (зонд, кинетическая энергия $\sim$100–300,кэВ) распространяется параллельно оси лазера $\hat{z}$ при контролируемом поперечном смещении $\Delta r$ (траектория электрона: $(0,\Delta r,v_{e}t)$). При взаимодействии в PINEM электрон обменивается энергетическими квантами $\hslash \omega$ с оптическим полем; для электрона со скоростью $v_e$ вдоль $z$ константа связи равна [28]:

$$g(\Delta r)\propto {\int }_{-\infty }^{\infty }{E}_z\left(0,\Delta r,z;t=z/v_e\right)e^{i\omega z/v_e}dz,$$

где $E_z$ — компонента поля вдоль общей оси распространения $z$. Для строго поперечной волны в вакууме $E_z=0$ всюду и $g=0$. Вихревая модель предсказывает $E_z\ne 0$ при $\Delta r\lesssim r_0$, порождая ненулевую связь, масштабирующуюся как $\sin b$ (из ур. (22)) и убывающую на масштабе $r_0$ по $\Delta r$.

Процедура: сканирование $\Delta r$ от $\sim 0,1\lambda$ до $\sim 2\lambda$ с регистрацией спектра потерь энергии электронов (сателлиты при $\pm n\hslash \omega$) для каждого прицельного параметра. Извлечение константы связи PINEM $|g(\Delta r){|}^2$ из интенсивностей сателлитов. Повторение для линейно поляризованного ($b=\pi /2$) и циркулярно поляризованного ($b=0$) пучков накачки.

Контроль: (1) Сравнение профилей связи для линейной и круговой поляризации. Вихревая модель предсказывает $|g{|}^2\propto {\sin }^{2}b$: максимум для линейной ($b=\pi /2$), нуль для круговой ($b=0$); стандартная КЭД не предсказывает никакой зависимости аномального сигнала $E_z$ от поляризации. (2) Использование референсной геометрии с электронным пучком на оси для характеризации фона от стандартного взаимодействия с поперечным полем.

Экспериментальная сложность: Стандартные эксперименты PINEM опираются на материальную наноструктуру (металлическая игла, наночастица или апертура) для обеспечения усиления ближнего поля, опосредующего связь электрон–фотон. Для свободных фотонов в открытом вакууме без рассеивателя единственным источником продольной компоненты является ближнее поле самого фотона-вихря, поэтому ожидаемая связь значительно слабее, чем в геометриях PINEM с усилением на поверхности. Её обнаружение потребует энергий лазерных импульсов и токов электронного пучка вблизи верхних пределов современных возможностей, а также тщательного вычитания осевого референсного сигнала от стандартного взаимодействия с поперечным полем. Однако именно это делает эксперимент критическим: поляризационно-зависимый остаток при $\Delta r\lesssim r_0$ в отсутствие какого-либо материального рассеивателя станет однозначным свидетельством структуры ближнего поля, предсказанной вихревой моделью, и не может быть объяснён плазмонными или дифракционными артефактами апертуры.

Ожидаемый результат по стандартной теории: константа связи PINEM $|g(\Delta r){|}^2$ определяется только поперечными компонентами поля $E_{\perp }$, убывает как стандартная функция Бесселя от $\Delta r$ и не зависит от эллиптичности поляризации. Отрицательный результат (отсутствие аномальной поляризационно-зависимой компоненты) опровергает предсказание ближнего поля вихревой модели.

Ожидаемый результат по вихревой модели: аномальный вклад в $|g(\Delta r){|}^2$ при $\Delta r\lesssim r_0$, масштабирующийся как ${\sin }^{2}b$ (нуль для круговой поляризации, максимум для линейной) и убывающий на масштабе $\sim r_0\sim \mathring{\lambda }$ за пределами области ядра.

3.2 Перенос момента импульса и вихревая топология при поглощении фотона

Ключевое различие:

• Стандартная модель: Фотон — безмассовая частица со спином 1, подчиняющаяся законам сохранения энергии, импульса и момента импульса [27]. Его рождение и поглощение — точечные акты взаимодействия в квантовой теории поля. Спиновый момент импульса $\pm \hslash$ передаётся поглощающему атому как внутреннее (электронное) возбуждение, а не как механическое вращение центра масс атома.
• Вихревая модель: Фотон — компактное вихревое кольцо с циркуляцией $\Gamma$, сохраняемой по теореме Кельвина с точностью $\delta =\nu /(cL)\ll 1$ (разд. 2.1). Аналог заряда $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$ (ур. (9), инвариант циркуляции) характеризует топологическое содержание фотона. При поглощении вихревая топология должна быть либо передана поглощающему атому/молекуле, либо сброшена в окружающую среду К–Ф. Оба сценария дают наблюдаемые сигнатуры, отличные от КЭД: поглощённый момент импульса имеет механическую (орбитальную) компоненту, связанную с пространственным размером вихревого кольца, а не только с внутренней электронной степенью свободы.

Описание эксперимента: Исследование механической отдачи и распределения момента импульса при поглощении одиночного фотона изолированным атомом/ионом.

Установка: ион или атом, охлаждённый до ультранизких температур и удерживаемый в ионной ловушке (типа Пауля или Пеннинга). Источник одиночных фотонов (например, квантовая точка или система КЭД с резонатором), испускающий фотоны с известным моментом импульса (круговая поляризация, $b=0$: вихревое кольцо в плоскости $XY$, ось спина вдоль направления распространения).

Процедура: наблюдение полного квантового состояния иона после поглощения фотона. Согласно стандартной теории, ион получает линейную отдачу $p=\hslash k$, а его внутренний момент импульса изменяется на $\pm \hslash$ (спин). Вихревая модель предсказывает дополнительную механическую орбитальную компоненту момента импульса, пропорциональную $\Gamma r_0\sim \hslash$ и передаваемую от вихревой топологии, что потенциально вызывает вращение центра масс захваченного иона вокруг оси пучка, превышающее предсказание стандартной КЭД для обычной передачи спин–орбита.

Контроль: (1) Сравнение результата для циркулярно поляризованных ($b=0$, кольцо в плоскости $XY$, ось спина вдоль $z$) и линейно поляризованных ($b=\pi /2$, наклонённое кольцо, нет спиновой компоненты вдоль $z$) фотонов. (2) Проверка выполнения полного баланса момента импульса: любой избыточный орбитальный момент, переданный иону, должен отсутствовать в случае линейной поляризации.

Ожидаемый результат по стандартной теории: изменение механического момента импульса иона будет равно спину фотона ($\pm \hslash$) через стандартную связь спин–орбита, без аномального вращения центра масс. Отрицательный результат опровергает вихревую модель.

Ожидаемый результат по вихревой модели: поглощение фотона вызовет измеримую орбитальную отдачу, величина которой масштабируется с радиусом ядра вихря $r_0$ и циркуляцией $\Gamma =Q/({\rho }_0{r}_0)$. Эффект должен исчезать при линейной поляризации и быть максимальным при круговой.

Замечание о количественном предсказании: Орбитальный момент импульса $L_{\mathrm{orb}}\propto \Gamma r_0$ содержит два независимых физических коэффициента модели — $m_{\mathrm{vac}}$ (через $\Gamma =h/m_{\mathrm{vac}}$) и длину когерентности $r_0$ (разд. 2.6), — ни один из которых не выводится из первых принципов. Предсказание поэтому остаётся параметрическим по форме; вместе с тем оно самосогласованно фиксирует масштаб: тождество ротора $E=\omega L$ при $L=\hslash$ (разд. 2.4) даёт $L_{\mathrm{orb}}\sim \hslash$ независимо от значения $m_{\mathrm{vac}}$. Если самосогласованность требует $L_{\mathrm{orb}}\sim \hslash$, современные эксперименты с ионными ловушками на лазерно охлаждённых ионах (например, ${}^{40}$Ca${}^{+}$) способны разрешить отдельные кванты момента импульса $\hslash$ с помощью спектроскопии мотиональных боковых полос, делая этот режим достижимым. Дискриминирующей наблюдаемой является разность передаваемого механического момента импульса для круговой ($b=0$) и линейной ($b=\pi /2$) поляризаций при одинаковых $\omega$ и $k$: стандартная КЭД запрещает любую такую разность, тогда как вихревая модель её предсказывает.

Сводка предложенных экспериментальных тестов. Оба предсказания выведены из механической аналогии К–Ф работы A1.

Эксперимент	Предсказание стандартной модели	Предсказание вихревой (К–Ф) модели
Константа связи PINEM $	g(\Delta r)	^2$при$\Delta r \lesssim r_0$ от пучка
Перенос момента импульса при поглощении фотона	Только линейная отдача $\hslash k$ и спин $\pm \hslash$; аномального вращения ц.м. нет	Избыточный орбитальный момент ц.м. $\propto \Gamma r_0$; зависит от эллиптичности поляризации

4. Заключение

В данной работе проанализирована вихревая модель фотона, основанная на механической аналогии Кельвина–Фойгта для уравнений Максвелла, разработанной в A1 и кратко изложенной в разд. 2.1. Рамки К–Ф обеспечивают механическую основу для соответствия $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ (ур. (6)), где $R={\tau }_{\mathrm{KV}}={\eta }_0/G$ (ур. (4)) — измеримая механическая постоянная, выведенная из определяющего закона (3).

Показано, что для поперечных компонент дальнего поля модель точно сводится к формализму Джонса, согласуясь со всей известной феноменологией поляризации. Более того, условие несжимаемости К–Ф выводит калибровку Кулона $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ (ур. (8)), подтверждая, что распространяющаяся мода строго поперечна — в полном согласии с уравнениями Максвелла.

Главное новое предсказание модели касается структуры ближнего поля фотона-вихря: для наклонённого вихревого кольца ($b\ne 0$) на расстояниях $\lesssim r_0$ от ядра вихря существует ненулевое продольное смещение $r_z\ne 0$. Это порождает продольную электрическую компоненту ближнего поля $E_z\ne 0$, детектируемую на субволновых поперечных расстояниях $\Delta r\lesssim r_0$ от оси пучка методом фотоиндуцированной ближнепольной электронной микроскопии (PINEM) [28]. Стандартная КЭД не предсказывает такой структуры ближнего поля для свободных фотонов в вакууме.

Предложены две фальсифицируемые экспериментальные схемы: (1) измерение константы связи PINEM $|g(\Delta r){|}^2$ как функции поперечного прицельного параметра и эллиптичности поляризации, чувствительное к любой аномальной продольной компоненте поля при $\Delta r\lesssim r_0\sim \mathring{\lambda }$; (2) измерение избыточного орбитального момента импульса при поглощении одиночного фотона захваченным ионом, чувствительное к инварианту циркуляции вихря $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$.

Стандартная КЭД предсказывает строго отрицательные результаты в обоих экспериментах. Любой подтверждённый положительный результат, согласующийся с количественными предсказаниями модели, имел бы глубокие последствия для нашего понимания физического вакуума. И напротив, отрицательные результаты в пределах достижимой точности фальсифицируют вихревую интерпретацию, одновременно обеспечивая прецизионные тесты поперечности фотонов в вакууме и полноты учёта момента импульса в КЭД.

На основании требования ограничения ближнего поля субволновыми масштабами нами получена оценка $\mathring{\lambda }\lesssim r_0\lesssim \lambda /2$, дающая конкретную экспериментальную цель $80$–$250\mathrm{нм}$ для видимого света (разд. 2.6). В рамках эффективной теории $m_{\mathrm{vac}}$, $r_0$ и модуль $G$ — физические коэффициенты (измеряются, а не выводятся из первых принципов); в частности $m_{\mathrm{vac}}$ не фиксируется условием $E_{\mathrm{ring}}=\hslash \omega$, поскольку в отношении $E/\omega =L=\hslash$ он сокращается (разд. 2.4). Первопринципный расчёт упругой энергии К–Ф кольца и связанное с ним количественное предсказание амплитуды связи PINEM остаются задачами проверки самосогласованности.

Место в договоре и границы. Постоянство $c$ и поперечный эффект Доплера получены здесь через механические предпосылки (кольцо-часы, эмерджентная лоренц-инвариантность, разд. 2.5), а не через увлечение эфира или <<торможение в полёте>> — оба механизма противоречат данным (Nagel 2015 [25]; Botermann 2014 [23]) и в модели не воскрешаются. Предел скорости материи — продольный сектор $c_s\gg c$, а не $c$. К двум лабораторным тестам (PINEM; перенос момента импульса) договор добавляет космо-шкальные границы картины: нижние пределы лоренц-инвариантности и вакуумной дисперсии у ультрафиолетового масштаба $m_{\mathrm{vac}}$ (GRB 090510 [18]; LHAASO, $\Delta c/c<10^{-17}$ [29]). Строгий вывод акустической метрики (эмерджентной LI) остаётся открытой задачей программы.

losinets2026nn,losinets2026nuclei,losinets2026quantum,losinets2026photon, losinets2026sr,losinets2026electron,losinets2026thermo,losinets2026cosmo}

Литература

1. Loetzsch, R. and others, «Testing quantum electrodynamics in extreme fields using helium-like uranium», Nature 625, 673, (2024). doi:10.1038/s41586-023-06910-y.
2. Bullis, R. G. and others, «Ramsey Spectroscopy of the 2S1/2 Hyperfine Interval in Atomic Hydrogen», Physical Review Letters, (2023). doi:10.1103/PhysRevLett.130.203001.
3. Brodsky, S. J., «Review of Quantum Electrodynamics», (1992). https://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/5750/slac-pub-5838.pdf.
4. Karshenboim, S. G., «Precision physics of simple atoms: QED tests, nuclear structure and fundamental constants», Physics Reports, (2005). doi:10.1016/j.physrep.2005.08.008.
5. Powers, S. and Xu, G. and others, «A statistical model for quantum spin and photon number states», arXiv preprint, (2024). https://arxiv.org/html/2304.13535v2.
6. Born, M. and Wolf, E., «Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light», Cambridge University Press, (1999). doi:10.1017/CBO9781139644181.
7. Sakhno, D. and Koreshin, E. and Belov, P. A., «Longitudinal electromagnetic waves with extremely short wavelength», Physical Review B 104, L100304, (2021). doi:10.1103/PhysRevB.104.L100304.
8. Maluenda, D. and Aviñoá, M. and others, «Experimental estimation of the longitudinal component of a highly focused electromagnetic field», Scientific Reports, (2021). doi:10.1038/s41598-021-97164-z.
9. Zhakatayev, A. and Tlebaldiyeva, L., «Long-Range Longitudinal Electric Wave in Vacuum Radiated by Electric Dipole: Part I», Radio Science, (2020). doi:10.1029/2019RS006881.
10. Tkachenko, V.~K., «On Vortex Lattices», Soviet Physics JETP 22, 1282–1286, (1966).
11. Blais, A. and Grimsmo, A. L., «Circuit quantum electrodynamics», Reviews of Modern Physics 93, 025005, (2021). doi:10.1103/RevModPhys.93.025005.
12. Markiewicz, M. and Kaszlikowski, D. and Kurzyński, P. and others, «From contextuality of a single photon to realism of an electromagnetic wave», npj Quantum Information 5, 5, (2019). doi:10.1038/s41534-018-0117-8.
13. Drori, L. and others, «Quantum vortices of strongly interacting photons», Science, (2023). doi:10.1126/science.adh5315.
14. Restrepo Cuartas, J. P. and Flórez-Acosta, C. A., «Dynamics of a quantum polariton vortex: Low-excitation scenario», Physical Review B 110, 155433, (2024). doi:10.1103/PhysRevB.110.155433.
15. Onsager, L., «Statistical hydrodynamics», Nuovo Cimento Suppl. 6, 279–287, (1949).
16. Feynman, R.~P., «Application of quantum mechanics to liquid helium», Progress in Low Temperature Physics 1, 17–53, (1955).
17. Donnelly, R.~J., «Quantized Vortices in Helium II», Cambridge University Press, (1991).
18. Abdo, A.~A. and others (Fermi GBM/LAT Collaborations), «A limit on the variation of the speed of light arising from quantum gravity effects», Nature 462, 331–334, (2009). doi:10.1038/nature08574.
19. Brecher, K., «Is the speed of light independent of the velocity of the source?», Physical Review Letters 39, 1051–1054, (1977). doi:10.1103/PhysRevLett.39.1051.
20. Larmor, J., «On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium. Part III», Philosophical Transactions of the Royal Society A 190, 205–300, (1897).
21. Lorentz, H.~A., «Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light», Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 6, 809–831, (1904).
22. Ives, H.~E. and Stilwell, G.~R., «An experimental study of the rate of a moving atomic clock», Journal of the Optical Society of America 28, 215–226, (1938). doi:10.1364/JOSA.28.000215.
23. Botermann, B. and others, «Test of time dilation using stored lithium ions as clocks at relativistic speed», Physical Review Letters 113, 120405, (2014). doi:10.1103/PhysRevLett.113.120405.
24. Mansouri, R. and Sexl, R.~U., «A test theory of special relativity: I. Simultaneity and clock synchronization», General Relativity and Gravitation 8, 497–513, (1977). doi:10.1007/BF00762634.
25. Nagel, M. and Parker, S.~R. and Kovalchuk, E.~V. and others, «Direct terrestrial test of Lorentz symmetry in electrodynamics to $10^{-}18$», Nature Communications 6, 8174, (2015). doi:10.1038/ncomms9174.
26. Beth, R.~A., «Mechanical detection and measurement of the angular momentum of light», Physical Review 50, 115–125, (1936). doi:10.1103/PhysRev.50.115.
27. Allen, L. and Beijersbergen, M. W. and Spreeuw, R. J. C. and Woerdman, J. P., «Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre—Gaussian laser modes», Physical Review A 45, 8185–8189, (1992). doi:10.1103/PhysRevA.45.8185.
28. Barwick, B. and Flannigan, D. J. and Zewail, A. H., «Photon-induced near-field electron microscopy», Nature 462, 902–906, (2009). doi:10.1038/nature08662.
29. LHAASO Collaboration, «Stringent tests of Lorentz invariance violation from LHAASO observations of GRB 221009A», Physical Review Letters 133, 071501, (2024). doi:10.1103/PhysRevLett.133.071501.