Ядерное взаимодействие вихрей Хилла в сжимаемой среде Кельвина–Фойгта: плотностное поле нуклона, дейтрон и низкоэнергетическое -рассеяние

Дмитрий Лосинец · Июль 2026

Аннотация. Программа механического моделирования, в которой квантовый вакуум рассматривается как вязкоупругая среда Кельвина–Фойгта (К–Ф), поддерживающая компактные вихри Хилла A1, A3, A7, распространяется на сильное (ядерное) взаимодействие. Ключевой шаг — отказ от приближения несжимаемости внутри нуклона: при логарифмическом уравнении состояния $P=P_0+A\ln (\rho /{\rho }_0)$ давление почти постоянно, плотность становится динамическим полем $\rho (r)$, и три масштаба, несовместимые в однопараметрической несжимаемой модели, получают три носителя: электромагнитный ($\sim 1\text{МэВ}$ на $1\text{фм}$) — внешнюю среду ${\rho }_0$, ядерную яму ($\sim 40\text{МэВ}$) — мантийное плотностное поле, жёсткий кор ($\gtrsim 10^2\text{МэВ}$) — перекрытие ядер. Закон сохранения массового потока делает плотностное усиление селективным: оно действует только на азимутальное (спиновое) поле — сильное взаимодействие оказывается привязанным к спиновой структуре, а электромагнитное остаётся на масштабе ${\rho }_0$. Все параметры фиксируются вне ядерного сектора: геометрия зон — по рассеянию электронов A3, плотностное поле — по массе нуклона и дипольному форм-фактору, амплитуда скоростей — по спину $J=\hslash /2$ (все скорости субсветовые). Межнуклонный потенциал — энергия переноса массы одного нуклона в бернуллиевский дефицит удельной энтальпии течения другого — без подгонки под ядерные данные имеет правильные знаки центральной и тензорной компонент и правильную иерархию каналов: дейтрон связан ($E_d=-7,3\text{МэВ}$; опыт $-2,22$) с D-примесью $P_D=5,0\%$ в эмпирическом окне 4–6,% при симметричной нормировке $\zeta =1$ формы (14) (после калибровки по $E_d$ она падает до $3,1\%$ — ниже окна); связанность при этом зависит от прочтения нормировки: силовой аудит даёт вдвое меньший масштаб, при котором дейтрон не связан, и программа принимает энергетическое прочтение (форма $W$ первична) рабочей посылкой до вывода сектора сжатия; синглет не связан; порядок глубины ямы при этом гарантирован размерно калибровкой $J=\hslash /2$, нетривиальны знаки и $O(1)$-коэффициенты. Калибровка одним коэффициентом ${\zeta }^{\ast }=0,845$ по $E_d$ воспроизводит $a_t$ и $r_d$ (величины, контролируемые самим $E_d$), а независимые предсказания формы потенциала — $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$ — занижает на 16–40,% согласованно. Выполнен заявленный фальсифицируемый тест: прямое сравнение спин-спиновой и тензорной радиальных функций с потенциалом AV18 [18]. Тензорная компонента подтверждена по знаку и форме (недобор до двух раз на средних расстояниях), знак спин-спиновой опровергнут: эмпирически иерархию каналов создаёт тензорная связь, а не центральное расщепление, и провал синглетной длины рассеяния переквалифицируется из <<тонкой настройки>> в структурную ошибку знака. Явно перечислено и остальное, чего модель не воспроизводит: фермиевское насыщение, спинорная алгебра, изоспиновая кинематика ядра.

Исходный образ. Два корабля, идущие борт к борту, притягиваются: течение в зазоре между ними быстрее, давление ниже, и борта прижимает. Два нуклона рядом — те же корабли: их течения в зазоре складываются, давление падает, и падает оно на весе уплотнённой среды — потому ядерная яма измеряется мегаэлектронвольтами, а не электронвольтами. Отсюда же короткодействие и насыщение: разошлись борта — нет зазора, нет и силы; третьему кораблю к занятому борту не пристать. Дейтрон в этой картине — два корабля, навсегда ставшие борт к борту.

1. Введение

1.1 Контекст программы

В работе A1 установлена формальная механическая аналогия уравнений Максвелла: квантовый вакуум моделируется вязкоупругой средой Кельвина–Фойгта (К–Ф) — в несжимаемом (поперечном) приближении внешнего сектора — с плотностью ${\rho }_0$, модулем сдвига $G$ и вязкостью ${\eta }_0$; электрический заряд отождествляется с инвариантом циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$, (Здесь $\Gamma$ — заряд-несущий азимутальный свирл (${\Gamma }_{\phi }$ в обозначениях A1), а $r_0$ — медиумная длина нормировки заряда (${\ell }_c$ канона A1): константа среды, а не размер частицы (опытная опора: $|e_p|=|e_e|$ при сильно различающихся размерах частиц). Тот же символ $r_0$ ниже используется в ином смысле — масштаб элемента вихревой сети в оценке $G\sim {\rho }_0{\Gamma }^2/r_0^2$; радиус кора вакуумного кольца в приложении 14 обозначен $a_{\mathrm{vac}}$. С длиной нормировки заряда ни тот, ни другой не совпадают.) а все четыре уравнения Максвелла возникают как следствия конститутивного закона. В работе A3 формализм распространён на структуру нуклона: нуклон моделируется двухзонным вихрем Хилла — вращательное ядро ($r_c\approx 0,25\text{фм}$) и безвихревая мантия ($r_m\approx 1,3\text{фм}$), — и условие равенства зарядов зон даёт беспараметрическое предсказание отношения магнитных моментов ${\mu }_c/{\mu }_m=r_m/r_c$, согласующееся с данными по ${\mu }_p$ и ${\mu }_n$. Работа A7 строит в той же среде модель фотона — компактного вихревого кольца — и программу её экспериментальной проверки. Дополнительную мотивацию вихревой картине ядерной структуры даёт недавнее наблюдение кандидата тороидальной электрической дипольной моды в ${}^{58}$Ni [31].

Сама идея частиц как вихревых образований среды восходит к вихревым атомам Кельвина [14]; её современные родственники — сверхтекучие модели вакуума и программа аналоговой гравитации [15, 16], в которых эффективная лоренц-инвариантность и калибровочные структуры возникают в низкоэнергетическом пределе конденсированной среды. Отличие настоящей программы — ставка не на универсальность низкоэнергетического предела, а на конкретную механическую микроструктуру (среда К–Ф, двухзонный вихрь Хилла) с количественной калибровкой по данным и проверкой в ядерном секторе.

Настоящая статья распространяет программу на сильное (ядерное) взаимодействие. Требование к построению то же, что и в работах A1, A3, A7: каждый элемент модели должен быть выведен из механики сплошной среды или явно откалиброван по данным, не относящимся к воспроизводимому явлению; постулаты ad hoc недопустимы, а там, где приближения несут неустранимую неопределённость, она должна быть указана явно.

1.2 Место в единой картине

Настоящая работа — часть программы, в которой одна классическая среда (сжимаемый слабовязкий эфир, ${\rho }_0={\epsilon }_0$) механически порождает все охваченные явления. Программа держит пять принципов: (Т1) достаточность классической механики сплошной среды; (Т2) сохранение локальности и реализма; (Т3) допустимость далеко-засверхсветового, но конечного причинного взаимодействия через продольный сектор среды ($c_s\gg c$); (Т4) отсутствие искривления пространства-времени (гравитация — втекание среды, не геометрия); (Т5) реальность сжатия/растяжения среды и замедления процессов (лоренц-эфирная позиция). В ядерном секторе статья реализует Т1 (сильная сила — ближняя зона Бернулли сжатых коров, масштаб $\rho u^2$) и использует аспект Т5 (плотность как динамическое поле $\rho (\mathbf{r})$: сжатый кор нуклона ${\rho }_{\mathrm{core}}$; полный канон Т5 — эмерджентная лоренц-инвариантность — живёт в A8 и берётся входом). Входом берутся: из A1 (электромагнетизм) A1 — среда К–Ф, словарь $u\leftrightarrow A$, $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$, заряд $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$ и продольный сектор $c_s\approx 1,26\cdot 10^{23}$ м/с; из A3 (нуклон) A3 — паспорт двухзонного вихря и канон вириальной плотности кора ${\rho }_{\mathrm{core}}={\gamma }_{\text{ф}}{p}_0/c^2$. Тезисы Т2 и Т4 здесь не затрагиваются (модель им совместима); их канонические реализации — в статьях A6 и A2 соответственно. Открытые границы ядерного сектора собраны в разделе 11 как внутренние фальсификаторы, не затрагивающие несущих тезисов Т1/Т5/Т3.

Состав серии. Настоящая работа — A4 программы из тринадцати статей; краткие адреса A0–A12 используются далее по тексту как ссылки на них:

• A0 основания среды: онтология, паспорт, метод A0;
• A1 электромагнетизм как линейный отклик среды A1;
• A2 гравитация как квадратичный отклик и шов с ЭМ A2;
• A3 нуклон: строение, заряд, магнитный момент A3;
• A4 ядерное взаимодействие и дейтрон A4 (эта статья);
• A5 сложные ядра A5;
• A6 квантовый слой A6;
• A7 фотон A7;
• A8 специальная теория относительности A8;
• A9 электрон и классы вихрей A9;
• A10 термодинамика среды A10;
• A11 космология среды A11;
• A12 слабый сектор: самоперешивка, $G_F$ из $\alpha$ [13].

Дисциплина ссылок в серии: ссылка назад берёт названный результат ранней статьи как вход; ссылка вперёд — только указатель («механизм — в A6»), за нужным результатом она не отсылает. Канонический вывод каждой величины живёт ровно в одной статье, остальные берут её названным входом.

1.3 Проблема трёх масштабов

Простейший путь к ядерным силам в рамках A1, A3 — остаться в приближении несжимаемой среды с единственной плотностью ${\rho }_0$. Геометрию взаимодействия это приближение передаёт правильно (все перечисленные ниже свойства воспроизводятся и в сжимаемом расчёте настоящей работы): радиус действия задаётся мантией ($r_m\approx 1,3\text{фм}$), масштаб жёсткого кора — удвоенным радиусом ядра ($2r_c\approx 0,42\text{фм}$ при канонном присвоении $r_c={\bar{\lambda }}_C$; несущую стенку ставит сжатие капли, раздел 5.3), тензорная компонента несёт угловой фактор $3{\cos }^2\theta -1$, а спин-орбитальная сила возникает из перекрёстного члена Бернулли без дополнительных допущений. Однако энергетика в несжимаемом приближении не сходится: если циркуляция мантии откалибрована по электрическому заряду, то бернуллиевская яма на расстоянии $r_m$ оказывается порядка кулоновской энергии

$$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_m}\approx 1,1\text{МэВ}\text{вместо эмпирических}{V}_0\approx 40\text{–}50\text{МэВ},$$

т.е. занижена в $\sim 40$ раз. Попытка восстановить глубину увеличением циркуляции разрушает соотношение между ямой и жёстким кором. В однопараметрической несжимаемой модели три масштаба — электромагнитный, ядерная яма и кор — несовместимы.

Настоящая работа снимает это противоречие отказом от несжимаемости. Плотность среды становится полем $\rho (\mathbf{r})$, меняющимся от ${\rho }_0\sim 10^{-11}{\text{кг/м}}^3$ вне нуклона до $\sim 10^{18}{\text{кг/м}}^3$ в его ядре, и три масштаба взаимодействия оказываются связаны с тремя различными носителями:

Три масштаба ядерного взаимодействия и их носители в сжимаемой модели.

Масштаб	Носитель	Плотность
электромагнитный, $\sim 1\text{МэВ}$ на $1\text{фм}$	внешняя среда	${\rho }_0\sim 10^{-11}{\text{кг/м}}^3$
ядерная яма, $\sim 40\text{МэВ}$	плотностное поле мантии	$\sim 10^{16-17}{\text{кг/м}}^3$
жёсткий кор, $\gtrsim 10^2\text{МэВ}$	перекрытие ядер	$\sim 10^{18}{\text{кг/м}}^3$

Отношение ядерного и электромагнитного масштабов ($\sim 40$) при этом перестаёт быть свободным параметром: оно определяется массой нуклона и его геометрией (раздел 4).

1.4 Вклад настоящей работы

1. Сжимаемое расширение формализма К–Ф с логарифмическим уравнением состояния $P=P_0+A\ln (\rho /{\rho }_0)$, при котором давление почти постоянно на 29 порядках изменения плотности; показано, что закон сохранения массового потока делает плотностное усиление селективным по азимутальному (спиновому) полю (раздел 3).
2. Калибровка нуклона целиком вне ядерного сектора: профиль плотностного поля — по массе нуклона и зарядовому радиусу, амплитуда поля скоростей — по спину $J=\hslash /2$ (раздел 4); все скорости при этом субсветовые.
3. Вывод межнуклонного потенциала как энергии переноса массовых элементов одного нуклона в бернуллиевский дефицит удельной энтальпии течения другого (раздел 5); теорема Факсена, применявшаяся ранее вне области своей применимости, не используется.
4. Разложение потенциала на центральную, спин-спиновую и тензорную компоненты; жёсткий кор из упругости К–Ф на плотности ядра (раздел 5.4).
5. Первое в рамках программы численное решение квантовой задачи: связанные каналы ${}^3{S}_1$–${}^3{D}_1$ дейтрона, длины рассеяния и эффективные радиусы (раздел 6); сопоставление с опытом — в таблицах 5 и 7.
6. Выполненный фальсифицируемый тест: свободное от параметров отношение спин-спиновой и тензорной компонент сопоставлено с потенциалом AV18 [18] — тензор подтверждён, знак спин-спиновой опровергнут (раздел 7).
7. Явный список того, что модель не воспроизводит (раздел 11).

Раздел 2 суммирует наследуемые результаты; раздел 8 даёт оценки для многонуклонных систем; раздел 10 — экспериментальные предложения.

2. Наследуемый формализм

2.1 Среда Кельвина–Фойгта

Вне вихревых ядер среда К–Ф описывается конститутивным законом ${\mathbf{\sigma }}^{\prime }=G\mathbf{\epsilon }+{\eta }_0\dot{\mathbf{\epsilon }}$; в волново-доминированном режиме это даёт уравнение затухающей поперечной волны со скоростью $c=\sqrt{G/{\rho }_0}$, отождествляемой со скоростью света A1. Модуль сдвига возникает из коллективной упругости фоновой вихревой губки (жёсткой, не текучей вихревой сети статьи A1 A1) (Здесь и далее <<решётка Ткаченко>> — рабочее название аналитически управляемого представителя коллективного отклика вихревой губки статьи A1 A1: её упругость даёт статический модуль сдвига $G(\omega \to 0)>0$; термин <<решётка>> не подразумевает строгой периодичности и наследует сеточную (губчатую) микроструктуру A1.) и стабильности формы вихря Хилла: $G\sim {\rho }_0{\Gamma }^2/r_0^2$ (коэффициент порядка единицы) A1, [26]. (Точное значение коэффициента не фиксировано: форм-модуль ядра в приближении замороженного потока обращается в нуль (A1), а положительную статическую жёсткость несёт натяжение нитей вихревой губки. В силовые интегралы ядерного сектора модуль не входит и используется лишь для оценки жёсткого кора, раздел 5.3.) Заряд отождествляется с инвариантом циркуляции $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$; закон Кулона имеет вид $F=Q_1{Q}_2/(4\pi {\rho }_0{r}^2)$. Стационарное течение вне ядер — безвихревое и подчиняется теореме Бернулли [25]; для баротропной среды вдоль линии тока

$$\int \frac{dp}{\rho }+\frac{u^2}{2}=\mathrm{const},$$

что для несжимаемого предела сводится к $p=p_{\infty }-\frac{1}{2}{\rho }_0{u}^2$.

2.2 Двухзонный нуклон

Следуя A3, нуклон моделируется осесимметричным вихрем с двумя зонами: ядро ($r\le r_c\approx 0,25\text{фм}$) — твердотельное вращение с угловой скоростью ${\omega }_c$, (Радиус $r_c\approx 0,25\text{фм}$ — это радиус вращательного ядра вихря Хилла (двухзонная геометрия A3); его не следует отождествлять с паспортным <<сжатым кором>> статьи A3 ($r_{\mathrm{core}}\approx 1,88\text{фм}$, D-кор) — геометрическим радиусом кора; вириальная же плотность ${\rho }_{\mathrm{core}}$ отвечает массе нуклона, размазанной по сфере $r_{\rho }\approx 0,594\text{фм}$ (раздел о плотностном поле), а не по всей сфере $r_{\mathrm{core}}$. Общий калибровочный якорь обеих картин — зарядовый радиус $r_p\approx 0,84\text{фм}$.) завихрённость $\mathbf{\omega }\ne 0$; мантия ($r_c<r\le r_m\approx 1,3\text{фм}$) — безвихревая зона с сохраняющимся удельным моментом $\ell =s{v}_{\phi }=\mathrm{const}$ ($s=r\sin \theta$ — цилиндрический радиус). Отношение $r_m/r_c=5,2\pm 1,2$ зафиксировано по данным рассеяния электронов A3, [20]. Азимутальный профиль скорости

$$\begin{array}{rl}{v}_{\phi }(s,r)& =v_{\phi }^{(0)}(s)\times \{\begin{array}{ll}1,& r\le r_m,\\ e^{-(r-r_m)/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}},& r>r_m\text{(экранированная утечка)},\end{array}\\ v_{\phi }^{(0)}(s)& =\{\begin{array}{ll}{\omega }_{c}s,& s\le r_c,\\ {\omega }_c{r}_c^2/s,& s>r_c\end{array}\end{array}$$

регулярен на оси (твердотельная зона снимает особенность $1/s$). Экспоненциальный множитель при $r>r_m$ — экранирование фоновой решёткой Ткаченко с длиной ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\sim {\ell }_{\mathrm{vac}}/\sqrt{\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/a_{\mathrm{vac}})}\approx 1,0\text{фм}$ при ${\ell }_{\mathrm{vac}}\approx r_m$ ($a_{\mathrm{vac}}$ — радиус кора вакуумного кольца; не смешивать с длиной нормировки заряда $r_0$ из $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$); вывод щели из линейного натяжения вакуумных колец, длины экранирования и селективности экранирования по модам (кулоновскую статику решётка не экранирует) дан в приложении 14. Внутри сферы $r\le r_m$ азимутальное (спиновое) поле локализовано — это стандартное свойство сферического вихря с закруткой (вихрь Хикса–Моффатта [22, 23, 24]): вне ядра вихря азимутальная компонента не имеет степенного хвоста, и дальнее поле нуклона чисто меридионально (дипольно).

Спин нуклона связан со знаком мантийной циркуляции ${\Gamma }_m$, изоспин — со знаком кольцевой циркуляции ядра ${\Gamma }_c$ (знаковое соглашение работы A3, хиральный дуплекс: переход $p\to n$ обращает кольцевую циркуляцию ядра — носитель момента — и хиральность мантии — носитель знака зонного заряда; зарядовая метка в кинематику течений не входит, поэтому для настоящей работы существенны только циркуляции). Четыре получающихся состояния приведены в таблице 2: флип спина обращает обе циркуляции, переход протон–нейтрон — из циркуляций только ${\Gamma }_c$; полный гидродинамический угловой момент определяется мантией ($r_m\gg r_c$) и имеет знак ${\Gamma }_m$ для обоих нуклонов.

Спиновые и изоспиновые состояния нуклона в знаковом соглашении A3.

Нуклон	Спин	${\Gamma }_c$	${\Gamma }_m$
Протон	$+\frac{1}{2}$	$+$	$+$
Протон	$-\frac{1}{2}$	$-$	$-$
Нейтрон	$+\frac{1}{2}$	$-$	$+$
Нейтрон	$-\frac{1}{2}$	$+$	$-$

3. Сжимаемое расширение

3.1 Почему несжимаемость внутри нуклона неприменима

Масса нуклона, распределённая по объёму с радиусом порядка зарядового, соответствует плотности $m_p/(\frac{4}{3}\pi r_p^3)\sim 7\cdot 10^{17}{\text{кг/м}}^3$, тогда как плотность внешней среды в электромагнитной калибровке ${\rho }_0=8,85\cdot 10^{-12}{\text{кг/м}}^3$ A1. Контраст $\sim 10^{29}$ несовместим с приближением $\rho =\mathrm{const}$: внутри нуклона среда обязана описываться сжимаемой гидродинамикой, и именно игнорирование этого обстоятельства порождало проблему трёх масштабов (раздел 1.3).

3.2 Логарифмическое уравнение состояния

Принимается уравнение состояния

$$\boxed{P(\rho )=P_0+A\ln \frac{\rho }{{\rho }_0},c_l^2(\rho )=\frac{dP}{d\rho }=\frac{A}{\rho },}$$

где $A={\rho }_0{c}_{l0}^2$ — константа среды, $c_{l0}$ — скорость продольных волн при плотности ${\rho }_0$. Два свойства делают (4) естественным выбором для вакуумной среды: (i) давление меняется лишь логарифмически — при $\rho /{\rho }_0=10^{29}$ рост давления составляет всего $\ln 10^{29}\approx 67$ единиц $A$: на 29 порядков уплотнения — лишь $\sim 2$ порядка роста давления ($\Delta P\approx 67A\approx 10^{37}$ Па); работа сжатия при этом велика ($\sim c_s^2$ на единицу массы) и в наблюдаемый сектор не отображается (замечание о статусе ниже); (ii) скорость продольных волн убывает как ${\rho }^{-1/2}$: во внешней разреженной среде она есть скорость продольного (звукового, причинного) сектора костяка программы, $c_{l0}\equiv c_s\approx 1,26\cdot 10^{23}$ м/с (канон A1 A1) — на $\sim 15$ порядков выше световой $c$; дорелятивистская механика сплошной среды допускает такие скорости, поскольку перенос энергии-информации в наблюдаемом секторе связан с поперечными волнами, скорость которых $c$. Внутри плотного ядра $c_l(\rho )\to c$, течение становится околозвуковым — это снятие <<стены Маха>> внутри нуклона в смысле статьи A3 A3. Однородное фоновое давление $P_0\gtrsim 10^{35}$ Па не создаёт градиентов и не наблюдаемо в обычных экспериментах; примечательно, что оценка внутреннего давления протона из гравитационных форм-факторов даёт как раз $\sim 10^{35}$ Па [21]; совпадение относится к фоновому $P_0$ — давление в коре модели ($P_0+67A\sim 10^{37}$ Па) на два порядка выше.

юрисдикция уравнения (4). Каноническое уравнение состояния серии — поверхность двух переменных $(\rho ,x)$ с максвелловским плато смеси $p\equiv p_0$ между фазами и двумя жёсткими бортами (свободная укладка $\gamma =1,4$, связанная — ${\gamma }_{\text{ф}}=12/7$; канон серии). В этой поверхности ветвь (4) законна на своём участке — сжатие свободной укладки выше $P_0$ (мантия), где она и используется в настоящей работе; продление её сквозь межфазную область в кор неправомерно: при канонном ${\rho }_{\mathrm{core}}$ оно дало бы местный звук $0,90c$ вместо тождественного $c$ (борт связанной фазы: $\sqrt{{\gamma }_{\text{ф}}{P}_0/{\rho }_{\mathrm{core}}}=c$ точно) и межфазный скачок $A\ln ({\rho }_{\mathrm{core}}/{\rho }_0)\approx 95P_0$ вместо лапласова $2\sigma /r\approx 0,065P_0$. Соответственно фраза «давление в коре модели $P_0+67A$» выше читается как свойство продлённой ветви и каноном заменена равнодавлением: кор сидит при $p\approx P_0$ с лапласовой поправкой, и совпадение с оценкой [21] — прямое, без двух порядков превышения. Числовая мера неправомерности продления: энтальпийный допуск ядерного масштаба ($10\text{МэВ}$ на нуклон) составляет $1,83\%$ от $p_0$, тогда как избыток продлённой ветви $P=95,8p_0$ превышает его в $5,2\cdot 10^3$ раз и соответствует $51,9$ ГэВ на нуклон; поэтому (4) применяется здесь как иллюстрация возможности контраста при почти постоянном давлении, а не как конститутив связанной фазы. Силовых расчётов работы это не задевает (они кинематические, см. замечание ниже).

о статусе уравнения состояния. Уравнение (4) используется в настоящей работе только для обоснования возможности существования плотностного поля $\rho (\mathbf{r})$ с контрастом $\sim 10^{29}$ при почти постоянном давлении и для баланса фонового давления. Силовые расчёты раздела 5 опираются лишь на кинематический сектор (теорему Бернулли в форме удельной энтальпии). Энергетика сжатия из них исключена явным решением, и это шов, а не приближение. Он расщепляется на два разных: (i) сектор образования — разность удельных энтальпий фаз $L=\frac{7}{2}{p}_0/{\rho }_0-\frac{7}{8}{c}^2=4,40\cdot 10^{29}{c}^2$ (канонная калорика $\gamma =1,4$), от уравнения состояния не зависящая (открытая позиция серии, A0, A10); (ii) дифференциальный сектор — при канонном конститутиве (связанная фаза при ${\rho }_{\mathrm{core}}$, локальный звук $c$ точно) он конечен и ядерен: $\Delta E=\frac{1}{2}m{c}^2(\delta \rho /\rho {)}^2$, что даёт отталкивательный член радиуса действия $2R_p=1,188$ фм (раздел 5.3). При аддитивном правиле (14) и уравнении состояния (4) тот же член составил бы $+7,8\cdot 10^5$ МэВ при $d=1$ фм — аддитивная суперпозиция плотностных полей в энергетическом секторе исключена; в кинематическом секторе она сохраняется как рабочее приближение. Возможный механизм стационарного поддержания плотного ядра — замкнутый термодинамический цикл сжатия–нагрева–расширения–диссипации в меридиональном течении — остаётся гипотезой, не влияющей на дальнейшие расчёты.

3.3 Плотностное поле нуклона

В сжимаемой постановке плотность — динамическое поле. Его точный профиль требует решения полной системы (непрерывность, импульс, уравнение состояния); здесь профиль калибруется по двум измеряемым величинам — массе нуклона и зарядовому радиусу. Дипольный закон форм-факторов нуклона $G(Q^2)\approx (1+Q^2/0,71{\text{ГэВ}}^2{)}^{-2}$ соответствует экспоненциальному профилю в координатном представлении, поэтому принимается

$$\boxed{\Delta \rho (r)=\hat{\rho }{e}^{-r/a},a=\frac{r_p}{\sqrt{12}}=0,243\text{фм},\int \Delta \rho dV=m_p,}$$

откуда

$$\hat{\rho }=\frac{m_p}{8\pi a^3}=4,64\cdot 10^{18}{\text{кг/м}}^3,$$

где $r_p=0,8414\text{фм}$ — зарядовый радиус протона, $⟨r^2⟩=12a^2$ для экспоненциального распределения. Характерные значения: $\Delta \rho (1\text{фм})=7,6\cdot 10^{16}$, $\Delta \rho (r_m)=2,2\cdot 10^{16}{\text{кг/м}}^3$ — на два порядка меньше центральной плотности, но на 27–28 порядков больше ${\rho }_0$. Инерция нуклона в данной картине — масса уплотнённой среды, увлекаемой вихрем.

В обозначениях костяка программы это уплотнение есть сжатый кор нуклона с вириальной плотностью ${\rho }_{\mathrm{core}}={\gamma }_{\text{ф}}{p}_0/c^2$ (именованный канон статьи A3 A3): при ${\gamma }_{\text{ф}}=12/7$ (показатель связанной фазы; поздняя фиксация из замыкания бюджета сборки, A9) и $p_0\sim 10^{35}$ Па [21] он даёт ${\rho }_{\mathrm{core}}=1,91\cdot 10^{18}{\text{кг/м}}^3$. Эти две величины описывают разные характеристики одного кора и совпадать не обязаны: $\hat{\rho }$ (6) — пиковая плотность при $r=0$ профиля $\Delta \rho =\hat{\rho }{e}^{-r/a}$ (масштаб $a\approx 0,24$ фм), тогда как вириальная ${\rho }_{\mathrm{core}}$ — характерная (средняя) плотность массы нуклона, размазанной по вириальному шару ($r_{\rho }\approx 0,59$ фм). Их отношение $\hat{\rho }/{\rho }_{\mathrm{core}}\approx 2,4$ имеет порядок ожидаемого разрыва <<пик,/,среднее>> для спадающего профиля (для $\Delta \rho =\hat{\rho }{e}^{-r/a}$ отношение пика к среднему по шару $r_{\rho }\approx 2,5a$ составляет $\approx 5,6$ — согласие двух оценок в пределах множителя $2,3$). Таким образом две независимые оценки — вириальная (вход из A3) и массовая (настоящая работа) — согласуются на уровне множителя $2$–$3$, а не дают одно число; ниже используется прямой массовый профиль (5) как более удобный для силовых интегралов.

о соотношении массового и зарядового профилей. Отождествление массового масштаба с зарядовым ($a$ из форм-фактора) — простейшее допущение, вносящее $O(1)$-неопределённость формы; она включается в коэффициент самосогласованности $\zeta$ (раздел 6). Использование $m_p$ в (5) для протона и нейтрона одинаково с точностью $(m_n-m_p)/m_p\approx 0,14\%$.

3.4 Селективность усиления: меридиональный сектор

Механизм, разрешающий проблему трёх масштабов, — замена веса ${\rho }_0$ на $\Delta \rho$ в бернуллиевских интегралах — сам по себе применим к любому полю скоростей. Возникает вопрос: почему тем же усилением не обладает меридиональное (дипольное) течение нуклона, несущее магнитно-дипольный (волновой) сектор словаря $\mathbf{A}=R\mathbf{u}$ статьи A1 A1? Иначе электромагнитное взаимодействие на фемтометровых расстояниях получило бы тот же $\sim 40$-кратный выигрыш, и иерархия масштабов разрушилась бы снова.

Ответ даёт уравнение непрерывности. Для азимутального поля линии тока — окружности $s=\mathrm{const}$, $z=\mathrm{const}$, вдоль которых плотность осесимметричной конфигурации постоянна: условие $\nabla \cdot (\rho {\mathbf{u}}_{\phi })=0$ выполняется тождественно и не накладывает на амплитуду $v_{\phi }$ никаких ограничений — спиновое поле беспрепятственно <<живёт>> в плотной области. Меридиональные же линии тока пересекают поверхности равной плотности, и стационарная непрерывность $\nabla \cdot (\rho {\mathbf{u}}_m)=0$ сохраняет массовый поток вдоль трубки тока: если трубка приходит из внешней области с плотностью ${\rho }_0$ и скоростью $u_{\mathrm{ext}}$, то внутри плотностного поля

$$u_m(\mathbf{r})\sim u_{\mathrm{ext}}\frac{{\rho }_0}{\rho (\mathbf{r})},\rho u_m^2\sim \frac{({\rho }_0{u}_{\mathrm{ext}}{)}^2}{\rho }$$

— бернуллиевская плотность энергии меридионального течения в плотной области подавлена, а не усилена. Его вклад в силовые интегралы раздела 5 ограничен сверху электромагнитным масштабом, умноженным на ${\rho }_0/\Delta \rho (1\text{фм})\sim 10^{-28}$, т.е. пренебрежим.

Плотностное усиление, таким образом, селективно: оно действует только на азимутальное поле. Именно поэтому в данной модели сильное взаимодействие оказывается привязанным к спиновой структуре нуклонов, тогда как электромагнитный сектор остаётся на масштабе внешней среды ${\rho }_0$.

о зарядовом секторе. Селективность не оставляет лазейки для усиления кулоновского сектора: по канону A1 A1 кулоновскую статику несёт застывшее смещение внешней среды на весе ${\rho }_0$ (статика не течёт) — в бернуллиевские интегралы течений она не входит, а заряд $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$ — топологический инвариант на медиумной нормировке ${\rho }_0$, плотностным усилением $\Delta \rho$ не затрагиваемый. Усиливается кинетический ($\rho u^2$) сектор азимутального течения — ядерная яма, — тогда как зарядовая связь того же поля остаётся на масштабе ${\rho }_0$.

Оговорка: вторичная меридиональная циркуляция, которую может порождать неточная стационарность чисто азимутального поля в сжимаемой среде (гипотетический цикл поддержания ядра), контролю уравнения (7) не подлежит; её амплитуда не откалибрована, и этот пункт внесён в список открытых проблем (раздел 11).

4. Калибровка нуклона вне ядерного сектора

Единственный оставшийся параметр — амплитуда поля скоростей (3), т.е. ${\omega }_c$. Она фиксируется условием квантования спина:

$$\boxed{J=\int \Delta \rho (r)s{v}_{\phi }(s,r)dV=\frac{\hslash }{2}⟹{\omega }_c=5,80\cdot 10^{23}{\text{с}}^{-1}.}$$

Отсюда следуют скорости

$$v(r_c)={\omega }_c{r}_c=0,48c,v(0,5\text{фм})=0,24c,v(1\text{фм})=0,12c:$$

все скорости течения субсветовые — в отличие от несжимаемой версии, где калибровка циркуляции по заряду через ${\rho }_0$ неявно требовала сверхсветовых азимутальных скоростей на фемтометровых расстояниях. (Субсветовость ($v<c$) азимутального течения — физическое удобство расчёта, а не принципиальный барьер: в костяке программы предел скорости вещества задаёт продольный сектор $c_s\gg c$, тогда как поперечная $c$ ограничивает лишь наблюдаемый (световой) сектор. Течения со скоростью между $c$ и $c_s$ средой не запрещены; их отсутствие в сжимаемой калибровке — следствие расчёта, а не постулат $c$ как предела.)

Спин-калиброванное поле совпадает с канонным наведённым слоем A6 и по геометрии: радиус вращательного ядра $r_c=0,250\text{фм}$ отвечает комптоновскому масштабу нуклона ${\bar{\lambda }}_C=\hslash /m_{p}c=0,210\text{фм}$ с точностью $19\%$, а кромка $v(r_c)=0,484c$ — канонной кромке $c/2$ с точностью $3\%$ (из этих двух чисел третье, ${\Gamma }_m/{\Gamma }_s=1,15$, следует тождественно, так как обе циркуляции суть $2\pi \cdot$радиус$\cdot$кромка). Независимым здесь является только первое сравнение ($r_c$ — из $e$-рассеяния, ${\bar{\lambda }}_C$ — из массы), и оно совпадает со сверкой, уже отмеченной в A3 A3. Присвоение $r_c:={\bar{\lambda }}_C=0,210\text{фм}$ принято канонически: строка внешней калибровки в табл. 3 снята со статуса входа. Цена пересчёта известна и умеренна: $V_C$ $+2,8\%$, $V_T$ $+4,9\%$, $V_{\sigma }$ $-3,9\%$, $E_{\mathrm{rot}}$ $33,1\to 37,8\text{МэВ}$, масштаб $2r_c$: $0,50\to 0,42\text{фм}$; отношение зон $r_m/r_c=6,18$ остаётся в эмпирической полосе $5,2\pm 1,2$. Числовые таблицы статьи пока посчитаны на прежней калибровке $0,25\text{фм}$; дейтрон и $a_s$ на новой не пересчитаны — пересборка отложена вместе с пересборкой на $E_{\text{сж}}$ (раздел 5.3).

о двух контурах: разложение разрыва. Спин-калиброванная мантийная циркуляция настоящей работы (${\Gamma }_m=2\pi {\omega }_c{r}_c^2=2,28\cdot 10^{-7}{\text{м}}^2/\text{с}$) есть с точностью $15\%$ канонная спиновая циркуляция наведённого слоя A6, ${\Gamma }_s=h/2m_p=1,98\cdot 10^{-7}{\text{м}}^2/\text{с}$. Совпадение не случайно и не является независимой проверкой: для любого осесимметричного поля, у которого удельный момент $s{v}_{\phi }$ нигде не превышает своего максимума $\Gamma /2\pi$, из $\int \Delta \rho dV=m_p$ и (8) следует $\hslash /2\le (\Gamma /2\pi )m_p$, то есть ${\Gamma }_m\ge h/2m_p={\Gamma }_s$, с равенством лишь тогда, когда вся масса лежит на максимуме удельного момента. Канонный слой A6 и есть этот экстремум, а превышение $15\%$ измеряет размазанность атмосферы (5): ${\Gamma }_m/{\Gamma }_s=m_p/M_{\mathrm{eff}}$, где $M_{\mathrm{eff}}=\int \Delta \rho gdV=0,87m_p$ есть масса, взвешенная нормированным удельным моментом $g=(s{v}_{\phi })/({\Gamma }_m/2\pi )\le 1$ (дефицит $13\%$ складывается из зоны $s<r_c$, $10,6\%$, и экрана Ткаченко, $2,5\%$). Зарядовая циркуляция на канонной медиумной нормировке $Q={\rho }_0{\ell }_c{\Gamma }_{\phi }$ (${\ell }_c=36,28$ нм) равна ${\Gamma }_{\phi }=0,4988{\text{м}}^2/\text{с}$, и отношение двух циркуляций имеет замкнутую форму ${\Gamma }_{\phi }/{\Gamma }_s=2\alpha {\ell }_c/{\bar{\lambda }}_C=2,52\cdot 10^6$, поскольку обе суть $2\pi \cdot (\text{радиус})\cdot (\text{кромка})$: ${\Gamma }_{\phi }=2\pi {\ell }_c(\alpha c)$ и ${\Gamma }_s=2\pi {\bar{\lambda }}_C(c/2)$. Прежняя оценка «$\sim 13$ порядков» получалась на зонной нормировке A3 A3 ${\Gamma }_m=e/(2{\rho }_0{r}_m)$ и распадается на две части: ${\ell }_c/(2r_m)=1,40\cdot 10^7$ (7,15 порядка — несинхронизированная длина нормировки, о чём A3 предупреждает сама) и остаток 6,34 порядка — собственно двухконтурная развязка A6, где заряд массово-универсален, а ${\Gamma }_s=h/2m$ массозависима (отношение разрывов протона и электрона равно $m_p/m_e=1836$ точно). Это не расхождение калибровок одного поля, а два контура разного статуса; в ядерные расчёты входит только спиновый слой, поле (3).

Кинетическая энергия вращения

$$E_{\mathrm{rot}}=\int \frac{1}{2}\Delta \rho v_{\phi }^{2}dV=33\text{МэВ}=3,5\%m_p{c}^2$$

составляет малую долю массы покоя (при канонном присвоении $r_c={\bar{\lambda }}_C$ — $37,8\text{МэВ}=4,0\%$): основная часть $m_p{c}^2$ в данной картине связана с самим уплотнением среды, а не с его вращением.

Итоговый набор параметров модели приведён в таблице 3. Подчеркнём: ни один из них не подгонялся под ядерные данные.

Параметры модели. Все зафиксированы вне ядерного сектора.

Параметр	Значение	Источник калибровки	Ссылка
$r_c$	$0,25\text{фм}$	канонное присвоение $r_c:={\bar{\lambda }}_C=0,210\text{фм}$ (A6); таблицы пока на $0,25$ ($e$-рассеяние, $19\%$)	A3
$r_m$	$1,30\text{фм}$	$e$-рассеяние (двухзонная геометрия)	A3
$a$	$0,243\text{фм}$	зарядовый радиус $r_p/\sqrt{12}$	(5)
$\hat{\rho }$	$4,64\cdot 10^{18}{\text{кг/м}}^3$	масса нуклона	(5)
${\omega }_c$	$5,80\cdot 10^{23}{\text{с}}^{-1}$	спин $J=\hslash /2$	(8)
${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$	$1,0\text{фм}$	щель решётки Ткаченко	прил. 14

5. Межнуклонный потенциал: энергия погружения

5.1 Вывод

Рассмотрим два нуклона: нуклон 1 в начале координат, нуклон 2 на расстоянии $d$ под углом $\Theta$ к оси спина (оси спинов параллельны; антипараллельный случай получается сменой знака поля 2). Полное поле скоростей в области перекрытия — $\mathbf{u}={\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2$, полное плотностное поле — ${\rho }_0+\Delta {\rho }_1+\Delta {\rho }_2$.

Исходная точка — уравнение Эйлера стационарного баротропного течения,

$$(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=-\nabla h,h=\int \frac{dp}{\rho },$$

т.е. сила, действующая со стороны давления на единицу массы среды, есть $-\nabla h$. Для безвихревого стационарного течения постоянная Бернулли одна на всём поле, и удельная энтальпия выражается через скорость точно, при любом баротропном уравнении состояния:

$$h(\mathbf{r})-h_{\infty }=-\frac{u^2(\mathbf{r})}{2}$$

(в этом преимущество энтальпийной формы теоремы Бернулли: $h$ определена на единицу массы и не содержит произвола выбора <<эффективной плотности>>, неизбежного в схемах с несжимаемой формулой $p=p_{\infty }-\frac{1}{2}\rho u^2$). Массовые элементы нуклона 2 не увлекаются течением нуклона 1: они удерживаются собственной вихревой структурой и при квазистатическом сближении перемещаются вместе с нуклоном как целое. Для таких вмороженных элементов $-\nabla h_1$ — внешняя сила, а $h_1=-u_1^2/2$ — потенциальная энергия на единицу массы; работа сил давления при переносе нуклона 2 из бесконечности накапливается в

$$U_{21}(d)=\int \Delta {\rho }_2{h}_{1}dV=-\int \Delta {\rho }_2\frac{u_1^2}{2}dV.$$

Подчеркнём различие со свободным элементом среды, уносимым потоком вдоль линии тока: для него падение энтальпии (12) в точности компенсируется ростом кинетической энергии, и чистого выигрыша нет. Именно связанность массы структурой нуклона превращает дефицит энтальпии в потенциальную энергию взаимодействия. В присутствии обоих течений энтальпия строится по полному полю, $h=-|{\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2{|}^2/2$; раскрывая квадрат, суммируя по массовым элементам обоих нуклонов и вычитая $d$-независимые собственные члены, получаем энергию взаимодействия

$$\boxed{W(d,\Theta )=\underset{W_{\mathrm{suct}}:\text{втягивание массы в дефицит энтальпии}}{\underbrace{-\int \Delta {\rho }_2\frac{u_1^2}{2}dV-\int \Delta {\rho }_1\frac{u_2^2}{2}dV}}\underset{W_{\times }:\text{перекрёстный (спин-спиновый) член}}{\underbrace{-\int (\Delta {\rho }_1+\Delta {\rho }_2){\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_{2}dV}}.}$$

Первое слагаемое — <<всасывание>>: масса нуклона 2 находится в области пониженной энтальпии, создаваемой течением нуклона 1 (и наоборот); оно квадратично по полям и потому не зависит от взаимной ориентации циркуляций — это и есть механический источник зарядовой независимости ядерных сил. Тот же чётный (квадратичный по полю) бернуллиевский канал, взятый на весе ${\rho }_0$ и масштабе втекания среды, — домен гравитации (A2); здесь он работает на весе $\Delta \rho$ в ближней зоне перекрытия — ядерная яма; шов секторов — в A2. Второе слагаемое линейно по каждому полю и меняет знак при обращении спина одного из нуклонов — спин-спиновая компонента.

о статусе формулы (14). Выражение (14) — ведущий порядок по перекрытию, и его точность ограничена четырьмя приближениями: (i) суперпозиция ${\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2$ не является точным решением нелинейного уравнения Эйлера; в частности, по логике раздела 3.4 азимутальное поле одного нуклона, пересекая изопикны плотностного холма другого, должно ослабляться — поправка определённого знака (ослабление короткодействующего притяжения), при $d\lesssim 1\text{фм}$ способная превышать номинальный $O(1)$-уровень; (ii) соотношение (12) точно лишь в безвихревой области: внутри завихрённых ядер оно занижает глубину энтальпийной ямы (ср. вихрь Рэнкина, где падение давления на оси вдвое больше безвихревого), а в экранированной зоне $r>r_m$, где поле также завихрено, неточно и оно; (iii) массовые элементы считаются жёстко связанными со <<своим>> нуклоном — внутренняя перестройка профилей при сближении не учитывается; (iv) нормировка $W$ разрешена прямым силовым аудитом и оказалась двойным счётом: сила на вмороженную массу нуклона 2, ${\mathbf{F}}_2=\int \Delta {\rho }_2\nabla (u_1^2/2+{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_2)dV$, вычисленная прямой квадратурой, во всасывающем канале есть точный градиент одной односторонней работы: $\kappa \equiv ({\mathbf{F}}_2\cdot \hat{d})/(-d{W}_{\mathrm{suct}}/dd)=0,500\pm 0,004$ на $d=0,6$–$2,0\text{фм}$ при $\Theta =0$ и $\Theta =90^{\circ }$; тождественно $-\int \Delta {\rho }_2(u_1^2/2+{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_2)dV=\frac{1}{2}W$ (симметрия инверсии для одинаковых нуклонов). Та же функция $U_{21}$ порождает обе силы, третий закон выполнен на уровне $10^{-13}$. Симметричная форма (14) тем самым учитывает пару дважды, и первопринципная нормировка есть ${\zeta }_{\mathrm{норм}}=0,5$, а не $1$. Третья мыслимая ветвь — $d$-зависимая часть кинетической энергии среды — тождественно равна $-W$ (вклад веса ${\rho }_0$ составляет $10^{-29}$ от $|W|$), то есть даёт и обратный знак; прочтение этого результата — вилка, зафиксированная в замечании «статус нормировки» ниже; (v) схема построена для покоящихся нуклонов: поле, создаваемое в среде движущимся нуклоном, не определено. Все скоростные наблюдаемые (спин-орбита, раздел 5.5; квазистатическая работа переноса, пункт (iv)) поэтому опираются на внешнюю посылку о перен’{о}сном поле, а не на (14). Пункт (ii) не является независимым: в силе вес однозначно $\Delta {\rho }_2$. Пункт (iii) общим множителем не является: замена массового профиля на однородную каплю канона ($R_p=0,594\text{фм}$) при той же спин-калибровке углубляет осевую конфигурацию в $1,40$–$1,50$ раза и ослабляет экваториальную ($\times 0,88$–$0,69$ на $0,8$–$1,2\text{фм}$, со сменой знака ямы при $1,5\text{фм}$), а по каналам даёт разброс $\times 1,00$ ($V_C^{\times }$)–$\times 1,67$ ($V_2$). В коэффициенте $\zeta$ (раздел 6) аккумулируется поэтому не «общая нормировка», а несводимая смесь; пункт (i) способен менять и форму компонент, что существенно при интерпретации сравнения с AV18 (раздел 7). В отличие от приближений типа теоремы Факсена (градиентное разложение силы на компактное тело [25], формально несправедливое при $r\sim r_m$), интегралы (14) не содержат градиентного разложения и вычисляются точно (численно).

перекрёстный канал не потенциален. Прямая квадратура силы показывает, что ${\mathbf{F}}_2$ в перекрёстном канале не есть градиент ни $W$, ни $\frac{1}{2}W$: при $\Theta =90^{\circ }$ отношение $({\mathbf{F}}_2\cdot \hat{d})/(-d{W}_{\times }/dd)$ пробегает $-0,46\dots -27$. Источник — член $\int \Delta {\rho }_2[({\mathbf{u}}_1\cdot \nabla ){\mathbf{u}}_2+{\mathbf{u}}_1\times (\nabla \times {\mathbf{u}}_2)]dV$, отсутствующий в вариации энергии по $R$; его доля растёт от $4$–$12\%$ при $\Theta =0$ до $3$–$55$ при $\Theta =90^{\circ }$. Работа по замкнутому контуру $d\in [0,8;1,5]\text{фм}$, $\Theta \in [0;90^{\circ }]$ при неподвижных спинах составляет $-19,7\text{МэВ}$ (контроль на заведомом градиенте $-\nabla (W/2)$ по тому же контуру: $-0,6\text{МэВ}$, сходится к нулю при измельчении). Приближение вмороженных элементов и линейной суперпозиции полей, таким образом, не порождает потенциала в спин-спиновом канале: $V_C^{\times }$ и $V_2^{\times }$ — компоненты энергетической формы, а не радиальные функции потенциала силы. Всасывающий канал этим не затронут (он точный градиент).

статус нормировки — вилка прочтений. Силовой аудит допускает два прочтения, и оба зафиксированы. (а) Силовое: первична сила на вмороженную массу; тогда ${\zeta }_{\mathrm{норм}}=0,5$, при ней дейтрон не связан, и связанность в схеме обеспечена калибровкой шкалы вдвое. (б) Энергетическое: первична форма $W$ (энергия погружения); сила на вмороженную массу неполна, потому что вмороженный элемент по построению не запасает энергию сжатия, и недостающая половина должна возвращаться сектором сжатия связанной фазы. Программа принимает (б) рабочей посылкой; её цена названа явно: сектор сжатия требует конститутива $p(\rho )$ связанной фазы, которого схема не содержит (раздел 11), и до его вывода $\zeta =1$ — посылка, а не результат. Проверяемое следствие посылки: конститутив обязан вернуть во всасывающем канале ровно недостающую половину ($\kappa \to 1$), не разрушив точный градиент; иное значение убьёт прочтение (б).

5.2 Разложение по углу и компоненты потенциала

Интегралы (14) вычислены численно (детали — приложение 13) на сетке $(d,\Theta )$ и разложены по полиномам Лежандра:

$$W_{\mathrm{suct}}(d,\Theta )=V_C(d)+V_2(d)P_2(\cos \Theta ),W_{\times }(d,\Theta )=V_C^{\times }(d)+V_2^{\times }(d)P_2(\cos \Theta ).$$

Для параллельных спинов классический аналог тензорного оператора $S_{12}=3({\mathbf{\sigma }}_1\cdot \hat{r})({\mathbf{\sigma }}_2\cdot \hat{r})-{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2$ равен $2P_2(\cos \Theta )$, поэтому тензорная радиальная функция $V_T=(V_2+V_2^{\times })/2$. Результаты — в таблице 4.

Компоненты энергии взаимодействия (14)–(15) (параллельные спины) при симметричной нормировке $\zeta =1$ формы (14); силовая нормировка вдвое меньше — вилка прочтений, см. замечания в разделе 5. Ни один параметр не подгонялся под ядерные данные. Строки $d<0,5\text{фм}$ лежат в области глубокого перекрытия, где ведущий порядок наименее надёжен; они приведены для полноты (низкоэнергетические наблюдаемые к этой области малочувствительны, раздел 5.3).

$d$, фм	$V_C$, МэВ	$V_2$, МэВ	$V_C^{\times }$, МэВ	$V_2^{\times }$, МэВ
0{,}2	$-64,5$	$-2,6$	$-109,6$	$-22,9$
0{,}3	$-61,8$	$-5,5$	$-88,4$	$-39,8$
0{,}4	$-57,6$	$-9,8$	$-67,5$	$-52,9$
0{,}5	$-52,5$	$-14,3$	$-50,0$	$-59,1$
0{,}7	$-41,9$	$-21,4$	$-27,8$	$-55,3$
0{,}9	$-32,2$	$-24,9$	$-15,9$	$-45,0$
1{,}0	$-28,0$	$-25,2$	$-11,9$	$-39,9$
1{,}2	$-20,7$	$-23,4$	$-6,0$	$-30,9$
1{,}4	$-14,7$	$-19,6$	$-2,1$	$-23,5$
1{,}6	$-9,9$	$-14,9$	$-0,03$	$-17,1$
2{,}0	$-4,1$	$-7,2$	$+1,0$	$-8,5$
2{,}5	$-1,2$	$-2,5$	$+0,7$	$-3,6$
3{,}2	$-0,2$	$-0,5$	$+0,3$	$-1,2$

Три обстоятельства заслуживают внимания.

Масштаб ямы воспроизведён. $V_C(0,9\text{фм})=-32\text{МэВ}$, $V_C(0,5\text{фм})=-52,5\text{МэВ}$ — эмпирический масштаб промежуточного притяжения ($V_0\approx 40$–$50\text{МэВ}$ [17]) получен без подгонки: он определяется массой нуклона (через $\hat{\rho }$), его спином (через ${\omega }_c$) и геометрией зон. Для сравнения: та же величина, вычисленная в несжимаемом приближении с плотностью ${\rho }_0$, составляла $-0,3\dots -1,1\text{МэВ}$ — см. (1). Грубая оценка проясняет механизм: масса нуклона 2, находящаяся в области скоростей $v\sim 0,1c$ течения нуклона 1, приобретает энергию связи $\sim m_p{v}^2/2\sim 5\text{МэВ}$, а с учётом более быстрых внутренних областей и второго (зеркального) члена — десятки МэВ; иными словами, глубина ядерной ямы есть малая доля энергии покоя нуклона, задаваемая квадратом характерной скорости внутреннего течения в единицах $c$.

о размерном происхождении масштаба ямы. Условие $J=\hslash /2$ при массе $m_p$ и фемтометровом размере задаёт характерную скорость $\bar{v}\sim \hslash /(2m_p\bar{r})$, поэтому

$$W\sim m_p{\bar{v}}^2\sim \frac{{\hslash }^2}{m_p{\bar{r}}^2}=41\text{МэВ}(\frac{1\text{фм}}{\bar{r}}{)}^2$$

— универсальный квантовый масштаб энергии системы массы $m_p$ и размера $\sim 1\text{фм}$. Правильный порядок глубины ямы, таким образом, гарантирован размерностью, как только спин откалиброван на $\hslash /2$: модель импортирует $\hslash$ через калибровку. Нетривиальное содержание расчёта — не порядок, а знаки всех компонент, иерархия каналов и $O(1)$-коэффициенты (их совокупная точность — ${\zeta }^{\ast }=0,845$, раздел 6), размерным анализом не фиксируемые.

Знак тензорной компоненты правильный. $V_2<0$, т.е. притяжение сильнее в осевой конфигурации ($\Theta =0$, спины вдоль линии центров): $W(d,0)=V_C+V_2$. В квантовой задаче это соответствует $V_T<0$ и связывает дейтрон в вытянутой (сигарообразной) конфигурации — положительный квадрупольный момент $Q_d>0$, в согласии с опытом (раздел 6).

Перекрёстный член упорядочивает каналы. $V_C^{\times }<0$ на средних расстояниях: со-вращательные мантии (параллельные спины, триплет) притягиваются сильнее противо-вращательных (синглет), что согласуется с фактами <<дейтрон связан, синглет — нет>>. Сравнение с AV18, однако, показывает, что эмпирически эта иерархия создаётся не центральным расщеплением, а тензорной связью каналов — знак спин-спиновой радиальной функции модели опровергается (раздел 7). На больших расстояниях $V_C^{\times }$ меняет знак (слабое дальнее отталкивание со-вращательных циркуляций $\sim +0,1$–$1\text{МэВ}$ при $2$–$4\text{фм}$) — след классического поведения пары одноимённых вихрей, экранированного компактностью мантии; в этой области знак и величина согласуются с AV18.

5.3 Жёсткий кор: упругость К–Ф на плотности ядра

При $d<2r_c$ перекрываются твердотельные ядра. Упругий отклик К–Ф-среды на взаимное внедрение завихрённых областей характеризуется модулем сдвига, вычисленным на локальной плотности ядра (а не на ${\rho }_0$, как в несжимаемой версии):

$$G_c=4{\pi }^2{\bar{\rho }}_c{v}^2(r_c)=1,8\cdot 10^{36}\text{Па},{\bar{\rho }}_c=⟨\Delta \rho {⟩}_{r<r_c}=2,2\cdot 10^{18}\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^3},$$

где использована ткаченковская связь $G\sim \rho {\Gamma }^2/r^2=4{\pi }^2\rho v^2$ с префактором, положенным равным единице: в A1 коэффициент упорядоченного предела конвенционален, порядка $10^{-1}$ [26]; для плотного твердотельного ядра его значение не вычислено и отнесено к $O(1)$-неопределённости кора. Чувствительность низкоэнергетического сектора к этой неопределённости умеренная: уменьшение $G_c$ в $4,3$ раза (иллюстративный $O(1)$-фактор) смещает $E_d$ на $0,4\text{МэВ}$ при фиксированном $\zeta$ и целиком поглощается перекалибровкой $\zeta$ на уровне $2\%$. Энергия упругой деформации при перекрытии

$$V_{\mathrm{rep}}(d)=G_c{V}_{\mathrm{lens}}(d){\left(\frac{2r_c-d}{2r_c}\right)}^2,d<2r_c,$$

где $V_{\mathrm{lens}}$ — объём линзы пересечения сфер радиуса $r_c$. Упругое отталкивание включается при $d=2r_c=0,5\text{фм}$ и нарастает до $\sim 10^3\text{МэВ}$ при глубоком перекрытии. В синглетном канале оно доминирует сразу: суммарный потенциал становится отталкивательным при $r\approx 0,48\text{фм}$ — эмпирический радиус кора [17] воспроизводится геометрией зоны $r_c$. Оговорка: $r_c=0,25\text{фм}$ — вход из подгонки электронного рассеяния, а не канонная величина; на канонном радиусе капли $R_p=0,594\text{фм}$ тот же расчёт даёт $0,70\text{фм}$ (параграф о канонной капле ниже), и совпадение с $0,48\text{фм}$ на канон не переносится; несущим решением программы принят канонный член (см. ниже). В триплетном канале притяжение перекрёстного члена частично экранирует стенку: суммарный $V_t$ остаётся притягивающим до $r\approx 0,18\text{фм}$ с ямой перекрытия $\approx -108\text{МэВ}$ при $r\approx 0,35\text{фм}$ (при ${\zeta }^{\ast }$). Область $d\lesssim 0,4\text{фм}$ лежит вне заявленной точности схемы (перекрытие максимально), однако низкоэнергетический сектор к ней малочувствителен: замена честно вычисленных точек $d=0,2$–$0,4\text{фм}$ таблицы 4 гладкой экстраполяцией смещает калиброванные предсказания таблицы 5 не более чем на $3\%$.

Тот же член на канонной капле. Формула (18) есть «модуль, умноженный на объём линзы». Канон серии задаёт для этого объекта и модуль, и радиус без подгонки: связанная фаза несёт ${\rho }_{\mathrm{core}}{c}^2=1,72\cdot 10^{35}$ Па ($1071$ МэВ/фм${}^3$) при локальном звуке $c$ точно (A3), а радиус капли $R_p=0,594\text{фм}$ следует из массы. Из стационарности канонного состояния ($p=p_0$) линейный член выпадает тождественно, и $\Delta E=\frac{1}{2}m{c}^2(\delta \rho /\rho {)}^2$; отсюда при $f(d)=V_{\mathrm{lens}}/V=(2R_p-d{)}^2(d+4R_p)/(16R_p^3)$

$$E_{\text{сж}}(d)=m_p{c}^2\frac{f^2}{(2-f{)}^2}\text{(пересборка при сохранении массы)},d<2R_p,$$

с насыщением $E(0)=m_p{c}^2$ и радиусом действия ровно $2R_p=1,188\text{фм}$: $60,9\text{МэВ}$ при $0,5\text{фм}$ и $0,31\text{МэВ}$ при $1,0\text{фм}$. Отношение модулей $G_c/({\rho }_{\mathrm{core}}{c}^2)=10,6=4{\pi }^2(v/c{)}^2({\bar{\rho }}_c/{\rho }_{\mathrm{core}})$, где первый множитель — тот самый ткаченковский префактор, объявленный выше конвенциональным. Численно $E_{\text{сж}}>V_{\mathrm{rep}}$ на всём интервале $d<2r_c$, то есть при включении канонного члена упругий кор становится поправкой. Прямой прогон: с $E_{\text{сж}}$ калибровка даёт ${\zeta }^{\ast }=0,98$ вместо $0,845$, при $\zeta =1$ без калибровки $E_d=-2,68\text{МэВ}$ и $P_D=4,19\%$; ценой служит радиус кора, уезжающий с $0,476$ на $0,703\text{фм}$. Развилка «жёсткая суперпозиция / пересборка / деформация при постоянной плотности» не разрешена: первое прочтение даёт $33\text{МэВ}$ при $1\text{фм}$ и дейтрон не связывает. Решением программы канонный член (19) принят несущим членом отталкивания: упругая оценка (18) на подгоночном $r_c$ сохраняется как историческая скобка $O(1)$, и числовые таблицы статьи (табл. 4, 5) пока посчитаны на ней; пересборка счёта на $E_{\text{сж}}$ — отложенная задача с уже известными реперами (${\zeta }^{\ast }=0,98$; $E_d=-2,68\text{МэВ}$ и $P_D=4,19\%$ при $\zeta =1$). Цена принятия зарегистрирована честно: стенка синглета выходит на $0,70\text{фм}$ против эмпирических $\sim 0,5$ — расхождение сектора того же класса, что знак $V_{\sigma }$ и спин-орбита (вопросы к спиновому/скоростному сектору схемы, раздел 11).

5.4 Каналы потенциала

Собирая компоненты, получаем канальные потенциалы (классическое соответствие: параллельные спины $\to$ триплет, антипараллельные $\to$ синглет; перекрёстный член меняет знак):

$$\boxed{V_t(r)=V_C+V_C^{\times }+V_{\mathrm{rep}},V_s(r)=V_C-V_C^{\times }+V_{\mathrm{rep}},V_T(r)=\frac{1}{2}\left(V_2+V_2^{\times }\right),}$$

причём тензорная компонента действует только в триплете. Характерные значения при $\zeta =1$: $V_t(1\text{фм})=-40\text{МэВ}$, $V_s(1\text{фм})=-16\text{МэВ}$, $V_T(1\text{фм})=-33\text{МэВ}$; минимум триплетного канала $\approx -130\text{МэВ}$ при $r\approx 0,34\text{фм}$ (рис. (20); рисунок построен при калиброванной нормировке ${\zeta }^{\ast }=0,845$, минимум там $\approx -108\text{МэВ}$).

Канальные потенциалы (20) при калиброванной нормировке $\zeta =0,845$. Вертикальные линии — геометрические масштабы $2r_c$ и $r_m$.

о квантовании спиновой структуры. Классический расчёт даёт два канала (со- и противо-вращение) и угловую зависимость $P_2$. Переход к квантовой задаче выполняется стандартным сопоставлением: $V_C\pm V_C^{\times }\to$ центральные потенциалы каналов $S=1,0$; $V_T{S}_{12}\to$ тензорный оператор с матричными элементами $⟨{}^3{S}_1|S_{12}|{}^3{D}_1⟩=2\sqrt{2}$, $⟨{}^3{D}_1|S_{12}|{}^3{D}_1⟩=-2$. Операторная алгебра спина-$\frac{1}{2}$ при этом вводится, а не выводится из механики — см. раздел 11.

5.5 Зарядовая независимость и спин-орбитальная компонента

Зарядовая независимость. Втягивающий член $W_{\mathrm{suct}}$ зависит только от $u_i^2$ и $\Delta {\rho }_i$; и профиль скоростей (3), и плотностное поле (5) одинаковы для протона и нейтрона (различие — лишь в знаке ${\Gamma }_c$ и в зонной хиральности — носителе знака заряда, — ни один из которых в $u^2$ не входит). Перекрёстный член зависит от знака произведения мантийных циркуляций, т.е. от спинов, но не от изоспинов. Отсюда $V_{pp}=V_{nn}=V_{np}$ в каждом спиновом канале — зарядовая независимость с точностью до электромагнитных поправок. Малое нарушение зарядовой симметрии возможно лишь на масштабе кора ($d<2r_c$), где перекрываются ядра и знак ${\Gamma }_c$ различает со- и противо-вращательные пары; это согласуется с эмпирической малостью эффекта ($\sim$МэВ при $r\lesssim 0,5\text{фм}$).

о со-вращательном приближении и изоспиновой кинематике ядра. Все расчёты настоящей работы используют непрерывный профиль (3), т.е. со-вращающиеся ядро и мантию. Конфигурация нейтрона с противовращающимся ядром (таблица 2) в эту кинематику не вписывается без переходного слоя при $s\approx r_c$, и здесь есть неразрешённое натяжение: область $s<r_c$ несёт $10,2\%$ спинового интеграла (8) (при $r_c:={\bar{\lambda }}_C$ было бы $7,7\%$, т.е. $J_n=0,85\cdot \hslash /2$ — натяжение смягчается, но не снимается), поэтому либо (а) амплитуды полей нейтрона и протона равны — тогда $u^2$-сектор и зарядовая независимость точны, но $J_n=0,795\cdot \hslash /2$, либо (б) профиль нейтрона перекалиброван на $J=\hslash /2$ — тогда зарядовая независимость нарушалась бы на уровне десятков процентов, что исключено опытом. Оба варианта неприемлемы. Зарядовая сторона перехода $p\to n$ этим натяжением не затронута: в хиральном дуплексе A3 знак заряда несёт хиральность мантии, в течения не входящая. Натяжение остаётся чисто моментным: какой контур несёт инверсию момента при переходе $p\to n$ — вероятно, циркуляция, выпадающая из ядерного сектора, например меридиональная (раздел 3.4; такой перенос отвечает хиральному канону A1 A1: знак — относительная ориентация двух циркуляций вихря, а не одного контура), — но такое переопределение требует пересмотра кинематики ядра на уровне работы A3 и вынесено в открытые проблемы (раздел 11). Ядерный сектор при этом ограничивает выбор носителя моментной инверсии количественно: если инверсия ложится на контур, порождающий поле перекрёстного члена, то перекрёстный интеграл меняет знак между $np$- и $pp$-парой, и зарядовая независимость ломается на $2\zeta |V_C^{\times }|=20,1\text{МэВ}$ при $1\text{фм}$ (отношение синглетных длин $a_s(np)/a_s(pp)=5,3$) — на порядок выше собственной оценки «$\sim \text{МэВ}$ при $r\lesssim 0,5\text{фм}$» выше по разделу. Носитель инверсии обязан быть контуром, в $W_{\times }$ не входящим, — что и предполагается здесь (меридиональная циркуляция) (E5). На результаты настоящей работы натяжение не влияет: все вычисленные наблюдаемые ($np$-система, зарядово-независимые каналы) определяются мантийным полем и $u^2$-сектором, одинаковыми для обоих нуклонов в со-вращательном приближении.

Спин-орбитальная компонента. При орбитальном движении нуклона 2 со скоростью ${\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$ в дефиците энтальпии появляется перекрёстный член $-\Delta {\rho }_2{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{v}}_{\mathrm{orb}}$. Количественный расчёт выполнен, и результат отрицательный — изложим его прямо. В системе центра масс пары этот член сводится к $V_{LS}(d)\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}/{\hslash }^2$ с $V_{LS}(d)=-g_0(d)\hslash /(\mu d)$, где $\int \Delta {\rho }_2{\mathbf{u}}_{1}dV=g(d,\Theta )({\hat{\mathbf{s}}}_1\times \hat{\mathbf{R}})$; численно $V_{LS}(1\text{фм})=-57,8\text{МэВ}$ при $\zeta =1$, знак для свободной пары верен. Однако (а) разложение по чистому $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$ законно лишь до $\sim 1,2\text{фм}$: примесь $P_2$ достигает $0,92$ от главного члена уже при $1\text{фм}$; (б) LS-член линеен по полю среды и несёт один экранирующий множитель, тогда как центральный квадратичен и несёт два, поэтому спин-орбита схемы обязана быть вдвое дальнобойнее центральной силы, тогда как эмпирически она самая короткодействующая ($|V_{LS}/\bar{V}|$ схемы растёт $1,44\to 7,04$ на $0,6\to 2,5\text{фм}$, у AV18 падает $1,27\to 0,01$); (в) главное: схема не галилей-инвариантна — энтальпия строится в системе покоя среды, и в энергию входит абсолютная скорость нуклона. Поэтому механизм порождает не ${\mathbf{L}}_{\text{отн}}\cdot \mathbf{S}$, а только внедиагональные структуры ${\mathbf{s}}_1\otimes {\mathbf{p}}_2$ и ${\mathbf{s}}_2\otimes {\mathbf{p}}_1$, а они в спин-насыщенном покоящемся коре зануляются точно (спиновая плотность замкнутой оболочки равна нулю; массовый ток замкнутой оболочки равен нулю по $T$-инвариантности). Одночастичная спин-орбита от выписанного здесь члена тождественно равна нулю. Свёртку переживает лишь диагональный член $-\int \Delta {\rho }_{\text{партн}}({\mathbf{u}}_{\text{собств}}\cdot {\mathbf{w}}_{\text{собств}})dV$ (собственный свирл на собственном перен’{о}сном поле $\mathbf{w}$), в схеме не выписанный: он даёт $U_{ls}(R)=-2\hslash T_0{n}^{\prime }(R)/R\cdot (\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}/{\hslash }^2)$ с $T_0=\frac{1}{2}\int \chi s_{\perp }U{d}^{3}s$. Так как $n^{\prime }<0$, а $T_0>0$ при любом перен’{о}сном профиле с $\chi \ge 0$ (внешнее дипольное течение даёт в $T_0$ точный ноль: вне осевого цилиндра $s_{\perp }U$ зависит только от $r$, а $\oint (3{\cos }^2\theta -1)d\Omega =0$), уровень $j=l+\frac{1}{2}$ выходит выше, а не ниже. Величина не мала: при жёсткой мантии расщепления $-7,6/-12,1/-12,7\text{МэВ}$ для $1p/1d/1f$ против эмпирических $+6,3/+5,0/+6,8$. Спин-орбитальный сектор поэтому структурно расходится с опытом — дефект того же класса, что знак $V_{\sigma }$; закрытие требует пересмотра посылки о поле, создаваемом движущимся нуклоном (раздел 11).

6. Дейтрон и низкоэнергетическое рассеяние

6.1 Постановка и коэффициент самосогласованности

Квантовая задача решается для гамильтониана с потенциалами (20): связанные каналы ${}^3{S}_1$–${}^3{D}_1$ для дейтрона и триплетного рассеяния, одноканальная задача для синглета (метод — приложение 13). Приведённая масса $\mu =m_p{m}_n/(m_p+m_n)$, ${\hslash }^2/2\mu =41,47\text{МэВ}\cdot {\text{фм}}^2$.

Схема (14) несёт неопределённости, и они разной природы. Нормировка вычислена (пункт (iv) замечания в разделе 5): силовой аудит даёт ${\zeta }_{\mathrm{норм}}=0,5$ — симметричная форма (14) считает пару дважды. Отождествление массового профиля с зарядовым общим множителем не является. Остаётся невычисленной взаимная деформация полей при перекрытии. Мы сохраняем ниже один множитель $\zeta$ при интегралах ($V_C,V_2,V_C^{\times },V_2^{\times }\to \zeta \cdot$) как технический параметр шкалы; его прочтение — вилка (замечание «статус нормировки» в разделе 5): в силовом прочтении первопринципное значение равно $0,5$, в принятом программой энергетическом прочтении $\zeta =1$ — посылка, ожидающая сектора сжатия. Минимальная калибровка фиксирует $\zeta$ по единственному условию $E_d=-2,2246\text{МэВ}$:

$$\boxed{{\zeta }^{\ast }=0,845}$$

— в пределах ожидаемой $O(1)$-погрешности схемы. Близость ${\zeta }^{\ast }$ к единице — свойство выбранной симметричной нормировки, а не $15$-процентная точность интегралов: относительно вычисленной силовой нормировки ${\zeta }_{\mathrm{норм}}=0,5$ калибровка (21) есть множитель $1,69$. Порог связывания на этих потенциалах — ${\zeta }_{\mathrm{thr}}=0,698$ (при $\zeta =0,5$ дейтрон не связан: $E_d=+0,38\text{МэВ}$), поэтому в силовом прочтении связанность дейтрона обеспечена именно калибровкой; в принятом энергетическом прочтении её несёт форма $W$, и вопрос заблокирован до конститутива сжатия. После (21) модель не имеет других свободных параметров, и остальные величины — предсказания при заданной шкале.

6.2 Результаты

Дейтрон и низкоэнергетические параметры $NN$-рассеяния. ${}^{†}$ калибровочное условие; остальные строки столбца ${\zeta }^{\ast }$ — предсказания. Экспериментальные значения — [17, 18].

Величина	$\zeta =1$ (симметричная)	${\zeta }^{\ast }=0,845$	Опыт
$E_d$, МэВ	$-7,27$	$-2,2246^{†}$	$-2,2246$
$P_D$, %	$4,96$	$3,1$	4–6
$Q_d$, фм${}^2$	$+0,128$	$+0,172$	$+0,286$
$r_d$, фм	$1,17$	$1,84$	$1,97$
$a_t$, фм	$+3,22$	$+5,15$	$+5,42$
$r_{e,t}$, фм	$1,32$	$1,47$	$1,75$
$a_s$, фм	$-2,1$	$-1,5$	$-23,7$
$r_{e,s}$, фм	$4,5$	$5,2$	$2,7$

Радиальные волновые функции дейтрона $u(r)$ (${}^3{S}_1$) и $w(r)$ (${}^3{D}_1$) при ${\zeta }^{\ast }=0,845$.

Обсудим таблицу 5 по строкам (волновые функции дейтрона — рис. 5).

Связанность и масштаб. При симметричной нормировке $\zeta =1$ дейтрон связан с $E_d=-7,3\text{МэВ}$ — правильный порядок (эмпирическое значение в 3,3 раза меньше по модулю); при вычисленной силовой нормировке $\zeta =0,5$ связанного состояния нет ($E_d=+0,38\text{МэВ}$, порог ${\zeta }_{\mathrm{thr}}=0,698$). Замена массового профиля на канонную каплю $R_p=0,594\text{фм}$ сдвигает порог до $0,573$, то есть не покрывает разрыв. Сам факт связанности и её масштаб нетривиальны лишь отчасти: порядок величины гарантирован размерно (замечание в разделе 5.2), несжимаемая же версия не связывала дейтрон вовсе; содержательно здесь то, что $O(1)$-коэффициенты первопринципной схемы попали в окно связывания.

D-примесь. $P_D=5,0\%$ при $\zeta =1$ — в центре эмпирического окна 4–6,%; отношение тензорной и центральной компонент — чисто геометрическое свойство модели (анизотропия поля (3)), от $\zeta$ не зависящее. Сама $P_D$, однако, от нормировки зависит (кинетический член не масштабируется вместе с потенциалом): калиброванное значение $3,1\%$ лежит несколько ниже эмпирического окна.

Триплетное рассеяние. $a_t=+5,15\text{фм}$ (опыт $+5,42$, отклонение $5\%$) и $r_{e,t}=1,47\text{фм}$ (опыт $1,75$, отклонение $16\%$).

о статусе $a_t$ и $r_d$ после калибровки. После фиксации $E_d$ триплетная длина рассеяния связана с эффективным радиусом универсальным соотношением полюса дейтрона $a_t\simeq [\gamma -\frac{1}{2}{\gamma }^2{r}_{e,t}{]}^{-1}$, $\gamma =\sqrt{2\mu |E_d|}/\hslash =0,232{\text{фм}}^{-1}$: подстановка модельного $r_{e,t}=1,47\text{фм}$ даёт $a_t=5,20\text{фм}$ (прямой расчёт — $5,15$); радиус $r_d$ аналогично контролируется асимптотикой $e^{-\gamma r}$. Согласие $a_t$ и $r_d$ с опытом — следствие калибровки $E_d$ и низкоэнергетической универсальности, а не независимая проверка. Независимые предсказания формы потенциала после калибровки — $r_{e,t}$, $P_D$ и $Q_d$; все три занижены (на 16, $\sim 23$ и 40,% соответственно; для $P_D$ — от нижней границы окна 4–6,%), причём согласованно: общий источник — недобор дальней части тензорной компоненты (${\lambda }_{\mathrm{Tk}}=1,0\text{фм}$ против ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$; слишком короткое экранирование).

Квадрупольный момент. Знак правильный (вытянутый дейтрон), величина занижена в $\sim 1,7$ раза — недобор дальней части $D$-волны, чувствительной к форме тензорного потенциала за пределами мантии.

Синглетный канал. Знак правильный: синглет притягивающий, но не связанный ($a_s<0$), однако величина далека от эмпирической ($-1,5$ против $-23,7\text{фм}$). Вблизи порога $a\propto (V_{\mathrm{crit}}-V{)}^{-1}$, и воспроизведение $|a_s|=23,7\text{фм}$ (канал в $\sim 70\text{кэВ}$ от порога) требует точности глубины ямы в доли процента — вне досягаемости $O(1)$-схемы; но сравнение с AV18 (раздел 7) показывает, что дело не только в чувствительности: знак самого канального расщепления противоположен эмпирическому, и синглетная яма недобирает глубину систематически, а не из-за неудачной настройки. Это первый пункт списка открытых проблем (раздел 11).

7. Выполненный тест: сравнение с AV18

Геометрическое происхождение спиновой зависимости жёстко связывает спин-спиновую и тензорную компоненты: обе определяются одними и теми же интегралами таблицы 4. В стандартном операторном разложении $V=V_0+V_{\sigma }{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+V_T{S}_{12}+\dots$ спин-спиновая радиальная функция модели $V_{\sigma }=V_C^{\times }/2$, и отношение $R(r)=V_{\sigma }/V_T$ не содержит ни $\zeta$, ни каких-либо свободных параметров. Это предсказание проверено прямым сравнением с радиальными компонентами феноменологического потенциала AV18 [18], восстановленного из фазового анализа; сопоставляются $np$-величины $V_{\sigma }=[V_c({}^3{S}_1)-V_c({}^1{S}_0)]/4$ и тензорная функция канала $T=0$ (детали порта эталонного кода AV18 и его валидация — приложение 13). Сопоставляемая величина — канальная разность: в полном операторном базисе AV18 она равна $v_{\sigma }-v_{\tau }$ (а тензор канала $T=0$ — $v_t-3v_{t\tau }$), так что существенная часть знака $V_{\sigma }^{AV18}>0$ идёт от изоспинового (однопионного) канала; для модели без $\tau$-структуры эта разность совпадает с её $V_{\sigma }$, и вывод о знаке от представления не зависит. Результат — рис. 6 и таблица 6.

Спин-спиновая и тензорная радиальные функции (в МэВ): модель (при ${\zeta }^{\ast }$; отношение $R=V_{\sigma }/V_T$ от $\zeta$ не зависит) против AV18 ($np$-сектор).

$r$, фм	$V_{\sigma }^{\text{мод}}$	$V_{\sigma }^{AV18}$	$V_T^{\text{мод}}$	$V_T^{AV18}$	$R^{\text{мод}}$	$R^{AV18}$
0{,}7	$-11,7$	$+15,3$	$-32,4$	$-74,3$	$+0,36$	$-0,21$
0{,}9	$-6,7$	$+13,4$	$-29,5$	$-59,0$	$+0,23$	$-0,23$
1{,}0	$-5,0$	$+10,4$	$-27,5$	$-51,4$	$+0,18$	$-0,20$
1{,}2	$-2,6$	$+5,4$	$-23,0$	$-36,6$	$+0,11$	$-0,15$
1{,}4	$-0,9$	$+2,6$	$-18,2$	$-24,7$	$+0,05$	$-0,11$
1{,}6	$0,0$	$+1,3$	$-13,5$	$-16,5$	$0,00$	$-0,08$
2{,}0	$+0,4$	$+0,4$	$-6,6$	$-7,8$	$-0,06$	$-0,05$

Сравнение с AV18: (а) спин-спиновая функция $V_{\sigma }$; (б) тензорная функция $V_T$ ($T=0$); (в) свободное от параметров отношение $R=V_{\sigma }/V_T$.

Тензорная компонента подтверждается. Знак и форма правильные во всей области; отношение модель/AV18 составляет $0,44$; $0,54$; $0,74$; $0,85$; $0,57$ при $r=0,7$; $1,0$; $1,4$; $2,0$; $3,0\text{фм}$. Дефицит сосредоточен на средних расстояниях (до двух раз при $r\lesssim 1\text{фм}$) и в дальнем хвосте (слишком короткое экранирование: ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}=1,0$ против ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$); лучшее согласие — в зоне $1,6$–$2,2\text{фм}$. Диагноз заниженных $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$ (раздел 6) тем самым уточняется: недобор тензора не только дальний, но и промежуточный.

Знак спин-спиновой компоненты опровергается. В AV18 $V_{\sigma }>0$ во всей области $0,55$–$3,9\text{фм}$ (максимум $+16\text{МэВ}$ при $0,75\text{фм}$): центральный канал ${}^1{S}_0$ глубже центрального ${}^3{S}_1$; модель даёт $V_{\sigma }<0$ при $r<1,6\text{фм}$. Контрольный расчёт обнажает физику расхождения: центральный потенциал ${}^3{S}_1$ AV18 сам по себе дейтрон не связывает и далёк от порога ($a=-1,69\text{фм}$) — связывание целиком обеспечено тензорным смешиванием каналов, тогда как почти связанный синглет ($a_s=-23,7\text{фм}$) — глубоким центральным притяжением. Модель распределяет притяжение противоположным образом: иерархию каналов создаёт центральное расщепление (перекрёстный член), а тензор вдвое слабее. Обе конструкции воспроизводят факты <<дейтрон связан, синглет нет>>, но радиальное разложение их различает — данные на стороне тензорного механизма. Отсюда же систематический, а не настроечный характер провала $a_s$: член, который в данных придвигает синглет к порогу, в модели его отодвигает.

Что это означает для модели. Знак $V_C^{\times }$ — структурное свойство схемы (со-вращательные мантии притягиваются сильнее), и ни $\zeta$ (в $R$ сокращается), ни нормировочная неоднозначность формы (14) (общий множитель) его не меняют. Путь через переприсвоение классических конфигураций квантовым каналам закрыт счётом. Компоненты $V_C^{\times }$ и $V_2^{\times }$ — лежандровы части одного интеграла $W_{\times }$, поэтому любое знаковое вложение вносит общий префактор $\epsilon =\pm 1$: $V_{\sigma }=\epsilon V_C^{\times }/2$, $V_T=(V_2+\epsilon V_2^{\times })/2$. Поскольку $V_2<0$, $V_2^{\times }<0$ и $|V_2^{\times }|>|V_2|$ на всём диапазоне $0,2$–$3,2\text{фм}$ (минимум отношения $1,145$ при $1,8\text{фм}$), знак $V_T$ обращается вместе со знаком $V_{\sigma }$, и отношение $R=V_{\sigma }/V_T$ остаётся положительным при любом присвоении, тогда как AV18 требует $R<0$ ($-0,23$ при $0,75\text{фм}$). Буквальная зарядовая метка даёт при этом структуру ${\tau }_{z1}{\tau }_{z2}$, а не ${\mathbf{\tau }}_1\cdot {\mathbf{\tau }}_2$, и ломает зарядовую независимость на $20,1\text{МэВ}$ при $1\text{фм}$; изоспиново спроецированное вложение сохраняет её, но даёт $V_{\sigma }\equiv 0$ и переворачивает знак тензора ($V_T(1\text{фм})=+6,2\text{МэВ}$, $Q_d<0$ при любом $\zeta$). Остаётся единственный путь — расчёт следующего порядка по перекрытию (взаимная деформация полей, пункт (i) замечания в разделе 5), способный перераспределить перекрёстный интеграл между $V_C^{\times }$ и $V_2^{\times }$ — усиление тензора одновременно закрыло бы и его недобор, и заниженные $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$; цель и потолок этого пути специфицированы ниже (осевой инвариант).

Поздняя сверка: профиль знака не чинит. Кандидат «пересчитать $W_{\times }$ с наведённым спином» (поздний канон: спин наведён средой и опирается на тело — каплю связанной фазы $R_p=0,594$ фм) исполнен. (Счёт: calc_wcross_induced_P5.py; старый профиль воспроизводит таблицу 4 в пределах $1$–$4\%$.) Наведённые профили (увлечённый шар с ротлетом $\propto \sin \theta /r^2$ снаружи; тонкий слой толщины ${\bar{\lambda }}_C=0,21$ фм на стенке) при той же спин-калибровке $J=\hslash /2$ дают: $V_{\sigma }$ остаётся отрицательной при $d\lesssim 1,25$ фм у всех профилей (нуль сдвигается с $1,5$ к $1,25$ фм — в сторону AV18, но не в ноль), а тензор $V_T(1\text{фм})$ слабеет с $-33$ до $-5,9/-3,0$ МэВ (пересчёт на канонном $R_p=0,594$ фм) — наивная замена профиля убивается уже дейтронным тензорным успехом. Вывод: знак $V_C^{\times }$ робастен к форме спинового поля (скобка «мантийный — наведённый» накрывает разумные варианты), и расхождение остаётся на путях (а)–(б) выше, а не в профиле. Уточнение адресата килла. Оба проверенных профиля отличались от канона дважды: радиусом ($0,636$ фм вместо ${\bar{\lambda }}_C=0,210\text{фм}$) и дальним полем (ротлет вместо безвихревого хвоста). Убил их второй дефект: канонный слой на ${\bar{\lambda }}_C$ со свободно-вихревым хвостом даёт $V_T(1\text{фм})=-33,0\text{МэВ}$ и $V_C(1\text{фм})=-28,7\text{МэВ}$ (для сравнения, та же квадратура на поле (3) даёт $-31,4$ и $-27,9$ против $-32,55$ и $-28,0$ таблицы 4), тогда как тот же слой с ротлетом — $-6,0\text{МэВ}$. Ротлет есть вязкое стоксово решение с завихрённостью, размазанной по всему пространству (безразмерная завихрённость $|\nabla \times \mathbf{v}|r/v=\sqrt{5}$ на всех радиусах против машинного нуля у безвихревого хвоста), и потому противоречит самому слову «слой» — как и утверждению настоящей работы о локализации закрутки внутри $r_m$. Тензором убита не наведённость спина, а ротлетное дальнее поле; знак $V_{\sigma }$ при этом остаётся отрицательным и у канонного профиля ($-5,58\text{МэВ}$ при $1$ фм), так что вывод о робастности знака не затронут. Формулировка утверждена каноном: завихрённость наведённого слоя заперта в слое радиуса ${\bar{\lambda }}_C$, снаружи — безвихревое поле с сохраняющейся ${\Gamma }_s=h/2m$ (A6); сверка настоящего абзаца тем самым — килл ротлета, а не наведённости.

осевой инвариант. При $\Theta =0$ оба азимутальных поля вращаются вокруг одной оси, а оба плотностных холма осесимметричны относительно неё, поэтому ${\mathbf{u}}_i\cdot \nabla {\rho }_j\equiv 0$: суперпозиция удовлетворяет непрерывности точно, и поправка следующего порядка по перекрытию (пункт (i) замечания в разделе 5) при $\Theta =0$ равна нулю. Следовательно комбинация $W(d,0)=V_t(d)+2V_T(d)$ — инвариант этой поправки, и её сравнение с опытом не зависит ни от офф-шелл разбиения на центр и тензор, ни от перераспределения перекрёстного интеграла. Численно (при ${\zeta }^{\ast }$) $W(d,0)/W^{AV18}(d,0)=0,75$; $0,58$; $0,77$; $0,79$ при $d=0,75$; $1,0$; $1,4$; $2,0\text{фм}$ — недобор $21$–$42\%$, который перераспределением не снимается и ложится на $\zeta$ и нормировочную неоднозначность формы (14). Отсюда же потолок пути (б): чтобы вывести тензор на AV18 при сохранении инварианта, центральный триплет обязан стать отталкивательным ($V_t=+14\text{МэВ}$ при $1\text{фм}$), а требуемый $|V_2^{\times }|$ в $1,86$ раза превышает весь перекрёстный вес $|V_C^{\times }|+|V_2^{\times }|$.

Инвариант связывает оба расхождения в одно. Если потребовать от поправки следующего порядка только воспроизведения $V_{\sigma }^{AV18}$ при её собственном ограничении $\delta V_C^{\times }+\delta V_2^{\times }=0$, тензор получается сам: $V_T/V_T^{AV18}=0,83$–$0,88$ ровно на всём окне $0,75$–$2,0\text{фм}$, $Q_d$ растёт с $0,172$ до $0,241{\text{фм}}^2$ (опыт $0,286$), $P_D$ — с $3,1$ до $4,6\%$, синглет уходит к порогу. Требуемый перенос — $36,5\text{МэВ}$ при $1\text{фм}$, т.е. $70\%$ перекрёстного веса, тогда как строгая нижняя оценка относительной поправки поля составляет $10$–$17\%$ (гельмгольцева продольная доля $\rho \mathbf{u}$ при $d=1\text{фм}$), что при билинейности $W_{\times }$ даёт $\sim 35\%$: недобор примерно вдвое. Это спецификация задачи, а не её решение (E5).

о зависимости от представления. Разбиение потенциала на центральную и тензорную части не является прямой наблюдаемой (офф-шелл свобода), и AV18 — лишь одна из фазово-эквивалентных параметризаций. Однако порядок центральных каналов ${}^1{S}_0$/${}^3{S}_1$ общий для реалистических потенциалов и на он-шелл уровне закреплён почти связанным синглетом; знак модельного $V_{\sigma }$ с этим несовместим. Деталь противоположного свойства: в хвосте $1,8$–$2,2\text{фм}$ слабое отталкивание со-вращательных циркуляций, предсказанное моделью ($+0,3$–$0,4\text{МэВ}$), согласуется с AV18 и по знаку, и по величине.

8. Многонуклонные системы: оценки и пределы применимости

8.1 Масштаб энергии связи ядерного вещества

Среднеполевая оценка энергии на нуклон симметричного ядерного вещества с усреднённым по спинам парным потенциалом $\bar{V}=\frac{3}{4}{V}_t+\frac{1}{4}{V}_s$ (без тензорной компоненты) при эмпирической плотности $n_0=0,16{\text{фм}}^{-3}$ даёт

$$\frac{E}{A}{|}_{n_0}\approx \underset{\text{ферми-газ}}{\underbrace{22\text{МэВ}}}\underset{\frac{n}{2}\int \bar{V}{d}^{3}r}{\underbrace{-41\text{МэВ}}}=-19\text{МэВ}(\text{опыт: }-16\text{МэВ}),$$

— правильный масштаб: расхождение с эмпирическим объёмным членом формулы Вайцзеккера ($-16\text{МэВ}$) составляет $\sim 20\%$. Две оговорки. Во-первых, из этих $-19\text{МэВ}$ слагаемое $+22\text{МэВ}$ импортировано целиком (ферми-газ: $3/5E_F$ при $k_F=1,333{\text{фм}}^{-1}$), своего механизма у схемы нет. Во-вторых, слагаемое $-41\text{МэВ}$ получено в приближении $g(r)\equiv 1$, разрешающем партнёрам стоять на $0,7$–$1,0\text{фм}$, тогда как при $n_0$ ближайший сосед (ГЦК) стоит на $2,07\text{фм}$, где $\bar{V}=-3,6\text{МэВ}$: та же $\bar{V}$ при кристаллической корреляции даёт $-14,4$ вместо $-41,8\text{МэВ}/A$, то есть $E/A=+7,6\text{МэВ}$ (несвязанное вещество). Вилка по модели корреляций — от $-19,8$ до $+7,6\text{МэВ}/A$, и $20\%$-я точность внутри неё не удерживается.

8.2 Насыщение: честная констатация

Среднеполевая сумма парных притяжений растёт линейно с $n$ и не останавливается: в чисто классической постановке модель не насыщается. Причина сильнее, чем отсутствие статистики: функция $E/A=a{n}^{2/3}-bn$ не имеет минимума ни при каких $a,b>0$ (её единственная критическая точка — максимум, здесь при $0,044n_0$), поэтому фермиевское давление, даже будучи импортированным, насыщения не ставит; нужен член, растущий быстрее линейного по $n$. Кор минимума тоже не ставит и при сколь угодно высокой плотности: решёточная сумма (ГЦК, тот же $\bar{V}$) монотонно падает до $600n_0$ ($d_{\mathrm{nn}}=0,245\text{фм}$, вдвое внутри кора), потому что весь упругий кор даёт $\int V_{\mathrm{rep}}{d}^{3}r=+13,1\text{МэВ}{\text{фм}}^3$ против $\int \bar{V}{d}^{3}r=-522\text{МэВ}{\text{фм}}^3$ — $2,5\%$ объёмного интеграла, а именно объёмный интеграл определяет $E/A$. Эмпирическое насыщение обеспечивается в первую очередь фермиевским давлением $\propto n^{5/3}$ и короткодействующими корреляциями — квантовыми механизмами, не имеющими классического аналога в текущей версии (квантование угловых моментов вихрей — открытая проблема). Классические механизмы — геометрическое ограничение координационного числа ($Z\le 12$) [19], давление энстрофии $\propto n$ и топологический запрет перезамыкания вихрей [24] — дают правильное направление, но не степень $n^{5/3}$. Мы фиксируем это как принципиальное ограничение, а не маскируем подгонкой.

8.3 Качественные следствия для структуры ядер

Количественный расчёт спин-орбитальной компоненты (раздел 5.5) выполнен. Одночастичная спин-орбита от выписанного там механизма равна нулю, а от диагонального члена, который свёртку переживает, выходит с обратным знаком ($j=l+\frac{1}{2}$ выше) и величиной порядка эмпирической. Поэтому права наследовать магические числа $28,50,82,126$ схема не получает: с такой спин-орбитой порядок заполнения оболочек был бы иным. Числа $2,8,20$ выпадают из любого гладкого центрального потенциала и достижением не являются. Магические числа остаются невоспроизведёнными — см. развилку A5 (сложные ядра). Тетраэдрическая конфигурация четырёх вихрей с попарно противоположными ${\Gamma }_c$ (2$p$+2$n$, $J=0$) выделена энергетически — качественное согласие с аномальной связанностью $\alpha$-частицы и кластерной структурой лёгких ядер; количественный расчёт требует трёхтельного члена — домен A5 (сложные ядра); оговорка A5: наивная форма $\int \rho {\mathbf{u}}_1\cdot ({\mathbf{u}}_2\times {\mathbf{u}}_3)dV$ энергией не является (размерность не джоуль) — это мера зацепления тройки, а сама трёхтельная энергия имеет иную, не построенную форму.

9. Сводная таблица: что воспроизведено

Таблица 7 сопоставляет модель с каталогом эмпирических закономерностей $NN$-взаимодействия.

Сводка соответствия эмпирическим закономерностям $NN$-взаимодействия [17, 18]. ✓ — воспроизведено количественно; $\sim$ — частично; $\times$ — не воспроизведено (см. разделы 7 и 11).

Закономерность (опыт)	Модель	Статус
Радиус кора $a_c\approx 0,5\text{фм}$	канонный член сжатия (несущий): стенка синглета при $0,70\text{фм}$ ($2R_p$-геометрия); упругая оценка на подгоночном $r_c$ давала $0,48$; триплет: стенка экранирована	$\sim$
Глубина ямы $V_0\approx 40$–$50\text{МэВ}$	$V_C(0,7\dots 0,9\text{фм})=-32\dots -42\text{МэВ}$ без подгонки	✓
Радиус действия 1–2,фм	$r_m=1,3\text{фм}$ + хвост ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$	✓
Юкавская длина ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$	${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx 1,0\text{фм}$ ($-30\%$)	$\sim$
Центральная сила	$W_{\mathrm{suct}}$, ур. (14)	✓
Иерархия каналов (дейтрон связан, синглет нет)	знак $V_C^{\times }$	✓
Спин-спиновая $V_{\sigma }$ (AV18, разд. 7)	знак противоположен при $r<1,6\text{фм}$	$\times$
Тензорная $S_{12}$, $V_T<0$, $Q_d>0$	знак/форма да (AV18), недобор до 2 раз	✓/$\sim$
Спин-орбитальная $\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$	перекрёстный член Бернулли: в паре знак верен, в ядре одночастичная свёртка даёт ноль, а диагональный член — обратный знак	$\times$
Зарядовая независимость ($\lesssim 2\%$)	$u^2$-механизм, ур. (14)	✓
Нарушение зарядовой симметрии при $r<0,5\text{фм}$	знак ${\Gamma }_c$ в коре	качеств.
Дейтрон: $E_d,J^{\pi }=1^{+},P_D,Q_d,r_d$	табл. 5	✓/$\sim$
$a_t=+5,42\text{фм}$, $r_{e,t}=1,75\text{фм}$	$+5,15$; $1,47$	✓/$\sim$
$a_s=-23,7\text{фм}$ (порог)	$-1,5$: следствие знака $V_{\sigma }$	$\times$
Насыщение $n_0,E/A=-16\text{МэВ}$	масштаб да, минимума нет	$\times$
Операторы $L^2$, $(\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}{)}^2$	не выведены	$\times$

10. Экспериментальные предложения

Первое из заявлявшихся предложений — сопоставление свободного от параметров отношения $V_{\sigma }/V_T$ с фазовым анализом — выполнено в разделе 7; остаются три.

1. Двухмасштабная структура упругого $NN$-рассеяния. Двухзонная геометрия предсказывает два наклона в $t$-зависимости амплитуды с отношением $b_m/b_c=(r_m/r_c{)}^2\approx 27$. Проверка осмысленна при умеренных энергиях (ISR [28] и ниже), где упругое рассеяние ещё не контролируется помероном.

2. Поляризация $\Lambda$ в столкновениях тяжёлых ионов [29, 30] — как зонд переноса завихрённости из нуклонных вихрей в КГП (дифференциально по центральности; сравнение со стандартной вязкой гидродинамикой).

3. Тензорная асимметрия при больших $|t|$. Анизотропия кора (столкновение полоидальных струй при осевом сближении) предсказывает рост асимметрии $\mathcal{A}(t)$ между осевой и экваториальной поляризациями при $|t|\gtrsim 2{\text{ГэВ}}^2$ сверх предсказаний изотропных потенциалов.

11. Ограничения и открытые проблемы

Модель заявляется как механическая аналогия с квантованием, вводимым калибровочными условиями ($J=\hslash /2$; порция циркуляции ${\Gamma }_0$ атомарна — константа среды, эмпирический вход A1; отождествление ${\Gamma }_0=h/m$ с медиумной массой — A6), а не выводимым; онтологических утверждений не делается. Открытые проблемы, в порядке убывания остроты:

1. Знак спин-спиновой компоненты; синглетный канал. Сравнение с AV18 (раздел 7): эмпирически центральный канал ${}^1{S}_0$ глубже ${}^3{S}_1$ ($V_{\sigma }>0$), и иерархию каналов создаёт тензорная связь; модель даёт $V_{\sigma }<0$ при $r<1,6\text{фм}$, отсюда $a_s=-1,5\text{фм}$ вместо $-23,7$. Пересмотр сопоставления классических спиновых конфигураций квантовым каналам исключён счётом: отношение $R=V_{\sigma }/V_T$ остаётся положительным при любом знаковом вложении, поскольку $|V_2^{\times }|>|V_2|$ на всём диапазоне (раздел 7). Остаётся единственный путь — расчёт следующего порядка по перекрытию, перераспределяющий перекрёстный интеграл между $V_C^{\times }$ и $V_2^{\times }$; его цель специфицирована (перенос $\sim 70\%$ перекрёстного веса при $1\text{фм}$), а потолок задан осевым инвариантом.
2. Насыщение. Отсутствует механизм отпора, растущий быстрее линейного по $n$ (одного фермиевского давления $\propto n^{5/3}$ для минимума недостаточно, см. раздел 8). Геометрический фильтр сужает поиск: жёсткость обязана ставиться на $2,07\text{фм}$ (ближайший сосед ГЦК при $n_0$), куда попадают только $2{\lambda }_{\mathrm{Tk}}=2,00\text{фм}$ и $2r_m=2,60\text{фм}$, но не капля ($2R_p=1,19\text{фм}$) и не кор ($2r_c=0,50\text{фм}$); статус самой ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$ при этом не определён (замечание в приложении 14), — то есть насыщение в этой картине может быть только свойством мантии/экранирования; плотнейшая упаковка капель дала бы $5,3n_0$.
3. Скоростной сектор. Поле, создаваемое в среде движущимся нуклоном, схемой не определено. Это блокирует спин-орбиту (раздел 5.5), где знак результата задаётся именно этим полем, а вычисленную силовую нормировку пункта (iv) оставляет условной на посылку вмороженности (замечание в разделе 5).
4. Спин-$\frac{1}{2}$ и статистика. Хиральность циркуляции даёт бинарную $\pm$-структуру, но не алгебру $[S_x,S_y]=i\hslash S_z$, не $4\pi$-периодичность спинора и не антисимметрию волновой функции.
5. Изоспин. Противовращение ядра нейтрона (моментная сторона знакового соглашения A3; зарядовая сторона в хиральном дуплексе отвязана — знак заряда несёт хиральность мантии) несовместимо одновременно с непрерывным профилем (3), калибровкой $J=\hslash /2$ и точной зарядовой независимостью (замечание в разделе 5.5); носитель моментной инверсии требует переопределения на уровне кинематики ядра. Переопределение ограничено снизу ядерными данными: контур, несущий инверсию, не должен входить в перекрёстный член, иначе зарядовая независимость нарушается на $20\text{МэВ}$ при $1\text{фм}$ (раздел 5.5). Отдельно: двухзонное присвоение работы A3 (инвертируется кольцевая циркуляция керна при неизменной кольцевой циркуляции мантии) в непрерывном профиле (3) невыразимо: внешнее поле здесь порождено завихренностью керна, отдельной мантийной циркуляции профиль не содержит (E5). Кроме того, вне кора модель не содержит операторной ${\mathbf{\tau }}_1\cdot {\mathbf{\tau }}_2$-структуры, которой в эмпирических потенциалах определяется однопионный хвост; $P$-волновая феноменология станет следующим жёстким тестом.
6. Пионы. Совпадение ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx 1,0\text{фм}$ с ${\lambda }_{\pi }=1,4\text{фм}$ на уровне $30\%$ — проверка согласованности, а не альтернатива физике реальных пионов; дальний тензорный хвост модель систематически недобирает (раздел 7).
7. Меридиональный сектор. Главный меридиональный вклад подавлен законом сохранения массового потока (раздел 3.4), однако вторичная меридиональная циркуляция, порождаемая неточной стационарностью чисто азимутального поля, этим аргументом не контролируется; её амплитуда не откалибрована.
8. Невыведенные элементы схемы. Коэффициент ${\zeta }^{\ast }=0,845$ агрегирует пренебрежение деформацией полей и отождествление массового профиля с зарядовым; нормировочная неоднозначность формы (14) из этого списка исключена — силовой аудит вычислен (замечания в разделе 5): в силовом прочтении ${\zeta }^{\ast }$ есть множитель $1,69$ и связанность обеспечена калибровкой; принятое программой энергетическое прочтение ($\zeta =1$) — посылка до вывода конститутива $p(\rho )$ связанной фазы; экспоненциальный профиль (5) калиброван, а не выведен из уравнения равновесия; механизм стационарности плотного ядра (термодинамический цикл) — гипотеза. Вычисление $\zeta$ из параметров среды (второй порядок по перекрытию плюс однозначная нормировка (14)) — названная открытая задача: пока $\zeta$ калибруется, а не вычисляется, калиброванное $P_D=3,1\%$ остаётся ниже эмпирического окна 4–6,%.
9. Операторы $L^2$ и $(\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}{)}^2$ феноменологических потенциалов не выведены (требуют учёта меридионального течения и квадратичных по $v_{\mathrm{orb}}$ членов).
10. Зонная запись заряда A3. Две циркуляции нуклона разведены каноном A6 по статусу (интринсик-свирл заряда / наведённый слой спина), а не по геометрии, и их отношение есть тождество $2\alpha {\ell }_c/{\bar{\lambda }}_C$ (замечание в разделе 4). Открытой остаётся только партиция $\pm e/2$ по зонам при фиксированной медиумной длине ${\ell }_c$ (замечание о нормировке в A3 A3); настоящая работа этой партиции не использует.

12. Заключение

Отказ от приближения несжимаемости внутри нуклона — с логарифмическим уравнением состояния и плотностью как динамическим полем — разрешил центральную количественную трудность несжимаемого приближения вихревой модели ядерных сил: три масштаба (электромагнитный, яма, кор) получили три различных носителя, и глубина ядерной ямы перестала быть привязана к кулоновскому масштабу. Закон сохранения массового потока делает это усиление селективным: оно действует на азимутальное (спиновое) поле и подавлено для меридионального сектора — модель тем самым объясняет, почему сильное взаимодействие привязано к спиновой структуре нуклонов, а электромагнитное остаётся на масштабе внешней среды. При калибровке целиком вне ядерного сектора (масса, зарядовый радиус, спин, геометрия зон из $e$-рассеяния) энергия погружения (14) даёт $NN$-потенциал с правильными масштабами и правильной иерархией каналов (порядок глубины ямы при этом частично гарантирован размерно — калибровкой $J=\hslash /2$); первое в программе численное решение квантовой задачи двух нуклонов воспроизводит связанный дейтрон с D-примесью в эмпирическом окне при симметричной нормировке формы (14) (вычисленная из силы нормировка вдвое меньше, и при ней связанного состояния нет — программа принимает энергетическое прочтение формы рабочей посылкой до вывода сектора сжатия; после калибровки $P_D=3,1\%$ — ниже окна) и, после минимальной калибровки одним коэффициентом ${\zeta }^{\ast }=0,845$, — триплетную длину рассеяния и радиус дейтрона (величины, контролируемые калибровкой $E_d$), а независимые предсказания формы потенциала $r_{e,t}$, $P_D$, $Q_d$ занижает на $16$–$40\%$ согласованно. Главный результат за пределами калибровки — выполненный фальсифицируемый тест, прямое сравнение радиальных компонент с AV18 (раздел 7): тензорная компонента подтверждена по знаку и форме (недобор до двух раз на средних расстояниях), знак спин-спиновой опровергнут — эмпирически иерархию каналов создаёт тензорная связь, а не центральное расщепление, и провал синглетной длины рассеяния оказывается структурной ошибкой знака, а не тонкой настройкой. Столь же явно зафиксировано остальное, чего модель не даёт: фермиевского механизма насыщения, спинорной алгебры, непротиворечивой изоспиновой кинематики ядра. Эти пункты образуют программу следующего шага: пересмотр сопоставления спиновых конфигураций квантовым каналам, расчёт второго порядка по перекрытию полей (перераспределение перекрёстного интеграла в пользу тензора), квантование вихревых мод, пересмотр носителя изоспинового знака и трёхтельный член для лёгких ядер. В терминах единой картины настоящая статья реализует тезис Т1 ядерного сектора (и плотностной аспект Т5; канон Т5 — A8) и берёт входом продольный сектор $c_s$ (Т3) и канон сжатого кора ${\rho }_{\mathrm{core}}$ (A3); на канон тезисов Т2 (локальность + реализм) и Т4 (отсутствие геометрии) она не претендует — они лишь совместимы с моделью, а их полные реализации вынесены в статьи A6 и A2. Перечисленные открытые пункты являются внутренними фальсификаторами ядерного сектора и не затрагивают несущих тезисов Т1/Т5/Т3.

13. Численная схема

Интегралы взаимодействия. Каждое слагаемое (14) вычисляется в сферической сетке, центрированной на <<своём>> нуклоне (носителе $\Delta \rho$): радиальные узлы $r=r_{\max }{t}^2$, $t\in (0,1)$, $n_r=160$, $r_{\max }=4\text{фм}$; угловые сетки $48\times 48$. Сходимость проверена удвоением сеток (изменения $<1\%$); массовая нормировка на квадратуре выдерживается с точностью $2\cdot 10^{-4}$. Разложение (15) — квадратурой по $\Theta$ (13 узлов, чётность по $\cos \Theta$).

Связанные каналы. Радиальное уравнение Шрёдингера для $(u,w)$ дискретизируется конечными разностями ($N=5000$–$6000$ узлов, $r_{\max }=30\text{фм}$); матричные элементы тензорного оператора — стандартные; центробежный член $6{\hslash }^2/2\mu r^2$ в $D$-канале. Основное состояние — разреженной диагонализацией со сдвигом. Наблюдаемые: $P_D=\int w^{2}dr$; $Q_d=\frac{1}{20}\int r^{2}w(\sqrt{8}u-w)dr$; $r_d=\frac{1}{2}⟨r^2{⟩}^{1/2}$.

Рассеяние. Длины рассеяния — интегрированием уравнений нулевой энергии (для триплета — две линейно независимые регулярные комбинации с гашением растущей $D$-компоненты $\propto r^3$); эффективные радиусы — по стандартной интегральной формуле $r_e=2{\int }_0^{\infty }(v_0^2-u_0^2)dr$.

Сравнение с AV18. Использован эталонный код av18pot.f Аргоннской лаборатории [18]; операторный блок (lpot $=1$) портирован на Python (calc/av18_compare.py). Порт валидирован воспроизведением дейтрона AV18 без электромагнитных членов: $E_d=-2,242\text{МэВ}$ (полный AV18: $-2,2246$), $P_D=5,78\%$ ($5,76$), $Q_d=0,269{\text{фм}}^2$ ($0,270$), $r_d=1,961\text{фм}$ ($1,967$), а также синглетной длины рассеяния $a_s(np)=-23,1\text{фм}$ ($-23,7$ с ЭМ-членами). Сопоставляемые величины раздела 7: $V_{\sigma }=[V_c({}^3{S}_1)-V_c({}^1{S}_0)]/4$ и тензор канала $T=0$ ($np$-сектор); одноканальные длины рассеяния без тензорной связи — тем же интегратором, что и для модели. Расчётные скрипты приложены к репозиторию статьи (каталог calc/).

14. Экранирование Ткаченко: щель и длина ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$

В формализме A1 вакуум К–Ф микроскопически представляет собой разреженную решётку вакуумных вихревых колец со средним шагом ${\ell }_{\mathrm{vac}}$ и циркуляцией ${\Gamma }_{\mathrm{vac}}$; её коллективная упругость (обратная реакция Био–Савара) задаёт модуль сдвига $G_{\mathrm{Tk}}={\rho }_0{\Gamma }_{\mathrm{vac}}^2/(4\pi {\ell }_{\mathrm{vac}}^2)$ и скорость поперечных волн $c_{\mathrm{Tk}}=\sqrt{G_{\mathrm{Tk}}/{\rho }_0}$ A1, [26].

Механизм экранирования. Распространяясь через решётку, поле скоростей нуклона смещает вакуумные кольца от равновесных положений; каждое смещённое кольцо создаёт поле противоциркуляции, частично компенсирующее исходное, — вихревой аналог дебаевского экранирования в плазме.

Щель в трёхмерном спектре. Для двумерной решётки бесконечных вихревых нитей моды Ткаченко бесщелевые ($\omega \propto k$) [26, 27], и экранирование отсутствует (посредничество степенное). В трёхмерной решётке компактных колец изменение радиуса кольца на $\delta R$ требует работы против линейного натяжения вихря $T\sim {\rho }_0{\Gamma }_{\mathrm{vac}}^2\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/a_{\mathrm{vac}})$ [24], где $a_{\mathrm{vac}}$ — радиус кора вакуумного кольца (не смешивать с длиной нормировки заряда $r_0$ из $Q={\rho }_0{r}_0\Gamma$): $\delta E\sim T(2\pi {\ell }_{\mathrm{vac}})(\delta R/{\ell }_{\mathrm{vac}}{)}^2$. Мода $k=0$ приобретает конечную энергию — спектр получает щель

$${\omega }_0^2\sim \frac{T}{{\rho }_0{\ell }_{\mathrm{vac}}^4}\sim \frac{c_{\mathrm{Tk}}^2\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/a_{\mathrm{vac}})}{{\ell }_{\mathrm{vac}}^2}.$$

Щель возникает лишь для этой — дилатационной — моды колец (изменение радиуса против линейного натяжения), которую возбуждает поле с азимутальной циркуляцией вокруг колец решётки; трансляционно-сдвиговые смещения решётки, несущие по A1 A1 электромагнитную статику (застывшее смещение), работы против натяжения не требуют и остаются бесщелевыми — кулоновский сектор данным экранированием не затрагивается. Статическое поле смещений щелевой моды удовлетворяет уравнению Гельмгольца $(-c_{\mathrm{Tk}}^2{\nabla }^2+{\omega }_0^2)\varphi =\text{ист.}$, функция Грина которого юкавская, $\varphi \propto e^{-r/{\lambda }_{\mathrm{Tk}}}/r$, с длиной экранирования

$$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{Tk}}=\frac{c_{\mathrm{Tk}}}{{\omega }_0}\sim \frac{{\ell }_{\mathrm{vac}}}{\sqrt{\ln ({\ell }_{\mathrm{vac}}/a_{\mathrm{vac}})}}.}$$

Численная оценка. Самосогласованная идентификация ${\ell }_{\mathrm{vac}}\approx r_m$, $a_{\mathrm{vac}}\approx r_c$ (принимаемое допущение) даёт ${\ell }_{\mathrm{vac}}/a_{\mathrm{vac}}=r_m/r_c\approx 5,2$ и

$${\lambda }_{\mathrm{Tk}}\approx \frac{1,3\text{фм}}{\sqrt{\ln 5,2}}\approx 1,0\text{фм}$$

— в пределах $\sim 30\%$ от комптоновской длины волны пиона ${\lambda }_{\pi }=\hslash /(m_{\pi }c)\approx 1,4\text{фм}$ [17].

о статусе вывода. Отождествление моды линейного натяжения при $k=0$ как доминирующего механизма щели (и опирающаяся на него селективность экранирования по модам) — гипотеза; конкурирующие механизмы (например, отталкивание кольцо–кольцо) не анализировались, и согласие с ${\lambda }_{\pi }$ следует понимать как порядковую проверку самосогласованности, а не как альтернативу физике реальных пионов (раздел 11).

Статус самой длины не определён. Символ ${\ell }_{\mathrm{vac}}$ как коэффициент гравитационной эффективной теории упразднён каноном серии (статика гравитации сведена к одному коэффициенту $G$); распространяется ли упразднение на ядерный смысл ${\ell }_{\mathrm{vac}}$ в формуле (24) — вопрос открытый: ${\lambda }_{\mathrm{Tk}}$ — либо самостоятельная величина ядерного сектора (щель фоновой решётки, от гравитационной интерпретации не зависящая), либо наследник упразднённого коэффициента. Неопределённость существенна: $2{\lambda }_{\mathrm{Tk}}=2,00\text{фм}$ — один из двух масштабов, проходящих геометрический фильтр насыщения (раздел 11). Мы фиксируем неопределённость, не разрешая её.

Литература

1. Д. Лосинец, «Среда: онтология, паспорт и метод механической программы» (A0 — основания серии: пять тезисов, паспорт среды с провенансом каждого числа, метод эффективной теории); Zenodo.
2. Д. Лосинец, «Уравнения Максвелла из вихревой механики: аналогия на основе модели Кельвина–Фойгта» (A1 — канон Т1: словарь $\mathbf{u}\leftrightarrow \mathbf{A}$, заряд-циркуляция, два сектора); Zenodo, doi:10.5281/zenodo.19135635.
3. Д. Лосинец, «Гравитация и электромагнетизм как два отклика одного вихря: гидродинамическая модель квантового вакуума» (A2 — канон Т4: полевая статика продольного сектора, приталкивание, узор-дрейф; «река» Пенлеве–Гулстранда — ближняя зона; шов); Zenodo.
4. Д. Лосинец, «Магнитные моменты барионов в двухзонной модели вихря Кельвина–Фойгта» (A3 — канон ${\rho }_{\mathrm{core}}$: паспорт нуклона, зарядовая структура, магнитные моменты); Zenodo, doi:10.5281/zenodo.16934345.
5. Д. Лосинец, «Ядерное взаимодействие вихрей Хилла в сжимаемой среде Кельвина–Фойгта: плотностное поле нуклона, дейтрон и низкоэнергетическое $NN$-рассеяние» (A4); Zenodo.
6. Д. Лосинец, «Сложные ядра как соосные стеки вихрей Хилла: геометрия сборки Буртаева на языке вихревой среды Кельвина–Фойгта» (A5); Zenodo.
7. Д. Лосинец, «Квантовый слой из вихревой среды: замкнутый двухкомпонентный вихрь как механизм спина, магнитного момента и неопределённости» (A6 — канон Т2+Т3: квантование, ${\Gamma }_0=h/m$, спин-$\frac{1}{2}$, $g=2$, разделение кора и поля); Zenodo.
8. Д. Лосинец, «Вихревая модель фотона: программа экспериментальной проверки» (A7 — кольцо-часы, поперечный Доплер, поляризация); Zenodo, doi:10.5281/zenodo.17063624.
9. Д. Лосинец, «Специальная теория относительности как эмерджентная гидромеханика: $\gamma$-фактор, замедление времени и $E=m{c}^2$ как эффекты сжимаемого течения в поперечном секторе» (A8 — канон Т5); Zenodo.
10. Д. Лосинец, «Электрон и классы вихрей: лёгкий сектор механической программы» (A9); Zenodo.
11. Д. Лосинец, «Термодинамика вихревой среды: температура, энтропия и статус гравитационного цикла» (A10); Zenodo.
12. Д. Лосинец, «Космология вихревой среды: баланс стоков, рецикл и красное смещение» (A11); Zenodo.
13. Д. Лосинец, «Слабый сектор вихревой среды: распад как самоперешивка через собственную полость — константа Ферми из $\alpha$, рукость выброса и нейтрино как пакет полускрутки» (A12); Zenodo.
14. W. Thomson (Lord Kelvin), On vortex atoms, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 6, 94–105 (1867).
15. G. E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet, Oxford University Press, Oxford, 2003.
16. C. Barcel’o, S. Liberati, and M. Visser, Analogue gravity, Living Rev. Relativity 8, 12 (2005).
17. R. Machleidt and I. Slaus, The nucleon–nucleon interaction, J. Phys. G 27, R69–R108 (2001).
18. R. B. Wiringa, V. G. J. Stoks, and R. Schiavilla, Accurate nucleon-nucleon potential with charge-independence breaking, Phys. Rev. C 51, 38–51 (1995).
19. J. M. Blatt and V. F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics, Wiley, New York, 1952.
20. R. Hofstadter, Electron scattering and nuclear structure, Rev. Mod. Phys. 28, 214–254 (1956).
21. V. D. Burkert, L. Elouadrhiri, and F. X. Girod, The pressure distribution inside the proton, Nature 557, 396–399 (2018).
22. M. J. M. Hill, On a spherical vortex, Phil. Trans. R. Soc. London A 185, 213–245 (1894).
23. H. K. Moffatt, The degree of knottedness of tangled vortex lines, J. Fluid Mech. 35, 117–129 (1969).
24. P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
25. H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1932.
26. В. К. Ткаченко, О вихревых решётках, ЖЭТФ 49, 1875–1883 (1966).
27. G. Baym, Tkachenko modes of vortex lattices in rapidly rotating Bose–Einstein condensates, Phys. Rev. Lett. 91, 110402 (2003).
28. U. Amaldi et al., The energy dependence of the proton-proton total cross-section for centre-of-mass energies between 23 and 53 GeV, Phys. Lett. B 66, 390–394 (1977).
29. Коллаборация STAR: L. Adamczyk et al., Global $\Lambda$ hyperon polarization in nuclear collisions, Nature 548, 62–65 (2017).
30. Z.-T. Liang and X.-N. Wang, Globally polarized quark-gluon plasma in non-central A+A collisions, Phys. Rev. Lett. 94, 102301 (2005).
31. P. von Neumann-Cosel et al., Candidate Toroidal Electric Dipole Mode in the Spherical Nucleus Ni-58, Phys. Rev. Lett. 133, 232502 (2024).